Полной характеристикой случайной величины является закон распределения. На практике такая характеристика не всегда может быть получена из-за ограниченности экспериментальных результатов. В этих случаях вместо законов распределения используют приближенное описание случайных величин, которая получается с помощью минимального числа неслучайных характеристик. Количество этих характеристик должно быть небольшим, но должно отражать наиболее существенные особенности распределении:

· математическое ожидание случайной величины;

· дисперсия (момент нулевого порядка, 1-го).

Простейшей числовой характеристикой дискретной случайной величины Х – среднее значение: , где - среднее значение случайной величины; N – число испытаний; - значение случайной величины, которое оно принимает при N испытаний.

Для характеристики разброса значений дискретной случайной величины в данной серии опытов используется квадрат разности между значениями случайно величины и её средним значением: , где - статистическая дисперсия случайно величины Х. При практических расчетах вместо дисперсии применяется среднеквадратическое отклонение: , чем меньше , тем теснее группируются значения случайной величины около её среднего значения .

Если результаты экспериментов характеризуются не одной случайной величиной, а несколькими, то кроме рассмотренных характеристик вводятся величины, характеризующие степень зависимости между этими случайными величинами. В качестве такой характеристики, например для 2-х случайных величин х и у в данной серии опытов принята величина: . Равенство (4) статическим корреляционным моментом. При увеличении опытов значение частоты появления данного события будет приближаться к вероятности . А среднее арифметическое значение будет стремится к её математическому ожиданию : , где вероятность появления значения . Таким образом, математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех её возможных значений х на вероятность появления этих значений . , дисперсией случайной величины называется её математическое ожидание квадрата отклонения от этой величины от её математического ожидания. , где центрированная случайная величина, , . Корреляционный момент: , где - это вероятность того, что случайная величина х, у примут значения x i , y i , .

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание, дисперсия и корреляционный момент определяются через плотность: .

Для независимых случайных величин: тогда , . Согласно (9) для независимых случайных величин потому, если двух случайных величин отличен от 0, то это указывает на наличие зависимости между этими случайными. Случайные величины для которых называются некорреляционными случайными величинами. характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Если, например, одна из величин Х или У мало отклоняется от своего математического ожидания, то корреляционный момент будет мал какой бы зависимостью эти величины мужду собой не обладали.

Для устранения этого недостатка вводится безразмерная характеристика, которая называется коэффициентом корреляции: . Если пользоваться механической интерпретацией, то абсциссу можно представить как центр тяжести фигуры, а дисперсию как момент инерции плоской фигуры.

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗБРОСА

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X. дисперсии D{X) = а 2 , среднему квадратическому отклонению а и коэффициенту вариации v. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации - применяется при М(Х) > О - измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = ф - аУ2.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно а коэффициент вариации таков:

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = X - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины:

Функция распределения Fy(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x ) исходной случайной величины X соотношением:

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

Нормированная случайная величина V - это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратическому отклонению а, т.е. V = XIо. Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения Fv(x) и плотности fv(x) нормированной случайной величины V имеем:

где F{x) - функция распределения исходной случайной величины X; fix) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства M{U) = 0, D(lf) = 1 позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если У = аХ + Ь, где а и b - некоторые числа, то

Пример 7. Если а = 1/G, b = -M(X)/G, то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин У, заданных формулой У = аХ + b при различных а > 0 и Ь. Это множество называют масштабно- сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения Fy(x ) составляют масштабно-сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо У = аХ + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что X - результат измерения некоторой величины - переходит в К - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-

распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y = IgX, где IgX - десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

связывает функции распределения X и Y.

Выше мы познакомились с законами распределения случайных величин. Каждый закон распределения исчерпывающим образом описывает свойства вероятностей случайной величины и дает возможность вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако во многих вопросах практики нет надобности в таком полном описании и зачастую достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения. Например, среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины, какое-то число, характеризующее величину этого разброса. Эти числа призваны выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения, и называются числовыми характеристиками случайной величины.

Среди числовых характеристик случайных величин прежде всего рассматривают характеристики, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т.е. некоторое среднее значение случайной величины, около которого группируются ее возможные значения. Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание , которое иногда просто называют средним значением случайной величины.

Предположим, что дискретная СВ?, принимает значения х { , х 2 ,..., х п с вероятностями р j, р 2 ,... у Ptv т.е. задана рядом распределения

Возможно, что в этих опытах значение х х наблюдалось N { раз, значение х 2 - N 2 раз,..., значение х п - N n раз. При этом + N 2 +... + N n =N.

Среднее арифметическое результатов наблюдений

Если N велико, т.е. N -» оо, то

описывающей центр распределения. Полученное таким образом среднее значение случайной величины назовем математическим ожиданием. Дадим словесную формулировку определения.

Определение 3.8. Математическим ожиданием (МО) дискретной СВ % называется число, равное сумме произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений (обозначение М;):

Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной СВ?, счетно, т.е. имеем РР

Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы п заменяется на оо, т.е.

В этом случае мы получаем уже ряд, который может и расходиться, т.е. соответствующая СВ ^ может и не иметь математического ожидания.

Пример 3.8. СВ?, задана рядом распределения

Найдем МО этой СВ.

Решение. По определению. т.е. Mt, не существует.

Таким образом, в случае счетного числа значений СВ получаем следующее определение.

Определение 3.9. Математическим ожиданием , или средним значением, дискретной СВ, имеющей счетное число значений, называется число, равное сумме ряда произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности, при условии что этот ряд сходится абсолютно, т.е.

Если этот ряд расходится или сходится условно, то говорят, что СВ ^ не имеет математического ожидания.

Перейдем от дискретной СВ к непрерывной с плотностью р(х).

Определение 3.10. Математическим ожиданием , или средним значением, непрерывной СВ называется число, равное

при условии что этот интеграл сходится абсолютно.

Если этот интеграл расходится или сходится условно, то говорят, что непрерывная СВ?, не имеет математического ожидания.

Замечание 3.8. Если все возможные значения случайной величины J;

принадлежат только интервалу (а ; Ь), то

Математическое ожидание - не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей. Иногда применяются такие, например, как мода и медиана.

Определение 3.11. Модой СВ ^ (обозначение Mot,) называется ее наиболее вероятное значение, т.е. то, для которого вероятность p i или плотность вероятности р(х) достигает наибольшего значения.

Определение 3.12. Медианой СВ?, (обозначение Met} называется такое ее значение, для которого P{t> Met} = Р{? > Met} = 1/2.

Геометрически для непрерывной СВ медиана - это абсцисса той точки оси Ох, для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1/2.

Пример 3.9. СВ t, имеет ряд распределения

Найдем математическое ожидание, моду и медиану СВ

Решение. МЪ, = 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Ме(?) не существует.

Пример 3.10. Непрерывная СВ % имеет плотность

Найдем математическое ожидание, медиану и моду.

Решение.

р(х) достигает максимума, то Очевидно, медиана также равна так как площади по правую и левую стороны от линии, проходящей через точку равны.

Кроме характеристик положения в теории вероятностей употребляют еще ряд числовых характеристик различного назначения. Среди них особое значение имеют моменты - начальные и центральные.

Определение 3.13. Начальным моментом k-го порядка СВ?, называется математическое ожидание k-й степени этой величины: =M(t > k).

Из определений математического ожидания для дискретной и непрерывной случайных величин следует, что

Замечание 3.9. Очевидно, начальный момент 1-го порядка - это математическое ожидание.

Перед тем как дать определение центрального момента, введем новое понятие центрированной случайной величины.

Определение 3.14. Центрированной СВ называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

Нетрудно убедиться, что

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала отсчета в точку М;. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 3.15. Центральным моментом k-го порядка СВ % называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины:

Из определения математического ожидания следует, что

Очевидно, для любой случайной величины ^ центральный момент 1-го порядка равен нулю: с х = М(? 0) = 0.

Особое значение для практики имеет второй центральный момент с 2 . Он называется дисперсией.

Определение 3.16. Дисперсией СВ?, называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины (обозначение D?)

Для вычисления дисперсии можно получить следующие формулы непосредственно из определения:

Преобразуя формулу (3.4), можно получить следующую формулу для вычисления DL;.

Дисперсия СВ есть характеристика рассеивания , разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобно пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением случайной величины. Будем обозначать его а: а = л/щ.

Для неотрицательной СВ?, в качестве характеристики иногда применяется коэффициент вариации , равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Зная математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. Во многих случаях можно считать, что значения случайной величины % только изредка выходят за пределы интервала М; ± За. Это правило для нормального распределения, которое мы обоснуем в дальнейшем, носит название правило трех сигм.

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Из определения математического ожидания и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.

Простейшие свойства математического ожидания и дисперсии.

1. Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с: М(с) = с.

Действительно, так как величина с принимает только одно значение с вероятностью 1, то М(с) = с 1 = с.

2. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю, т.е. D(c) = 0.

Действительно, Dc = М(с - Мс) 2 = М(с - с) 2 = М(0) = 0.

3. Неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(с^) = с М(?,).

Покажем справедливость этого свойства на примере дискретной СВ.

Пусть СВ задана рядом распределения

Тогда

Следовательно,

Аналогично доказывается свойство и для непрерывной случайной величины.

4. Неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате:

Чем больше моментов случайной величины известны, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем.

В теории вероятностей и ее приложениях используют еще две числовые характеристики случайной величины, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков, - коэффициент асимметрии , или m x .

Для дискретных случайных величин математическое ожидание :

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

Одно-модальное распределение

Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не

совпадают.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(XMed). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения

Моменты.

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

Согласно определению

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.

Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, m y той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением или центрированной случайной величиной :

Ряд распределения центрированной случайной величины имеет вид:

X  М(Х)	х 1  М(Х)	х 2  М(Х)		х n  М(Х)
	р 1	p 2		р n

Свойства центрированной случайной величины:

1. Математическое ожидание отклонения равно 0:

2. Дисперсия отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания равна дисперсии самой случайной величины Х:

Другими словами, дисперсия случайной величины и дисперсия ее отклонения равны между собой.

4.2. Если отклонение Х  М(Х) разделить на среднее квадратическое отклонение  (Х) , то получим безразмерную центрированную случайную величину, которая называется стандартной (нормированной) случайной величиной :

Свойства стандартной случайной величины:

Математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю: M (Z ) =0.

Дисперсия стандартной случайной величины равна 1: D (Z ) =1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) 1 билет, б) 2 билета. Найдите числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по мишени один раз. Случайная величина Х – число очков, выбиваемых при одном выстреле первым стрелком, – имеет закон распределения:

Z – суммы очков, выбиваемых обоими стрелками. Определить числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Случайная величина Х 1 – число попаданий первого стрелка, Х 2  число попаданий второго стрелка. Найти закон распределения: а) общего числа попаданий; б) случайной величины Z =3Х 1  2Х 2 . Определить числовые характеристики общего числа попаданий. Проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсии: M (3 X  2 Y )=3 M (X )  2 M (Y ), D (3 X  2 Y )=9 D (X )+4 D (Y ).

Случайная величина Х – выручка фирмы – имеет закон распределения:

Найти закон распределения для случайной величины Z – прибыли фирмы. Определить ее числовые характеристики.

Случайные величины Х и У независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение

Одинаковые ли законы распределения имеют случайные величины 2 Х и Х + У ?

Доказать, что математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю, а дисперсия равна 1.