Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины. Основы теории вероятностей. Математическое ожидание величины

Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также числовыми характеристиками .

Математическим ожиданием М (x) случайной величины называется ее среднее значение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле

где – значения случайной величины, р i - ихвероятности.

Рассмотрим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание константы равно самой константе

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число

М (kx) = kМ (x)

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

М (x 1 + x 2 + … + x n) = М (x 1) + М (x 2) +…+ М (x n)

4. М (x 1 - x 2) = М (x 1) - М (x 2)

5. Для независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий

М (x 1 , x 2 , … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n)

6. М (x - М (x)) = М (x) - М (М(x)) = М (x) - М (x) = 0

Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11.

М (x) = = .

Пример 12. Пусть случайные величины x 1 , x 2 заданы соответственно законами распределения:

x 1 Таблица 2

x 2 Таблица 3

Вычислим М (x 1) и М (x 2)

М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0

М (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0

Математические ожидания обеих случайных величин одинаковы- они равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения x 1 мало отличаются от своего математического ожидания, то значения x 2 в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ. Аналогично по показателю средней заработной платы не возможно судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых работниках. Поэтому, вводится числовая характеристика – дисперсия D (x) , которая характеризует степень отклонения случайной величины от своего среднего значения:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Дисперсия –это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

D (x) = = (3)

Из определения дисперсии следует, что D (x) 0.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия константы равна нулю

2. Если случайную величину умножить на некоторое число k , то дисперсия умножится на квадрат этого числа

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = М (x 2) – М 2 (x)

4. Для попарно независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Вычислим дисперсию для случайной величины из Примера 11.

Математическое ожидание М (x) = 1. Поэтому по формуле (3) имеем:

D (x) = (0 – 1) 2 ·1/4 + (1 – 1) 2 ·1/2 + (2 – 1) 2 ·1/4 =1·1/4 +1·1/4= 1/2

Отметим, что дисперсию вычислять проще, если воспользоваться свойством 3:

D (x) = М (x 2) – М 2 (x).

Вычислим дисперсии для случайных величин x 1 , x 2 из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю.

D (x 1) = 0,01· 0,1 + 0,0001· 0,2 + 0,0001· 0,2 + 0,01· 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260

Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения.

Величина называется среднеквадратическим отклонением . Модой случайной величины x дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.

Модой случайной величины x непрерывного типа Md , называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f(x).

Медианой случайной величины x непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению

Математическое ожидание - это, определение

Мат ожидание - это одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр .

Мат ожидание - это среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Мат ожидание - это мера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Мат ожидание случайной величины x обозначается M(x) .

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это

Мат ожидание - это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Мат ожидание - это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание (Population mean) - это

Мат ожидание - это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Мат ожидание - это в теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть спекулянт, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных спекулянтов это иногда называется «преимуществом спекулянта » (если оно положительно для спекулянта) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для спекулянта).

Математическое ожидание (Population mean) - это

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Подойдём к понятию математического ожидания, сначала исходя из механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n , причём каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Число	Прибыль x i	Вероятность p i	x i p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Всего:		1,00	25000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.

Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .

Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .

Свойства математического ожидания

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:

Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием

В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Значение X	Вероятность
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Значение Y	Вероятность
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:

Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:

Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.

Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:

Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют

Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.

Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.

Проект 1	Проект 2	Проект 3	Проект 4
500, P =1	1000, P =0,5	500, P =0,5	500, P =0,5
	0, P =0,5	1000, P =0,25	10500, P =0,25
		0, P =0,25	9500, P =0,25

Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:

В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.

У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.

Свойства дисперсии

Приведём свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:

где .

Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.

Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:

E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,

откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .

Закон распределения случайной величины:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:

D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.

Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:

M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Дисперсия данной случайной величины:

D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.

Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.

Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

Задача 1. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В – из 4 семян взойдут 3 семени; событие С – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Вероятности
и
определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р , а вероятность ненаступления этого события равна
. Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли

где
– число сочетаний из п элементов по . Тогда

Искомая вероятность

Задача 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность
по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

где
и
.

Из условия задачи . Тогда

Из таблицы 1 приложений находим . Искомая вероятность равна

Задача 3. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности
приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения
. Поэтому при малых значениях р для вычисления
применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где .

Эта формула используется при
, причем чем меньше р и больше п , тем результат точнее.

По условию задачи
;
. Тогда

Задача 4. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р , то вероятность
того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

,
.

Функция
называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для
. При
функция
. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа
. Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи . По приведенным выше формулам находим
и :

Задача 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х :

Найти: 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Где в первой строке даны значения случайной величины х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание вычисляется по формуле

2) Дисперсия
дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от
. Из последней формулы имеем

Дисперсию
можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия
равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания
, то есть

Для вычисления
составим следующий закон распределения величины
:

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х , равное квадратному корню из дисперсии
, то есть

Из этой формулы имеем:

Задача 6. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения
; 2) математическое ожидание
; 3) дисперсию
.

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения
непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения
, то есть

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией
, то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как функция
при
и при
равна нулю, то из последней формулы имеем

3) Дисперсию
определим по формуле

Задача 7. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1,5 мм.

Решение. 1) Пусть Х – длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией
, то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку
, определяется по формуле