Числовые функции и способы ее задания. Числовые функции. Степенная функция с целым показателем

А описание большинства этих моделей на математическом языке так или иначе связано с функциями. Но в математике действует закон: если используется какой-то термин, то его надо точно определить. За два года изучения курса алгебры мы с вами накопили достаточно много примеров, подтверждающих этот закон. Так, в 7-м классе мы ввели термин «степень с натуральным показателем», точно его определив: «под a 2 , где n = 2, 3, 4, ... , понимается произведение n множителей, каждый из которых равен о; под а 1 понимается само число а». В 8-м классе мы ввели термин «квадратный корень из неотрицательного числа», дав ему точное определение: это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a». И так далее и тому подобное - вы сами можете привести аналогичные примеры.

В то же время были случаи, когда мы вводили термин и начинали им пользоваться, но точного определения не формулировали, ограничиваясь приблизительным истолкованием термина. Так было, в частности, с термином «функция». Почему же мы в 7-м классе, как только стали использовать понятие функции, не сформулировали точное определение, почему не сделали этого и в 8-м классе?

Дело в том, что история развития математики показывает: были понятия, которые человечество активно и длительное время использовало как рабочий инструмент, не задумываясь о том, как его определить. Лишь накопив необходимый опыт в работе с тем или иным понятием, математики начинали думать о его формальном определении. Разумеется, не всегда первые попытки определить то или иное понятие, вроде бы ясное на интуитивном уровне, оказывались удачными, их приходилось впоследствии дополнять, уточнять. Так было и с понятием функции .

Проанализируем наш опыт работы с термином «функция». В 7-м классе мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим уравнение с двумя переменными специального вида у = кх + m и рассматривая переменные хи у как неравноправные: х - независимая переменная, у - зависимая переменная. Затем задались вопросом: а не встречаются ли при описании реальных процессов математические модели подобного вида, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = кх + m, а по какой-либо иной формуле? Ответ на этот вопрос был получен сразу: встречаются. В 7-м классе, кроме упомянутой линейной функции, мы изучили математическую модель у = х 2 , в 8-м классе добавили к ним модели
Постепенно мы начали осознавать, что, изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две переменные величины, участвующие в нем (в более сложных процессах участвуют более двух величин, но мы такие процессы пока не рассматривали). Одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную чаще всего обозначают буквой x), а другая переменная принимает значения, каждое из которых каким-то образом зависит от выбранного значения переменной х (такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х: у = fх). Такие математические модели мы называли функциями.

Математическая модель у = f(х) обычно дополняется указанием на то, из какого числового множества берутся значения независимой переменной х. Например, мы говорили о функции , подразумевая, что (график функции изображен на рис. 42), но мы рассматривали и функцию (график функции изображен на рис. 43). Это разные математические модели, значит, и разные функции.

Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. Вот одна из таких функций: у = g {х), где
изображен на рис. 44. Помните, как строить такие графики? Сначала надо построить параболу у = х 2 и взять ее часть при (левая ветвь параболы), затем построить прямую у = 2х и взять ее часть при х > 0. И, наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т.е. построить в одной координатной плоскости. Этот пример (или аналогичные) мы рассматривали и в 7-м, и в 8-м классах.

Так что же такое функция? Проведенный выше анализ и наш опыт изучения конкретных функций в 7-м и 8-м классах позволяют выделить два существенных момента.

1. Запись у = f(х) представляет собой правило (обычно говорят «правило f»), с помощью которого, зная конкретное значение независимой переменной х, можно найти соответствующее значение переменной у.

2. Указывается числовое множество X (чаще всего какой-то числовой промежуток), откуда берутся значения независимой переменной х.

Теперь мы можем сформулировать одно из главных определений школьного курса алгебры (да, пожалуй, и всей математики).

Определение 1.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения X; пишут у = f(x), х є X. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной.

Замечание.

В реальной жизни мы часто говорим: «каковы мои функции» или «каковы мои функциональные обязанности», - спрашивая тем самым соответственно: «каков круг моих действий, моих обязанностей» или «что я должен делать, как действовать». Фактически в реальной жизни слово «функция» означает «действие» или «правила действий». Обратите внимание, что фактически тот же смысл имеет и математический термин «функция», который мы разъяснили выше в определении 1.

Итак, D(f) = (-оо, 4].

б) Значение х = - 2 удовлетворяет условию следовательно, f (-2) надо вычислять по первой строке задания функции. Имеем f(х) = -х 2 , значит, f (-2) = -(-2) 2 = - 4.

в) Область значений функции, как мы уже отметили выше, удобнее всего находить с помощью графика функции. Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -х 2 и выделим ее часть на луче (-оо, 0] (рис. 46). Затем построим прямую у = х + 1 и выделим ее часть на полуинтервале (0, 2] (рис. 47). Далее построим прямую у - 3 и выделим ее часть на полуинтервале (2, 4] (рис. 48). Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и будет график функции у = f (х) (рис. 49).

Теперь хорошо видно, что область значений функции состоит из двух промежутков: луча (-оо, 0] - он сплошь заполняется ординатами точек ветви параболы у = -х 2 , х < 0 - и полуинтервала (1, 3] - он сплошь заполняется ординатами точек участка прямой у = х+ 1,0<х<2. Итак, Е(f) = (-оо, 0]U(1, 3].

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

6.1. Определение числовой функции 70

7.1. Сужение функции 72

7.2. Способы задания функции 73

7.3. Явно или неявно заданные функции 73

7.4. Параметрически заданные функции 75

7.5. График функции 77

7.6. Примеры построения графиков функций 78

7.7. Упражнения для самостоятельной работы 83

Вопросы для самопроверки 85

Глоссарий 85

1. Определение числовой функции

Обозначения: или
или
или
или
.

где x - это независимая переменная, или аргумент;y - это зависимая переменная, или функция.

Если обозначить через

X – множество числовых значений, которые может принимать переменнаяx ,

Y – множество числовых значений, которые принимает переменнаяy ,

то функциональная зависимость между переменными x иy здесь задает отображение числового множестваX на числовое множествоY , при котором каждому элементу
ставится в соответствие единственный элемент множестваY (рис. 40).

Рис. 40

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X , элементами которого являются числа, на множествоY , элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множествоY - это есть множество значений функции, так что отображение
является сюръекцией.

МножествоX задания функции и множествоY значений функции для числовых функций традиционно называютобластью определения функции (ООФ) иобластью значений функции (ОЗФ) .

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией
, то элементы множествX иY называются точками. Символом
обозначается при этом как сама функция, так и элемент
, соответствующий элементуx при этой функциональной зависимости.

Если x 0 - это фиксированное значение аргументаx , то значение функции в точкеx 0 обозначается следующими символами:

или
или
или
.

Например,

;

,
.

1. Сужение функции

Если есть функция
и рассматривается некоторое подмножествоЕ множестваХ , то отображение
называетсясужением функции f на множество Е .

Пример 1 (сужение функций)

1)
,
- это есть сужение функции
,
на множество
;

2) любая последовательность
есть сужение функции
на множество натуральных чисел; например,
– это есть сужение функции
,
на множество.

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширения функции.

Пример 2 (расширение функций)

1)
; от этой функции можно перейти к её расширению на множество
:
;

2) от функции
можно перейти к её расширению на множество
, если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.

1. Способы задания функции

1.Аналитический способ задания функции - функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию. По этой формуле для каждого возможного значения аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. При этом нужно различать:

явное задание функции,

неявное задание функции,

параметрическое задание функции.

2.Табличный способ задания функции - используется для функций, заданных на дискретном конечном множестве значений аргумента; записывается обычно в виде следующей таблицы:

3.Графический способ задания функции - задается множество точек координатной плоскости, координаты которых являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции.

4.Описательный способ задания функции – функциональная зависимость описывается словами. Например,
, где- этоцелая часть x , которая определяется как наибольшее целое число, не превышающееx .

На рисунке дан граф соответствия между множествами Х = {а ;b ;с ;d ;е },Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множестваХ есть соответствующий элемент множестваY , но если есть, то он единственный.

А = {а ;b ;с } – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множествеY . Заметим, что каждому элементу множестваА соответствует единственный элемент множестваY .

Определение . Соответствие между множествамиХ иY , где каждому элементу множестваХ соответствует не более одного элемента множестваY , называетсяфункциональнымсоответствиемилифункцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f ,g ,h и др. и пишут:у =f (х ).

х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция f с областью определенияА Х , гдеХ – множество отправления функцииf . Множество прибытия обозначимY .

Элемент у  Y , соответствующий элементух А , называют значением функцииf и пишуту =f (х ).

Определение. Множество всеху  Y , которые являются значениями функцииf , называютмножеством значенийфункцииf .

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример . Пусть дана функцияf (х ) =. Областью определения функцииf (х ) является множествоR \ {2}.

Способы задания функций

Аналитическоезадание функции – задание функции с помощью формулыу =f (х ), гдеf (х ) – некоторое выражение в переменнойх .

Табличноезадание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

Графическоезадание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение . Функцияу =f (х ) называетсячетной, если для любого элементах f (–х ) = f (х ).

Определение . Функцияу =f (х ) называетсянечетной, если для любого элементах из области определения функции выполняется равенство f (–х ) = – f (х ).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: еслих Х , то – х Х .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение . Функцияу =f (х ) называетсявозрастающейна промежуткеХ , еслих 1 ,х 2 Х , таких, чтох 1 <х 2 , выполняется неравенствоf (х 1) < f (х 2).

Определение . Функцияу =f (х ) называетсяубывающейна промежуткеХ , еслих 1 ,х 2 Х , таких, чтох 1 <х 2 , выполняется неравенствоf (х 1) > f (х 2).

Определение . Функция называетсямонотоннойна некотором промежуткеА , если она на этом промежутке возрастает или убывает.

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции . Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f - функция, заданная на множестве Х , то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х , часто обозначают f(x) и пишут
у = f(x). Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции

Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х - 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) .

Например. Если функция задана формулой , то ее область определения - есть множество действительных чисел, исключая число 2 (если х = 2, то знаменатель данной дроби обращается в нуль).

Числовые функции можно представлять наглядно с помощью графика на координатной плоскости. Графиком является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(x) для всех х из множества Х. Так, графиком функции у = х + 2 , заданной на множестве R , является прямая (рис. 1), а графиком функции , заданной на этом же множестве, - парабола (рис. 2).

Для построения графика можно воспользоваться таблицей соответствующих значений х и у :

1) для функции у = х + 2

2) для функции

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции. Так как при каждом значении аргумента из области определения функция должна иметь одно лишь значение, то любая прямая, параллельная оси ординат, или совсем не пересекает график функции, или пересекает его лишь в одной точке. Если это условие не выполняется, то множество точек координатной плоскости график функции не задает.

Например, кривая на рис. 3.

Функции можно задавать и при помощи графика, и при помощи таблицы. Например, таблица, приведенная ниже, описывает зависимость температуры воздуха от времени суток. Эта зависимость - функция, так как каждому значению времени t соответствует единственное значение температуры воздуха p .

t (в часах)
p (в градусах)

Урок по теме «Определение и способы задания числовой функции» проводится в 10 классе на уроках алгебры в рамках содержания образования. Как и любой другой урок по математике, данный урок требует тщательного подбора средств обучения, которые будут отвечать принципам наглядности, системности и доступности. Данный видеоурок, который разработан автором с целью помоепчь учителям математики в подготовке к урокам, отвечает всем этим принципам.

Видеоурок облегчает учителю не только подготовку к уроку, но и сам процесс обучения, который будет строиться на основе видеотрансляции материала. Учитель может взять за основу такие видеоуроки, таким образов, выработать у обучающихся привычку слушать и понимать материал с первого раза при однократном просмотре его во время трансляции. При этом учителю все же придется потрудиться и найти задания, которые будут соответствовать теме урока и уровню образования обучающихся.

На уроках алгебры в 10 классе обучающиеся продолжают изучать материал, с которым они знакомились ранее, но в уже более углубленном виде, а также начинают знакомиться с началами математического анализа. Наглядность на таких уроках, особенно в формате видеоурока, просто необходима. Тем более, что здесь содержится все только самое важное и ничего лишнего.

Урок, продолжительностью 5:03 минут, начинается с рассмотрения числовых множеств, где показано, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственное значение элемента из другого множества. Так вводится понятие функции с ее областью определения. Здесь же автор поясняет, что переменная xявляется независимой переменной или аргументом, а переменная y, соответственно, зависимой переменной. Также вводится обозначение области определения функции и ее области значений.

Далее автор задает проблему, которая требует ответа на вопрос, какие бывают способы задания функции. Для того, чтобы получить ответ на поставленный вопрос, автор предлагает обратить внимание на такой факт: функцию считают заданной, если указано правило, по которому можно вычислить значение функции при любом значении соответствующей переменной. Таким образом, автор приходит к аналитическому способу задания функции. Затем на экране появляются примеры аналитического задания функции. Также автор замечает, что параметрическое задание функции также относится к аналитическому способу. Кроме этого, обращается внимание на то, что данный способ считается самым распространенным. После этого автор отмечает преимущества и недостатки данного способа задания функции.

Далее автор переходит к следующему способу задания функции - графическому. Наряду с определением, на экране появляется иллюстрация этого способа на рисунке. Автор отмечает, что этот способ тоже достаточно распространенный, особенно в науке и технике. На экране демонстрируются приборы, где графики играют важную роль. Далее автор поясняет, что означает, задать функцию графически. Аналогично предыдущему способу автор отмечает преимущества графического способа и его недостатки. Кроме этого, дается замечание, что эти два способа, а именно, графический и аналитический, дополняют друг друга.

Затем рассматривается табличный способ, где демонстрируется пример. Затем отмечаются достоинства этого способа и недостатки.

После того, как рассмотрены способы задания функции, объясняется в общем случае, когда функция считается заданной.

На этом урок завершается. Но стоит отметить, что объяснение материала построено на доступном для обучающихся языке. Автор подробно останавливается на тех моментах, которые считаются наиболее важными в данной теме. Так обучающимся будет легче понять, о чем идет речь, и где это применить.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Немного истории

Путь к современному появлению понятия функции заложили в семнадцатом веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в тысяча семьсот пятьдесят пятом году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Само слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в тысяча шестисот семьдесят третьем году в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с тысяча шестисот девяносто четвертого года. Начиная с тысяча шестисот девяносто восьмого года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа».

В восемнадцатом веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции.

Подход к такому определению впервые сделал

швейцарский математик Иоганн Бернулли.

Что же называется числовой функцией?

Если даны числовое множество икс большое

и правило эф , которое позволяет поставить в соответствие

каждому элементу икс из множества икс большое

единственное число игрек,

то говорят, что задана функция игрек равен эф от икс

с областью определения икс большое .

Переменная икс- независимая переменная или аргумент.

Переменная игрек- зависимая переменная.

Область определения обозначают икс большое или дэ от игрек

Область значений - игрек большое или е от игрек.

Какие же существуют способы задания функции?

Чтобы ответить на этот вопрос,

обратим внимание на такой факт: функция считается заданной, если указано правило, по которому по произвольно выбранному значению икс принадлежащем дэ от эф можно вычислить соответствующее значение игрек. Чаще всего это правило связано с одной формулой или несколькими.

Такой способ задания функции называется аналитическим. Сюда относится и параметрический. Аналитический способ самый распространенный, основной способ задания функции в математике.

Его преимущества: всегда можно найти значение функции с определенной точностью и быстро. Недостатки: по формуле невозможно определить характер изменения функции.

Графический способ - задание функции с помощью графика. Он используется в науке и технике. Иногда график бывает единственно доступным способом задания функции, например при пользовании приборами, автоматически записывающими изменение одной величины в зависимости от изменения другой (кардиограф, барограф, термограф, и другие.)

Что значит задать функцию графически?

Это значит - указать правило, по которому

прямая, проходящая через любую точку (икс) из области определения параллельно оси ординат, пересекает график в одной точке. Ордината точки эм - это число эф от икс, которое соответствует выбранному значению икс. Таким образом, на отрезке от а до бэ, задана функция игрек равен эф от икс.

Преимущество графического способа - это наглядность. На графике сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. А также можно узнать некоторые важные характеристики функции.

Вообще, аналитический и графический способы задания функции дополняют друг друга. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь...

Табличный способ

Этот способ представляет собой простую таблицу. В ней каждому иксу соответствует (ставится в соответствие ) какое-то значение игрека. В первой строчке пишем значения аргумента. Во второй строчке - соответствующие им значения функции, например.

Преимущества табличного способа задания функции только в том, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице. Недостатки:. мы не знаем значения функции для аргумента, которых нет в таблице. В этом способе такие значения аргумента просто не существуют. Кроме того, мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы.

Словесный способ.

Правило задания функции описывается словами. Например, функцию игрек равен три икс можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента икс ставится в соответствие его утроенное значение. Правило установлено, а, значит, и функция задана. Способ словесного описания встречается крайне редко.

Таким образом, функция считается заданной только в том случае, если есть закон однозначного соответствия между икс и игрек . Он может быть выражен одним из способов: формулой, таблицей, графиком, словами. Этот закон позволяет по значению аргумента определить соответствующее значение функции.