Что такое зависимость между величинами. Зависимость между случайными величинами. Предварительная подготовка. Вопросы и задания

Предварительная подготовка. Вопросы и задания

При решении каких информационных задач используются
электронные таблицы?

а) Как адресуются данные в электронной таблице?

б) Данные каких типов могут храниться в ячейках ЭТ?

в) Что такое принцип относительной адресации?

г) Как можно отменить действие относительной адресации?

В чем состоит назначение диаграмм?

Как определяется область выбора данных из таблицы для построения диаграммы и порядок выбора? Какие величины откладываются по горизонтальной (ОХ) оси и вертикальной (OY) оси?

В каких ситуациях предпочтительнее использовать: гистограммы; графики; круговые диаграммы?

Информационное моделирование в планировании и управлении производством

Изучаемые вопросы

Наиболее распространенные типы задач планирования и управления

Представление зависимостей между величинами

Статистика и статистические данные

Метод наименьших квадратов

Построение регрессионных моделей с помощью табличного процессора

Прогнозирование по регрессионной модели

Понятие о корреляционных зависимостях. Расчет корреляционных зависимостей в электронной таблице

Оптимальное планирование. Использование MS Excel для решения задачи оптимального планирования

Наиболее распространенные типы задач планирования и управления

В управлении и планировании существует целый ряд ти­повых задач, которые можно переложить на плечи компью­тера. Пользователь таких программных средств может даже и не знать глубоко математику, стоящую за применяемым аппаратом. Он лишь должен понимать суть решаемой проб­лемы, готовить и вводить в компьютер исходные данные, интерпретировать полученные результаты.

В данной теме рассмотрим три типа задач, которые часто приходится решать специалистам в области планирования и управления:

1) прогнозирование - поиск ответа на вопросы «Что будет через какое-то время?», или «Что будет, если...?»;

2) определение влияния одних факторов на другие - поиск ответа на вопрос «Как сильно влияет фактор Б на фактор А?», или «Какой фактор - Б или В - влияет сильнее на фактор А?»;

3) поиск оптимальных решений - поиск ответа на вопрос «Как спланировать производство, чтобы достичь оптимального значения некоторого показателя (например, максимума прибыли, или минимума расхода электроэнергии)? ».

Инструментом информационных технологий, который мы будем использовать, является табличный процессор MS Excel.

Представление зависимостей между величинами

Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других. Примеры зависимостей:

‒ время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;

‒ давление зависит от температуры газа в баллоне;

‒ частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей .

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления). Такие характеристики называются величинами.

Со всякой величиной связаны три основные свойства : имя, значение, тип.

Имя величины может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим. Примером полного имени является «Давление газа»; а символическое имя для этой же величины - Р. В базах данных величинами явля­ются поля записей. Для них, как правило, используются полные имена, например: «Фамилия», «Вес», «Оценка» и т. п. В физике и других науках, использующих математи­ческий аппарат, применяются символические имена для обозначения величин.

Если значение величины не изменяется, то она называет­ся постоянной величиной или константой. Пример кон­станты - число Пифагора π=3,14159... Величина, меняю­щая свое значение, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t).

Третьим свойством величины является ее тип . Тип определяет множество значений, которые может прини­мать величина. Основные типы величин: числовой, символь­ный, логический.

А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные ве­личины, зависимости между которыми нас будут интересо­вать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.

1. t (сек) - время падения; Н (м) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек 2) - константа.

2. Р (кг/м 2) - давление газа; t (С) - температура газа. Давление при нуле градусов Р о считается константой для данного газа.

3. Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей - С (мг/куб. м). Единица измерения - масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящимся на 1000 жителей данного города - Р (бол./тыс).

Если зависимость между величинами удается предста­вить в математической форме, то мы имеем математическую модель.

Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке ма­тематики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают фи­зические законы, и представляется в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально тем­пературе).

В более сложных задачах математические модели пред­ставляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости вели­чин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, ко­торая выражается системой неравенств.

Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического . Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом: бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы со­ставили таблицу и нарисовали график.

Предмет: математика
Класс: 4
Тема урока: Зависимости между скоростью, длиной пройденного пути и временем
движения.
Цель: выявить и обосновать зависимости между величинами: скорость, время,
расстояние;
Задачи: способствовать развитию нестандартного мышления, умение делать выводы,
рассуждать; содействовать воспитанию познавательной активности.
Оборудование: индивидуальные карточки разных цветов, критерии оценивания,
карточка для рефлексии, круги двух цветов.
Ход урока.
1. Орг.момент.
Карточка двух цветов: желтая и синяя. Показать с помощью карточки свое настроение
в начале и конце урока.
Заполнение карточки на начало урока (Приложение 1.)
№ Утверждение
Конец урока
Начало урока
Да
Нет
Не знаю Да
Нет Не
знаю
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
2. Повторение.
­ Как найти скорость? Время? Расстояние?
­ Назовите единицы измерения величины скорости, расстояние, время.
3. Сообщение темы урока.
­ Чему будем учиться на уроке?
4. Работа в группе.
­ Соединить объекты движения (Приложение 2)
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч

Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Проверка работ.
5. Математическая головоломка(самостоятельная работа)
­ Во сколько скорость велосипедиста меньше скорости поезда?
­ На сколько км скорость лыжника больше скорости пешехода?
­ Во сколько раз скорость автомобиля меньше скорости реактивного самолета?
­ Найди общую скорость самого скоростного движущегося средства и самого
медленного.
­ Найди общую скорость поезда велосипедиста и лыжника.
6. Самопроверка работ по критериям.
7. Физминутка.
Красный цвет квадрата­ стоим
Зеленый – идем
Желтый – хлопаем 1 раз в ладоши
8. Работа в группе. (Карточка желтого цвета) (метод Джегсо)
Задача.
Две бабы­яги поспорили, что быстроходнее ступа или помело? Одну и ту же
дистанцию в 228км баба­яга в ступе пролетела за 4ч, а баба­яга на помеле за 3ч. Что
больше, скорость ступы или помела?
9. Работа в паре «Эксперимент».
Придумать задачу на движение, используя величины: 18км/ч, 4ч, 24 км, 3ч.
Проверка работ.
10. Тест.
1.Записать формулу нахождения скорости.
2. Записать формулу нахождения времени.
3. Как найти расстояние? Запиши формулу.
4. Запиши 8 км/мин в км/ч
5. Найди время, за которое пройдет пешеход 42 км, двигаясь со скоростью 5км/ч.
6. Какое расстояние пройдет пешеход, двигаясь со скоростью 5км/ч в течение 6 часов?
11. Итог урока.
Заполнить таблицу, с какими результатами мы пришли к концу урока.
Показать карточку, которая соответствует вашему настроению.

Начало урока
Да
Нет
Приложение 1.
Конец урока
Не знаю Да
№ Утверждение
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
Соединить объекты движения.
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч
Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Нет Не
знаю
Приложение 2.

Величинами являются количественные значения предметов, длин отрезков, времени, углов и т.д.

Определение. Величина - результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения.

Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °.

Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.).

Основа метрической системы мер длины - метр - была введена в России в начале XIX века, а до этого для измерения длин использовались: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), косая сажень (= 2 м 13 см), маховая сажень (= 1 м 76 см), простая сажень (= 1 м 52 см), четверть (= 18 см), локоть (приблизительно от 35 см до 46 см), пядь (от 18 см до 23 см).

Как видим, было много величин для измерения длины. С вводом метрической системы мер жестко закреплена зависимость величин длины:

• 1 км = 1 000 м; 1 м = 100 см;
• 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.

В метрической системе мер определены единицы измерения времени, длины, массы, объема, площади и скорости.

Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем.

Определение. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными , если отношение их значений остается неизменным.

Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны.

Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении:

где S - путь; V - скорость; t - время.

Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной .

Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной .

Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин:

t = S: V - время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния).

V = S: t - скорость движения прямо пропорциональна пройденному пути и обратно пропорциональна времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний).

Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.

Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:

1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;

2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;

3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.

Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

12:10=х:3,5

Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:

Значит, потребуется 4,2 кг металла.

Ответ: 4,2 кг.

2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?

(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).

Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

15:12=1680:х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:

Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.

Ответ: 1344 рубля.