Численное интегрирование определённых интегралов

с высокой точностью. Квадратурные формулы

типа Гаусса.

Как было отмечено на предыдущей лекции численное вычисление определённых интегралов сводится к вычислению квадратурной суммы вида

где – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; р(х) – весовая функция, учитывающая особенности поведения подынтегральной функции; f(x) – произвольная гладкая функция; A k – квадратурные коэффициенты, x k – квадратурные узлы..

Квадратурная сумма однозначно определяется 2n+1 параметром: n значений А к, n – значений х k и сам параметр n – число разбиений отрезка . Чтобы получить более точный результат при вычислениях с помощью простейших квадратурных формул, следует дробить отрезок интегрирования на достаточно большое число интервалов. (Это наблюдалось, при рассмотрении простейших квадратурных формул трапеций и Симпсона)

Однако возможны и другие способы повышения точности квадратурных формул. Достижение точности можно добиться за счёт правильного или оптимального выбора узлов x k и квадратурных коэффициентов A k .

Если по условию задачи узлы можно выбирать произвольным образом и функция f(x) обладает высокой степенью гладкости, то для вычисления определённых интегралов применяют квадратурные формулы типа Гаусса.

Формула Гаусса.

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл вида:

где f(x) – имеет высокую степень гладкости на интервале [-1; 1].

Данную задачу можно решить с помощью квадратурной формулы

.

Гауссом было доказано, что для достижения наивысшей точности результата интегрирования необходимо в качестве узлов квадратурной формулы взять корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты А к при этом вычисляются по формулам

.

Рассмотрим применение этих формул.

При n=1 имеем одну узловую точку внутри отрезка [-1; 1], которая определяется из уравнения

Т.к.
, то узловую точку находим из уравнения
Отсюда

Т.к.
,то
.

При n=2 получаем две узловые точки внутри отрезка [-1; 1], которые определяется из уравнения

Преобразовав его получаем

.

Его решение
. Т.к.
,

то общая формула для вычисления квадратурных коэффициентов приобретёт вид
. Подставляя узловые точки, получаем:

при
;

при
.

Для различного числа разбиения отрезка [-1; 1] можно получить таблицу узлов x k и коэффициентов A k . (Как это сделать будет показано на практическом занятии)

К-во точек разбиения	Узлы квадратурной формы	Коэффициенты квадратурной формы

В случае произвольного интервала интегрирования (когда он не совпадает с отрезком [-1; 1]) предварительно делают замену переменной

.

А уже к преобразованному интегралу можно применить формулу Гаусса. Получим

,

где

–узлы квадратурной формулы Гаусса;

–соответствующие коэффициенты;

–остаток квадратуры.

Остаток квадратурной формулы Гаусса определяется по формуле

где

Пример. По формуле Гаусса вычислить интеграл I=(приn=5).

Т.к. интервал интегрирования не совпадает с отрезком [-1; 1], применим

.

Формула Остроградского – Гаусса

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением , «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением . Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим .

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и .

Заметим также, что на «верхней» поверхности , а на «нижней поверхности . Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо.

D - = = + = Таким образом, соотношение доказано.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть .

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность V M – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

Это и есть инвариантное определение дивергенции .

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M.

Если >0, то точка M – источник векторного поля, если <0, то точка M – сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как .

1. В основе теории векторного поля лежат две интегральные формулы. Первая из них принадлежит русскому математику и механику Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801-1861). Эта формула была открыта Остроградским в 1826 г. и опубликована в 1838 г. в связи с его исследованиями в области вариациоиного исчисления,

относящимися к проблеме максимумов и минимумов кратных интегралов. При этом получил он ее в гораздо более общем виде, чем тот, в котором она применяется в теории векторного поля.

Вторая интегральная формула теории поля была найдена английским гидромехаником Стоксом (1819-1903) в 1854 г.

2. Преобразование Остроградского.

Это преобразование решает задачу сведения интеграла любой кратности к интегралу меньшей кратности. Для целей теории поля мы разберем эту задачу лишь применительно к тройному интегралу.

Мы знаем, что для вычисления тройного интеграла следует сначала частным образом проинтегрировать подинтегральную функцию по одному из аргументов, а затем вычислить двойной интеграл от полученного результата.

Для сведения тройного интеграла, распространенного по произвольной области, к двойному интегралу нужно, чтобы первое интегрирование было выполнено в общем виде. для этого нужно, чтобы подинтегральная функция была частной производной от некоторой функции по одному из аргументов.

Итак, рассмотрим, например, интеграл

причем пока будем предполагать, что область интеграции (V) нормальная, т. е. пересекающая область вертикаль имеет с пей только один общий отрезок (рис. 162). Кроме того, будем предполагать, что непрерывна в области (V), включая ее границу.

По правилу вычисления тройного интеграла мы получим

Следовательно,

Пусть соответственно нижняя и верхняя части поверхности ограничивающей область интеграции (V). Нормаль к поверхности мы направим наружу но отношению к области Тогда, но определению поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3), мы получим

В силу этого формула (15.1) для исходного тройного интеграла примет вид

Объединив поверхностные интегралы, мы получим формулу преобразования тройного интеграла в двойной, которую и называют преобразованием Остроградского:

«Колечко» на знаке поверхностного интеграла напоминает о замкнутости поверхности интеграции

Замечание 1. Если область не является нормальной, то мы разобьем эту область на нормальные области Для каждой из частичных нормальных областей выведенная формула справедлива:

Сложив эти равенства, мы получим

В получепной сумме взаимно уничтожатся поверхностные интегралы по всем тем частям поверхностей по которым соприкасаются друг с другом частичные области и останутся лишь поверхностные интегралы по тем частям которые располагаются на наружной границе Поэтому мы получим

Итак, формула преобразования Остроградского верна для произвольной области

Замечание 2. Аналогичные формулы мы получим, если под знаком тройного интеграла будет стоять частная производная по х или по у:

3. Формула Остроградского.

Рассмотрим поток поля И через замкнутую поверхность ограничивающую трехмерную область (рис. 163). По формуле (14.18) этот поток равен

Пусть D - односвязная область в (т. е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой С, расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность расположенную в D, имеющую границей С), граница, удовлетворяющая двум условиям:

1) поверхность - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая, параллельная этой оси, будет пересекать поверхность не более чем в двух точках.

Пусть - единичный вектор внешней нормали к Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.2 (формула Остроградского-Гаусса). Пусть а - векторное поле, дифференцируемое в области D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому направлению непрерывна в Тогда справедлива формула

Интеграл справа в формуле (6.26) называется потоком векторного поля а через поверхность а интеграл слева в этой формуле - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D. Поэтому теорема 6.2 допускает такую формулировку:

Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D равен потоку векторного поля а через поверхность - границу этой области.

Доказательство. Все входящие в формулу (6.26) функции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют.

Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины - инварианты. Поэтому достаточно доказать формулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы. Выберем

берем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы выполнялось условие 2); пусть Тогда, учитывая, что

Докажем, что справедливы следующие три равенства:

Ограничимся доказательством равенства для интеграла так как равенства для доказываются аналогично. Обозначим через D проекцию области D на плоскость Через граничные гочки области D проведем прямые, параллельные . Каждая из этих прямых пересекается с лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет 5 на две части: (см. рис. 6.2). Если мы проведем прямую из внутренней точки области D, параллельную оси то она пересечет поверхность в двух точках: Заметим, что кусочно и непрерывно дифференцируемые функции в D. По формуле сведения тройного интеграла к повторному интегралу получим

Здесь мы воспользовались тем, что и соотношением

справедливым в силу того, что внешняя нормаль к поверхности образует тупой угол с осью (поэтому Теорема доказана.

Замечание 1. Формула Остроградского-Гаусса (6.26) может быть доказана и в случае областей D более общего вида, чем указано, а именно для таких, у которых существует конечное разбиение на области рассмотренного вида. Для этого достаточно формулу (6.26) написать для каждой области и полученные результаты сложить. При этом получится искомая формула. Действительно, в силу аддитивности интеграла в левой части получится интеграл по D. В правой части поверхностные интегралы по соответствующим частям границ областей в сумме дадут ноль, так как внешние нормали в точках границ областей принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны. Таким образом, останутся только интегралы по частям границ составляющим в совокупности границу области D.

Замечание 2. В формулировке теоремы 6.2 от условия 2) можно избавиться и считать, что - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек. Однако в этом случае доказательство теоремы усложняется.

Замечание 4. Формула Остроградского-Гаусса (6.26) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде

Заметим, что интегралы слева и справа имеют инвариантный

характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Для этого достаточно провести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 после доказательства теоремы 6.1.

Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой областиV и на ее кусочно гладкой границе .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса

Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля
через поверхность .

Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольностиP, Q, Rсостоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поляP, Q, R. В самом деле, можно взятьP = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит толькоR. Остальные части формулы (приP= 0, R= 0, Q= 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы

2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область Vв виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными осиOZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение
для цилиндрического телаV, проектирующегося в областьDна плоскостиOXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением
, «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением
. Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную осиOZ, обозначим.

Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна осиOZи
.

Заметим также, что на «верхней» поверхности
, а на «нижней поверхности
. Поэтому при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла пок двойному интегралу по областиDи обратно менять знак не надо.

= = + = Таким образом, соотношение доказано.

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде

- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть
.

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это.

Инвариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестностьV M – шар радиусаrс центром в точкеM. Обозначим
- ее границу – сферу радиусаr. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точкеM.

. Это и естьинвариантное определение дивергенции .

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если
>0) или стока (если
<0) векторного поля в точке M .

Если
>0, то точкаM– источник векторного поля, если
<0, то точка M– сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля. Выяснить, является ли точкаM(1,2,3)источником или стоком.

Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0– стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M– источник, так как.