Сложение векторов по модулю. Векторы. Операции с векторами. Векторное произведение векторов
Детерминированный факторный анализ в качестве цели выдвигает изучение влияния факторов на результативный показатель в случаях его функциональной зависимости от ряда факторных признаков.
Функциональную зависимость можно выразить различными моделями - аддитивной; мультипликативной; кратной; комбинированной (смешанной).
Аддитивную взаимосвязь можно представить как математическое управление, отражающее тот случай, когда результативный показатель (у) - это алгебраическая сумма нескольких факторных признаков:
Мультипликативная взаимосвязь отражает прямую пропорциональную зависимость исследуемого обобщающего показателя от факторов:
где П - общепринятый знак произведения нескольких сомножителей.
Кратная зависимость результативного показателя (у) от факторов математически отражается как частное от их деления:
Комбинированная (смешанная) взаимосвязь результативного и факторных показателей представляет собой сочетание в различных комбинациях аддитивной, мультипликативной и кратной зависимости:
где а, в, с и т.д. - переменные.
Известен ряд приемов моделирования факторных систем: прием расчленения; прием удлинения; прием расширения и прием сокращения исходных кратных двухфакторных систем типа: -. В результате процесса моделирования из двухфакторной кратной модели формируются аддитивно-кратные, мультипликативные и мультипликативно-кратные многофакторные системы типа:
Способы измерения влияния факторов в детерминированных моделях
Широкое распространение в аналитических расчетах получил способ цепной подстановки ввиду возможности использовать его в детерминированных моделях всех типов. Суть этого приема состоит в том, что для измерения влияния одного из факторов осуществляется замена его базового значения на фактическое, при этом остаются неизменными значения всех других факторов. Последующее сопоставление результативных показателей до и после замены анализируемого фактора дает возможность рассчитать его влияние на изменение результативного показателя. Математическое описание способа цепных подстановок при использовании его, например, в трехфакторных мультипликативных моделях выглядит следующим образом.
Трехфакторная мультипликативная система:
Последовательные подстановки:
Тогда для расчета влияния каждого из факторов надо выполнить такие действия:
Баланс отклонений:
Последовательность расчетов способом цепных подстановок рассмотрим на конкретном числовом примере, когда зависимость результативного показателя от факторных может быть представлена четырехфакторной мультипликативной моделью.
В качестве результативного показателя избрана стоимость реализованной продукции. Ставится цель исследовать изменение этого показателя под воздействием отклонений от базы сравнения ряда трудовых факторов - численности рабочих, целодневных и внут- рисменных потерь рабочего времени и среднечасовой выработки. Исходная информация приведена в табл. 15.1.
Таблица 15.1
Информация для факторного анализа изменения стоимости реализованной
продукции
Показатель |
Обозначение |
сравнения |
Абсолютное отклонение |
Темп роста, % |
Относительное отклонение, %-ных пунктов |
|
1.Реализованная продукция, тыс. руб. |
РП = N |
|||||
2. Среднегодовая численность рабочих, чел. |
||||||
3.Общее число отработанных рабочими чел./дней, тыс. |
||||||
4.Общее число отработанных рабочими чел./ч, тыс. |
||||||
5.Отработано за год одним рабочим днем (стр.З: стр.2) |
||||||
6.Средняя продолжительность рабочего дня, ч (стр.4: стр.З) |
||||||
7.Среднечасовая выработка, руб. (стр.1: стр.4) |
||||||
8.Среднегодовая выработка одного рабочего, тыс. руб. (стр.1: стр.2) |
Исходная четырехфакторная мультипликативная модель:
Цепные подстановки:
Расчеты влияния изменения факторных показателей приводятся ниже.
1. Изменение среднегодовой численности рабочих:
2. Изменение числа дней, отработанных одним рабочим:
3. Изменение средней продолжительности рабочего дня:
4. Изменение среднечасовой выработки:
Баланс отклонений:
Результаты расчетов способом цепных подстановок зависят от правильности определения соподчиненности факторов, от их классификации на количественные и качественные. Изменение количественных мультипликаторов должно проводиться раньше, чем качественных.
В мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях широко применяется способ абсолютных разниц, также основанный на приеме элиминирования и отличающийся простотой аналитических расчетов. Правило расчетов этим способом в мультипликативных моделях состоит в том, что отклонение (дельту) по анализируемому факторному показателю надо умножить на фактические значения мультипликаторов (сомножителей), расположенных слева от него, и на базовые значения тех, которые расположены справа от анализируемого фактора.
Порядок факторного анализа способом абсолютных разниц для комбинированных (смешанных) моделей рассмотрим с помощью математического описания. Исходная базисная и фактическая модели:
Алгоритм расчета влияния факторов способом абсолютных разниц:
Баланс отклонений:
Способ относительных разниц используется, так же как и способ абсолютных разниц, только в мультипликативных и комбинированных (смешанных) моделях.
Для мультипликативных моделей математическое описание названного приема будет следующим. Исходные базовая и фактическая четырехфакторные мультипликативные системы:
Для факторного анализа способом относительных разниц вначале надо определить относительные отклонения по каждому факторному показателю. Например, по первому фактору это будет процентное отношение его изменения к базе:
Затем для определения влияния изменения каждого фактора производятся такие расчеты.
Рассмотрим последовательность действий на числовом примере, исходная информация для которого содержится в табл. 15.1.
В гр. 7 табл. 15.1 отражены относительные отклонения по каждому факторному показателю.
Результаты влияния изменения каждого из факторов на отклонение результативного показателя от сравнения будут следующими:
Баланс отклонений: РП, -РП 0 =432 012-417 000 = +15 012 тыс. руб. (-9811,76) + 3854,62+ (-10 673,21) + 31 642,36 = 15 012,01 тыс. руб. Индексы представляют собой обобщающие показатели сравнения во времени и в пространстве. Они отражают процентное изменение изучаемого явления за какой-то период времени по сравнению с базисным периодом. Такая информация дает возможность сравнить изменения различных факторов и проанализировать их поведение.
В факторном анализе индексный метод используется в мультипликативных и кратных моделях.
Обратимся к его использованию для анализа кратных моделей. Так, агрегатный индекс физического объема продаж (J g) имеет вид:
где q - индексируемая величина количества; р 0 - соизмеритель (вес), цена, зафиксированная на уровне базисного периода.
Разница между числителем и знаменателем в этом индексе отражает изменение товарооборота за счет изменения его физического объема.
Агрегатный индекс цен (формула) Пааше записывается таким образом:
Используя информацию, содержащуюся в табл. 15.1, рассчитаем влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих и индекса среднегодовой выработки одного рабочего на темп роста реализованной продукции.
Производительность труда (ПТ) одного рабочего в базовом году равна 245,29 млн руб., а в отчетном - 260,25 млн руб. Индекс роста (/ пт) составит 1,0610 (260,25: 245,29).
Индексы роста реализованной продукции (/ рп) и среднегодовой численности рабочих (/ сч) по данным табл. 15.1- соответственно:
Взаимосвязь трех указанных индексов можно представить в виде двухфакторной мультипликативной модели:
Факторный анализ способом абсолютных разниц дает такие итоги.
1. Влияние изменения индекса среднесписочной численности рабочих:
2. Влияние изменения индекса производительности труда:
Баланс отклонений: 1,0360 - 1,0 = +0,0360 или (-0,0235) + 0,0596= + 0,0361 100 = 3,61%.
Интегральный способ применяется в детерминированном факторном анализе в мультипликативных, кратных и комбинированных моделях.
Этот метод позволяет разложить дополнительный прирост результативного показателя в связи с взаимодействием факторов между ними.
Практическое использование интегрального метода базируется на специально разработанных рабочих алгоритмах для соответствующих факторных моделей. Например, для двухфакторной мультипликативной модели (у = а в) алгоритм будет таким:
В качестве примера используем двухфакторную зависимость реализованной продукции (РП) от изменения среднегодовой численности рабочих (СЧ) и их среднегодовой выработки (ПТ):
Исходная информация имеется в табл. 15.1.
Влияние изменения среднегодовой численности:
Влияние изменения производительности труда (среднегодовой выработки одного рабочего):
Баланс отклонений:
В факторном анализе в аддитивных моделях комбинированного (смешанного) типа может использования способ пропорционального деления. Алгоритм расчета влияния факторов на изменение результативного показателя для аддитивной системы типа у = а + в + с будет таким:
В комбинированных моделях расчет влияния факторов второго уровня может быть выполнен способом долевого участия. Вначале рассчитывается доля каждого фактора в общей сумме их изменений, а затем эта доля умножается на общее отклонение результативного показателя. Алгоритм расчета такой:
Систематизируем рассмотренные способы расчетов влияния отдельных факторов в детерминированном факторном анализе с использованием схемы (рис. 15.4).
Они используются в тех случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей.
2. Мультипликативные модели
Y=
.
Этот тип моделей применяется тогда, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов.
3. Кратные модели
Y=.
Они применяются тогда, когда результативный показатель получают делением одного факторного показатели на величину другого.
4. Смешанные (комбинированные) модели - это сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей:
Y=; Y=; Y=(a+b)c .
Преобразование факторных систем
1. Преобразование мультипликативных факторных систем осуществляется путем последовательного расчленения факторов исходной системы на факторы-сомножители .
Например, при исследовании процесса формирования объема производства продукции (см.рис.6.1) можно применять такие детерминированные модели, как
ВП=КРГВ; ВП=КРДДВ, ВП=КРДПСВ.
Эти модели отражают процесс детализации исходной факторной системы мультипликативного вида и расширения ее за счет расчленения на сомножители комплексных факторов. Степень детализации и расширения модели зависит от цели исследования, а также от возможностей детализации и формализации показателей в пределах установленных правил.
2. Аналогичным образом осуществляется моделирование аддитивных факторных систем за счет расчленения одного из факторных показателей на его составные элементы-слагаемые .
Пример. Как известно, объем реализации продукции
VРП = VВП – VИ,
где VВП - объем производства;
VИ – объем внутрихозяйственного использования продукции.
В сельскохозяйственном предприятии зернопродукция использовалась в качестве семян (С) и кормов (К) Тогда приведенную исходную модель можно записать следующим образом: VП = VВП - (С + К).
3. К классу кратных моделей применяют следующие способы их преобразования:
удлинения;
формального разложения;
расширения;
сокращения.
Первый метод предусматривает удлинение числителя исходной модели путем замены одного или нескольких факторов на сумму однородных показателей .
Например, себестоимость единицы продукции можно представить в качестве функции двух факторов: изменение суммы затрат (3) и объема выпуска продукции (VВП). Исходная модель этой факторной системы будет иметь вид
С=.
Если общую сумму затрат (3) заменить отдельными их элементами, такими, как оплата труда (ОТ), сырье и материалы (СМ), амортизация основных средств (А), накладные затраты (НЗ) и др., то детерминированная факторная модель будет иметь вид аддитивной модели с новым набором факторов
С=+++=X+ X+ X+ X,
где X– трудоемкость продукции; X– материалоемкость продукции; X– фондоемкость продукции; X– уровень накладных затрат
Способ формального разложения факторной системы предусматривает удлинение знаменателя исходной факторной модели путем замены одного или нескольких факторов на сумму или произведение однородных показателей .
Если b=l+m+n+р , то
Y=
.
В результате получили конечную модель того же вида, что и исходной факторной системы (кратную модель). На практике такое разложение встречается довольно часто. Например, при анализе показателя рентабельности производства (Р):
Р=,
где /7 - сумма прибыли от реализации продукции;
3 - сумма затрат на производство и реализацию продукции.
Если сумму затрат заменить на отдельные ее элементы, конечная модель в результате преобразования приобретет следующий вид:
Р=
.
Себестоимость
одного тонно-километра (С
)
зависит от суммы затрат на содержание
и эксплуатацию автомобиля (3) и от его
среднегодовой выработки (ГВ). Исходная
модель этой системы будет иметь вид
С
=.
Учитывая, что среднегодовая выработка машины в свою очередь зависит от количества отработанных дней одним автомобилем за год (Д), продолжительности смены (П) и среднечасовой выработки (СВ), мы можем значительно удлинить эту модель и разложить прирост себестоимости на большее количество факторов:
С
=
.
Метод расширения предусматривает расширение исходной факторной модели за счет умножения числителя и знаменателя дроби на один или несколько новых показателей. Например, если в исходную модель
ввести новый показатель с, то модель примет вид
.
В результате получилась конечная мультипликативная модель в виде произведения нового набора факторов.
Этот способ моделирования очень широко применяется в анализе. Например, среднегодовую выработку продукции одним работником (показатель производительности труда) можно записать таким образом: ГВ = ВП / КР. Если ввести такой показатель, как количество отработанных дней всеми работниками (Д), то получим следующую модель годовой выработки:
ГВ=
,
где ДВ – среднедневная выработка; Д – количество отработанных дней одним работником.
После введения показателя количества отработанных часов всеми работниками (Т) получим модель с новым набором факторов: среднечасовой выработки (СВ), количества отработанных дней одним работником (Д) и продолжительности рабочего дня (П):
Способ сокращения представляет собой создание новой факторной модели путем деления числителя и знаменателя дроби на один и тот же показатель :
.
В данном случае получается конечная модель того же типа, что и исходная, однако с другим набором факторов.
Другой пример. Экономическая рентабельность активов предприятия (ROA) рассчитывается делением суммы прибыли (П) на среднегодовую стоимость основного и оборотного капитала предприятия (A): ROA=П/A.
Если числитель и знаменатель разделим на объем продажи продукции (S), то получим кратную модель, но с новым набором факторов: рентабельности реализованной продукции и капиталоемкости продукции:
Результативные показатели могут быть разложены на составные элементы (факторы) различными способами и представлены в виде различных типов детерминированных моделей. Выбор способа моделирования зависит от объекта исследования, поставленной цели, а также от профессиональных знаний и навыков исследователя. Процесс моделирования факторных систем - очень сложный и ответственный момент в экономическом анализе. От того, насколько реально и точно созданные модели отражают связь между исследуемыми показателями, зависят конечные результаты анализа .