По горизонтальному полу по прямой
При решении задач на статику надо использовать условия равновесия (8.2.5), причем от векторного уравнения для суммы сил следует перейти к проекциям сил на координатные оси. Иногда, впрочем, удобнее решать задачу, используя геометрическое правило сложения векторов. При записи уравнения моментов вначале надо подумать, как выбрать ось, чтобы плечи сил определялись наиболее просто и были бы равны нулю для большинства сил.
Положение центра тяжести можно определить, используя формулы (8.3.8) и (8.3.9).
Применяя принцип минимума потенциальной энергии, нетрудно ответить в ряде случаев на многие вопросы, на которые дать обоснованный ответ другим способом значительно сложнее.
Ряд задач на динамику твердого тела можно решить, используя условия равновесия тел, если перейти в неинерциаль-ную систему отсчета, относительно которой тело покоится. При этом в условия равновесия наряду с обычными силами должны входить силы инерции и моменты этих сил.
Задача 1
Шар массой m подвешен на нити (рис. 8.24, а) и удерживается в отклоненном положении горизонтальной силой . Найдите угол а, который образует нить с вертикалью при равновесии. Чему при этом равна сила натяжения нити?
Рис. 8.24
Решение. На шар действуют три силы: сила тяжести т = m, сила и сила натяжения нити , направленная вдоль нити. По первому условию равновесия
Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.24, б. Так как сумма сил равна нулю, то и сумма проекций сил на обе оси координат равна нулю:
или для модулей проекций:
Эту же задачу можно решить, используя правило сложения векторов. Так как сумма сил , m и равна нулю, то при сложении сил должен получиться треугольник. Начнем построение с известных сил. Сначала построим вектор силы mg (рис. 8.24, в). Из конца С этого вектора проведем вектор силы . Соединив конец вектора силы с точкой А, получим силовой треугольник ABC, в котором сторона АВ есть искомая сила . Из прямоугольного треугольника ABC находим:
Этот метод решения задачи оказывается более простым.
Задача 2
Однородная балка длиной 2l и массой m, расположенная горизонтально, одним концом шарнирно закреплена в точке А (рис. 8.25). Другой конец балки опирается в точке В на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом α. На балке на расстоянии а от шарнира А расположен груз массой m 1 . Найдите силы реакции шарнира и плоскости. Трение в шарнире отсутствует.
Рис. 8.25
Решение. На балку действуют четыре силы: сила реакции наклонной плоскости , сила тяжести = m, вес груза = mr и сила реакции со стороны шарнира (см. рис. 8.25), которую мы изобразили на рисунке условно, так как направление ее неизвестно.
Направим оси координат X и У так, как показано на рисунке.
Поскольку балка находится в равновесии, то сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю:
Найдем плечи сил:
Плечо силы равно нулю, так как она приложена в шарнире и проходит через ось.
С учетом знаков моментов уравнение (8.5.1) запишется так:
Для нахождения силы реакции шарнира воспользуемся первым условием равновесия:
Запишем это уравнение в проекциях на координатные оси X и У:
Модуль силы реакции шарнира равен:
С осью X вектор силы образует угол у, косинус которого определяется выражением:
Задача 3
Четыре шара массами m, 2m, Зm, 4m расположены в вершинах проволочного квадрата, сторона которого равна 1 м. Найдите положение центра тяжести D системы; массами проволок можно пренебречь.
Решение. Координатные оси направим так, как показано на рисунке 8.26. Центры тяжести шаров расположены соответственно в точках О, А, В, С. Масса системы М = m + 2m + Зm + + 4m = 10m.
Рис. 8.26
Координаты центров шаров равны: х 1 = О, х 2 = 0, х 3 = 1 м, х 4 = 1 м, у 1 = 0, у 2 = 1 м, у 3 = 1 м, у 4 = 0. По формулам для координат центра тяжести имеем:
Центр тяжести системы расположен в точке D с координатами х = 0,7 м, у = 0,5 м.
Задача 4
К двум гвоздям, вбитым в стену, подвешен согнутый в середине стержень и веревка, длина которой равна длине стержня (рис. 8.27). У какого из тел центр тяжести расположен ниже?
Рис. 8.27
Решение. Для ответа на этот вопрос воспользуемся принципом минимума потенциальной энергии.
Мысленно натянем веревку за ее середину, так чтобы она совместилась со стержнем. В таком положении их центры тяжести совпадают. Если отпустить веревку, то она не остается в этом положении, а провиснет, т. е. перейдет из неустойчивого положения в устойчивое. Значит, потенциальная энергия веревки уменьшается, а центр тяжести опускается вниз.
Итак, центр тяжести расположен ниже у веревки, чем у стержня.
Задача 5
К гладкой вертикальной стене дома прислонена лестница. Угол между лестницей и горизонтальной поверхностью α = 60°. Центр тяжести лестницы находится посредине. Как направлена сила, действующая на лестницу со стороны земли?
Решение. На лестницу действуют сила тяжести т, сила со стороны земли и сила реакции стены . Так как стена гладкая, сила N перпендикулярна ей (рис. 8.28). Направление силы проще всего определить, если найти положение оси, относительно которой моменты сил т и равны нулю.
Рис. 8.29
Ось должна проходить через точку пересечения прямых ОА и ОВ перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда и момент силы относительно этой оси должен быть равен нулю. Следовательно, вектор силы должен быть направлен таким образом, чтобы его продолжение прошло через точку О. Из рисунка 8.28 видно, что Δ CBD = Δ АОВ. Поэтому OB = BD. Обозначим длину отрезка CD буквой а, отрезка DB -b: CD = a, DB = b, OD = 2b. Из Δ OCD имеем.
Осталось
220 . Хоккейная шайба, скользя по льду, проходит последовательно два равных отрезка пути длиной l каждый и продолжает двигаться. Первый отрезок она проходит за t секунд, второй − за время 2t секунд. Найти скорость шайбы в конце первого отрезка пути, если сопротивление движению считать постоянным. [v = 5l/(6t) ]
221 . Низкая тележка весом P = 12,5 кг может без трения перемещаться по горизонтальному полу. На тележке лежит груз весом P 1 = 10 кг . К грузу прикреплена веревка, перекинутая через невесомый блок, укрепленный на тележке, как показано на рисунке. С каким ускорением начнет двигаться тележка по полу, если к свободному концу веревки приложить силу F = 10 кг , направленную вертикально вверх. Коэффициент трения между грузом и тележкой k = 0,6 . Принять g = 10 м/с 2 . [a = 1,6 м/с 2 ]
222
. На горизонтально расположенном дне прямоугольного желоба лежат брусок массы M
и соприкасающийся с ним клин массы m
, который может скользить по бруску (рис., вид сверху). Правая вертикальная грань бруска скошена под углом α
. Брусок может перемещаться вдоль желоба, боковые стенки которого служат направляющими. Нормально к левой вертикальной грани бруска прикладывается сила F
. С каким ускорением начнет двигаться брусок? Трением между всеми соприкасающимися поверхностями пренебречь. [a = F/(M + msin 2 α)
]
223 . Малый тяжелый шарик на нити вращается в вертикальной плоскости. Показать, что шарик не сможет вращаться, если нить не в состоянии выдержать натяжение T , превышающее вес шарика в 6 раз . [решение]
224 . Однородный стержень массы m и длины l вращается с угловой скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Определить натяжение T в стержне в сечении, находящемся на расстоянии a от оси вращения. [T = mω 2 l/2 ]
225 . Тело, масса которого m = 20 кг , тянут по горизонтальной поверхности с силой F = 120 H . Если эта сила приложена к телу под углом α 1 = 60 o a будет двигаться это тело, если ту же силу приложить под углом α 2 = 30 o к горизонту? Принять g = 10 м/с 2 ; точность расчета 10 % . [α 1 = 60 2 , a = 0, k = 0,6; α 2 = 30 2 , a = 0,9 м/с 2 ]
226 . Шарик массы m = 200 г может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω = 2 с −1 . К шарику прикреплена пружина, другой конец которой закреплен на оси. Длина пружины в недеформированном состоянии l = 20 см . Определить абсолютное удлинение пружины Δl . Жесткость пружины k = 4 Н/м . [Δl = mω 2 l/(k − mω 2) = 5 см ]
227 . Космический корабль находится на расстоянии h = 20000 км от поверхности Земли и в системе координат, связанной с Землей, имеет скорость v 1 = 6 км/с , направленную по радиусу от центра Земли. Двигатели не работают. Упадет ли корабль на Землю или улетит в космическое пространство? Влиянием Солнца, Луны и планет пренебречь. Радиус Земли равен R o = 6400 км . g o = 10 м/с 2 . Что произойдет, если при тех же условиях скорость корабля v 2 = 5 км/с или v 3 = 4 км/с ? [Если кинетическая энергия корабля больше его потенциальной энергии, то корабль улетит. При v 1 = 6 км/с корабль улетит, а при v 2 = 5 км/с и v 3 = 4 км/с корабль упадет на Землю]
228
. Три одинаковых тела начинают скользить по абсолютно гладкой неподвижной шаровой поверхности радиуса R
из положения, когда третье тело находится на полюсе шара. Тела соединены невесомыми и нерастяжимыми нитями одинаковой длины l < < R
.
а) Определить начальное ускорение a этой системы тел.
б) Определить, при каком минимальном коэффициенте трения μ
между телами и шаровой поверхностью тела не сдвинутся с места. [a = gl/R, μ ≥ l/R
]
229
. Два тела с массами m 1 = 100 г
и m 2 = 600 г
соединены между собой при помощи невесомой нерастяжимой нити и системы блоков (рис.). Один конец нити неподвижно закреплен. Тело массы m
, скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30 o
. Определить ускорение a 2
тела с массой m 2
. Трением и массой блоков пренебречь. [5 м/с 2
]
230
. Небольшое тело M
начинает скользить без начальной скорости из верхней точки наклонной плоскости. Наклонная плоскость установлена на горизонтальном столе, как показано на рисунке, и имеет высоту H
и угол наклона α
. Коэффициент трения тела о плоскость равен μ
. На каком расстоянии по горизонтали от нижнего конца A
наклонной плоскости тело упадет на пол, если высота стола h
? [S = H(1 − μctgα)(√{1 + (k/H)(1/(1 − μctgα)sin 2 α)} − 1)sin2α
]
231
. Два тела с массами m 1 = 2 кг
и m 2 = 1 кг
подвешены с помощью невесомых и нерастяжимых нитей и невесомого блока, как показано на рисунке. Нить перерезают в месте, отмеченном косым крестом. Через сколько времени после этого скорость тела m1 станет равной v = 4,9 м/с
? Трением пренебречь. Считать, что блок движению тел не помешает. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с 2
. [t = v(4m 1 + m 2)/(2g(2m 1 + m 2)) = 0,45 c
]
232
. Определить ускорения грузов массой m 1
и m 2
в системе, изображенной на рисунке. (Массами блоков и нитей, растяжением нитей и трением в блоках пренебречь). [a 1 = 4g(4m 1 − m 2)/(16m 1 + m 2), a 2 = g(m 2 − 4m 1)/(16m 1 + m 2)
]
233
. Шарик подвешен на нити длиной l = 32 см
так, что точка подвеса находится на высоте Н = 50 см
над гладким столом. Шарик вывели из положения равновесия, отклонив нить в натянутом состоянии на угол 90 o
. и отпустили без толчка. Нить оборвалась в тот момент, когда ее угол отклонения от вертикали был α = 60 o
. Найти высоту h
на которую шарик подпрыгнет после удара о стол, если этот удар абсолютно упругий. Нить нерастяжима. [h = H − lcos 3 α
]
234 . На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии l = 1 м от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой μ = 0,1 . Через какое время после начала вращения платформы груз соскользнет с нее, если платформа начинает вращаться равноускоренно и через t = 2 мин приобретает угловую скорость ω = 1,2 рад/с ? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с 2 . [t 1 = (t/ω)√{μg/l} = 100 c ]
235 . Тело массой m = 1 кг вращается на веревке длиной l = 1 м в вертикальной плоскости с постоянной скоростью v = 4 м/с . Определить натяжение веревки в момент, когда веревка составляет с вертикалью угол α = 60 o . [T = m(v 2 /l − gcosα) = 9 H ]
236 . С каким ускорением будут двигаться по наклонной плоскости два жестко скрепленных между собой тела, имеющих массы m 1 и m 2 ? Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью равны, соответственно, μ 1 и μ 2 . Угол наклонной плоскости равен α. [a = g(sinα − (μ 1 m 1 + μ 2 m 2)cosα/(m 1 + m 2)) ]
237
. Клин с углом при основании, равным α = 45 o
, может скользить вдоль горизонтальной плоскости. На клине находится брусок (рис.). С каким ускорением a
должен двигаться клин в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка), чтобы брусок относительно клина находился в покое, если коэффициент трения между поверхностями клина и бруска равен μ = 0,1
? [|a 1 | ≤ |a| ≤ |a 2 |
]
238
. На горизонтальном столе лежит тонкий диск массой M = 500 г
и радиусом R = 15 см
(рис.). В центре диска укреплен тонкий невесомый вертикальный стержень длиной l = 40 см
. К верхнему концу стержня на невесомой нерастяжимой нити подвешен маленький шарик массой m = 300 г
. Длина нити меньше длины стержня. Шарик приводится в движение тик, что он описывает окружность в горизонтальной плоскости вокруг стержня. Какой максимальный угол α
может при этом составлять нить со стержнем, чтобы диск не отрывался от стола? Считать, что вследствие трения диск не может скользить, по столу. [α ≤ arctg{R(M + m)/(lm)} = π/4
]
239
. В системе, изображенной на рисунке. грузы с массами m 1
и m 2
лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Невесомая и нерастяжимая нить, соединяющая грузы, перекинута через невесомые блоки. Трение в осях блоков отсутствует. В определенный момент времени на ось верхнего блока начинают действовать силой F
. направленной вертикально вверх. Найдите зависимость проекции v
относительной скорости грузов от времени. [v = F(m 1 + m 2)t/(2m 1 m 2)
]
240
. Поезд массой M = 1000 т
двигался равномерно по горизонтальному пути. От поезда отцепилась часть вагонов массой m = 100 т
. По какому закону будет изменяться со временем расстояние s между частями состава (до остановки отцепившейся части состава)? Тяга локомотива остается постоянной, коэффициент трения μ = 5 ×10 −3
, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2
. [S = μMgt 2 /(2(M − m)) ≈ 2,8 × 10 −2 t 2
]
241
. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой M = 300 г
. (рис.). На краю стола укреплен невесомый блок, способный вращаться без трения. Брусок связан нитью, перекинутой через блок, с телом массой m = 100 г
. Начальная скорость бруска направлена от блока и равна v o = 4,9 м/с
. Определите следующие величины через время t = 4 с
после начала движения бруска:
1) модуль и направление скорости v
бруска;
2) расстояние s бруски от его начального положения. [v = v o t − mgt/(m + M) = 4,9 м/с
, скорость направлена вправо, s = v o t − mgt 2 /(2(m + M)) = 0
]
242
. Маленький шарик подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Шарик вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Период обращения равен T 1
, а угол отклонения нити от вертикали – α 1
. Чему будет равен период обращения, если вся система начнет ускоренно двигаться вниз с ускорением a < g
? Угол отклонения нити при этом равен α 2
. [T 2 = T 1 √{gcosα 2 /(g − a)cosα 1 }
]
243
. Небольшой брусок лежит на краю горизонтальной доски длиной l = 2 м
(рис.). Через какое время брусок соскользнет, если доска начнет двигаться по горизонтами вправо с ускорением a = 3 м/с 2
? Коэффициент трения между бруском и доской μ = 0,2
. [t = √{2l/(a − μg)} ≈ 2 c
]
244
. Тело массы m = 0,5 кг
прикреплено двумя одинаковыми пружинами к вертикальным стенкам и совершает колебания, двигаясь прямолинейно по горизонтальной плоскости (рис.). Величины двух последовательных отклонений тела от среднего положения (положения равновесия) вправо и влево равны s 1 = 10 см и s 2 = 7 см
. Определите коэффициент трения μ
тела о плоскость, если известно, что жесткость каждой пружины k = 15 Н/м
. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2
. [μ = 0,09
]
245
. Тело массой m = 20 кг
тянут силой F = 120 H
по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом α 1 = 60 o
к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением α
будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом α 2 = 30 o
к горизонту? Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2
. [a ≈ 0,825 м/с 2
]
246 . На столе лежит доска массы M = l кг , а па доске груз массы m = 0,5 кг . Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы она выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом и доской μ 1 = 0,1 ; между доской и столом μ 2 = 0,2 . Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 . [F > (m + M)(μ 1 + μ 2)g = 4,5 H ]
247
. С каким минимальным ускорением a нужно перемешать в горизонтальном направлении брусок A
, чтобы тела 1
и 2
не двигались относительно бруска (рис.)? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами μ = 0,4
. В блоке трения нет. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с 2
. [a = (1 − μ)g/(1 + μ) = 4,2 м/с 2
]
248
. На диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси, лежит маленькая шайба массой m = 100 г
. Шайба соединена горизонтальной пружиной с осью диска. Если число оборотов диска не превышает n 1 = 2 об/с
, пружина находится в недеформированном состоянии. Если число оборотов диска медленно увеличивается до n 2 = 5 об/с
, то пружина удлиняется вдвое. Определите жесткость k
пружины. [k = 4π 2 m(2n 2 2 − n 1 2) ≈ 181,6 H
]
249 . К потолку кабины лифта, поднимающегося с ускорением a = 1,2 м/c 2 , прикреплен динамометр. К динамометру подвешен блок, свободно вращающийся без трения вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами m 1 = 200 г и m 2 = 300 г . Пренебрегая массами блока и нити, определите показание F динамометра. [F = 4m 1 m 2 (g + a)/(m 1 + m 2) = 5,28 H ]
250 . С аэростата сбросили два шарика одинакового радиуса R = 1 см : один – алюминиевый (плотность ρ 1 = 2,7 × 10 3 кг/м 3 ), другой – железный (плотность ρ 2 = 7,8 × 10 3 кг/м 3). Шарики соединены длинной тонкой нитью. Найдите натяжение T нити после того, как из-за сопротивления воздуха движение шариков установится, то есть они приобретут постоянные скорости. [T ≈ 0,107 H ]
251 . Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α . В нижней точке тело ударяется о стенку, поставленную перпендикулярно направлению его движения. Удар абсолютно упругий. Определите коэффициент трения при движении тела, если после удара оно поднялось до половины первоначальной высоты. [μ (1/3)tgα ]
252 . Два тела с массами m 1 = 1 кг и m 2 = 3 кг , связанные невесомой и нерастяжимой нитью длиной l = 40 см , свободно вращаются на гладкой горизонтальной поверхности с одинаковой угловой скоростью ω =10 с −1 . Нить все время натянута, и одна ее точка неподвижна. Найдите полную кинетическую энергию этой системы. [E к = 6 Дж ]
253 . При скоростном спуске по склону с углом наклона α к горизонту лыжник массы M развивает такую скорость, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату его скорости F = kv 2 . Найти скорость установившегося движения лыжника, если коэффициент трения лыж о снег равен μ . [v max = √{Mg(sinα − μcosα)/k} ]
254 . Рабочий спускавший ящик массы M по доске, образующей с горизонтом угол α, остановил его за время τ . Какую среднюю силу прикладывал рабочий, действуя на ящик параллельно доске, если скорость ящика перед торможением была равна v, а коэффициент трения ящика о доску равен μ ? [F = M(v/τ + g(sinα − μcosα)) ]
255 . На горизонтальной плоскости лежит кубик, коэффициент трения которого о плоскость равен μ . Середины боковой грани кубика касается шарик, имеющий ту же массу, подвешенный на легкой нерастяжимой вертикальной нити. На какое расстояние переместится кубик, если шарик отклонить от исходного положения в вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса нити и центр кубика, так, чтобы нить была натянута и образовывала с вертикалью угол α , а затем отпустить его без начальной скорости? Удар шарика о кубик считать абсолютно упругим. Длина нити L . [Δx = L(1 − cosα)/μ ]
256 . Найти отношение радиусов круговых орбит двух одинаковых спутников, у которых отношение изменений импульсов за четверть оборота равно n . [R 1 /R 2 = n −2 ]
257 . К нижнему концу легкой пружины жесткости k , верхний конец которой шарнирно закреплен, прикреплен шарик массы m . Длина пружины в недеформированном состоянии равна L . Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости так, что ось пружины образует с вертикалью постоянный угол α. Найти время одного оборота шарика. [T = 2π√{(m/k) + Lcosα/g} ]
258 . Тонкая трубка, расположенная под углом α к горизонту, вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей через верхний конец трубки. Внутри трубки находится шарик массы m , радиус которого r немного меньше радиуса трубки. Шарик медленно подтягивают к оси вращения нитью, параллельной оси трубки. Найти зависимость натяжения нити от ее длины L при L > > r . [T = m(gsinα + ω 2 Lcos 2 α) ]
259
. Два груза с массами m
и M
, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости, соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через легкие блоки. В момент времени t = 0
к верхнему блоку прикладывают силу F
, направленную вертикально вверх. Найти зависимость относительной скорости грузов от времени. [v om = v − V = (m + M)Ft/(2mM)
]
260
. На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массы M
. На боковую поверхность клина, составляющую угол α
с горизонтом, кладут брусок массы m, а к клину прикладывают силу F
в горизонтальном направлении, как показано на рисунке. Найти ускорение клина. [a x = (F − mgsinαcosα/(M + msin 2 α))
]
261
. Через гладкий блок, закрепленный на гладкой неподвижной наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α
, перекинута легкая нерастяжимая нить. Один конец нити прикреплен к бруску массы M
, лежащему на плоскости, а свисающий конец пропущен через узкое отверстие в грузе массы m
, как показано на рисунке. Если одновременно отпустить брусок и груз, нить будет проскальзывать через отверстие с постоянным ускорением a относительно груза. Найти силу натяжения нити. [T = {g(1 + sinα) − a}mM/(m + M)
]
262
. Из тонкого резинового шнура массы m жесткостью k
изготовили кольцо радиуса r
. Кольцо медленно раскручивают вокруг его оси. Найти радиус кольца при угловой скорости его вращения ω < 2π√{k/m}
. [R = 4π 2 kr/(4π 2 k − mω 2)
]
263
. По гладкой плоскости, образующей угол α
с горизонтом, скользит клин массой M
, на горизонтальной плоскости которого находится кубик массой m
. При каком коэффициенте трения μ
кубика о клин кубик не будет скользить по клину? [μ = tgα
]
264
. На горизонтальной плоскости стоит гладкий клин массой М
с углом α
при основании. На клин положили брусок массой m
, к которому прикреплена легкая нерастяжимая нить, проходящая через зажим, закрепленный на клине. С каким ускорением может двигаться клин после того, как брусок отпустят без начальной скорости, если максимальная сила трения нити о зажим равна F
? [a x = 0, при F ≥ mgsinα, a x = (mgsinα − F)/(msin 2 α + M), при F < mgsinα
]
265
. На горизонтальной плоскости стоит кубик массой М
, к верхней грани которого прикреплен легкий блок. Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, на конце которой закреплен груз массой m
, касающийся вертикальной грани кубика. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груз на высоту h
, прикладывая к нити горизонтальную силу F
? Считать, что трения нет, а кубик движется поступательно. [A = Fh{1 + Fm/((m + M)(F − mg))}
]
266
. На внутренней поверхности вращающейся вокруг вертикальной оси конической воронки лежит небольшая шайба. Коэффициент трения шайбы о поверхность воронки равен m
. Найдите угловую скорость вращения воронки, если угол при ее вершине равен 2α
, а шайба находится на высоте h
над вершиной воронки. [√{g(ctgα − μ)/(h(tgα + μ))} ≤ ω ≤ √{g(ctgα + μ)/(h(tgα − μ))}
]
267
. Шарик массы m
прикреплен двумя невесомыми нерастяжимыми нитями длиной L
каждая к горизонтальной штанге, симметрично закрепленной на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью ω
. Угол между нитями равен α
. Найти силы натяжения нитей. [решение]
268
. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли так, что все время находится на прямой, соединяющей Землю и Луну, на таком расстоянии, что действие их гравитационных сил на корабль уравновешено. Найти вес космонавта в корабле, если масса космонавта равна m, отношение масс Земли и Луны равно k
, радиус орбиты Луны в n
раз больше радиуса Земли, а ускорение свободного падения у поверхности Земли равно g
. [P = mg√k/((1 + √k)n 2)
]
269
. На рисунке показана упрощенная схема кривошипно-шатунного механизма паровоза. Когда ось A
крепления шатуна к колесу находится выше оси O
колеса, давление справа от поршня равно атмосферному p a
, а слева от него давление поддерживают равным p > p a
; когда ниже, то давление слева p a
, а справа p
. Радиус колеса R
, AO = r
, площадь поршня S
. Найдите максимальную горизонтальную силу, с которой колесо действует на свою ось. [F = (p − p a)(1 + r/R)S
]
270
. На гладком горизонтальном столе стоит брусок (рис.). На бруске закреплен блок, через который перекинута гладкая идеальная нить. Один конец нити привязан к неподвижной относительно стола стойке так, что верхняя часть нити горизонтальна, а к другому ее концу прикреплен маленький тяжелый шарик. Удерживая брусок, шарик отклоняют так, чтобы нижний отрезок нити образовал с вертикалью угол α
и расположился с ее верхним отрезком в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком. В течение некоторого промежутка времени после одновременного отпускания шарика и бруска угол наклона нижнего участка нити остается постоянным. Найдите величину ускорения шарика в этот промежуток времени. [a = g√{2(1 − sinα)}tgα
]
271
. Изогнутая под прямым углом гладкая трубка закреплена так, что один из ее концов направлен вертикально вниз (рис.). Внутри трубки находится однородная гибкая веревка длиной L
, диаметр которой чуть меньше диаметра трубки. Верхний конец веревки через невесомую нить АВ
соединен с легкой пружиной, другой конец которой закреплен так, что ее ось горизонтальна и совпадает с нитью. К нижнему концу веревки, не оттягивая его, прикрепили груз массой M
. После отпускания груза без начальной скорости он движется некоторое время с постоянным ускорением a
. Найдите жесткость пружины k
. [k = M(g − a)g/(aL)
]
272
. Хоккеист бросает шайбу из точки, находящейся на расстоянии d = 35 м
от ворот и на одинаковых расстояниях L = 15 м
от бортов хоккейной площадки. Какую скорость v o
хоккеист должен сообщить шайбе, чтобы она остановилась в центре линии ворот после одного отражения от борта? Считать, что при отражении величина составляющей скорости, параллельной борту, не изменяется, а величина составляющей скорости, перпендикулярной борту, изменятся в k = 3/4 раза
. Коэффициент трения между шайбой и льдом μ = 0,05
. Считать, что на всем пути шайба не отрывается от поверхности льда. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2
. [v o = 7,3 м/с
]
273
. Космический корабль, имеющий форму кругового цилиндра, совершает межпланетный перелет с постоянной скоростью. Он приведен во вращение вокруг продольной оси для создания на борту искусственной тяжести, при этом «полом» для космонавтов является внутренняя поверхность корпуса корабля (рис.). Космонавт, стоящий на полу, выпускает из рук небольшой предмет. На каком расстоянии l
от ног космонавта, измеренном вдоль пола, этот предмет упадет на пол? Радиус корпуса корабля R
, высота, с которой падает предмет, h
. Влиянием всех небесных тел и силой притяжения предмета к кораблю пренебречь. Сопротивление воздуха не учитывать. Угловая скорость вращения корабля постоянна. [l = R(tgα − arcos{(R − h)/R})
]
274
. На горизонтальной доске, имеющей прямоугольный уступ высотой Н = 10 см
, располагается вплотную к уступу однородный цилиндр радиусом R = 25 см
(рис.). Доску начинают двигать с некоторым ускорением a
, направленным вправо. Каково максимально возможное значение ускорения a max
, при котором цилиндр не будет подниматься на уступ? Все поверхности гладкие. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с 2
. [a max = g√{H(2R − H)}/(R − H) = 13,1 м/с 2
]
275
. Телу, лежащему на плоскости, наклоненной под углом α
к горизонту, сообщают начальную скорость v o
, направленную горизонтально вдоль наклонной плоскости. Коэффициент трения тела о плоскость μ > tgα
. Через какое время после начала движения тело остановится, если оно не покидает плоскость? [t = v o μ/{(μ 2 − tg 2 α)gcosα}
]
276 . Груз массой M подвешен на пружине. Удерживая груз в положении равновесия, на него кладут брусок массой m , а затем отпускают. С какой максимальной силой F max брусок будет действовать на груз в процессе движения? Ускорение свободного падения равно g . Сопротивлением воздуха пренебречь. [F max = mg(M + 2m)/(M + m) ]
277
. Брусок массой m = 1 кг
лежит на горизонтальной поверхности стола. Если к бруску приложить силу F = 0,5 Н
, направленную горизонтально, то брусок будет двигаться с ускорением a = 0,3 м/с 2
. С каким ускорением a 1
будет двигаться брусок, если ту же силу приложить к нему под углом α = 45 o
(рис.)? Принять g = 10 м/с 2
. [a 1 ≈ 0,16 м/с 2
]
278
. Брусок движется равномерно под действием силы F = 3 Н
, направленной вверх вдоль наклонной плоскости, составляющей угол α = 30 o
с горизонтом. Масса бруска m = 0,5 кг
. С каким ускорением будет скользить брусок в отсутствие силы F
? Принять g = 10 м/с 2
. [a = 2gsinα − F/m = 4 м/с 2
]
279 . На гладком горизонтальном полу находится прямоугольный клин, опирающийся торцом о неподвижную вертикальную стенку. По наклонной грани клина соскальзывает без трения брусок массой m = 0,1 кг . С какой силой клин давит на пол, если ускорение бруска a = 5 м/с 2 ? Масса клина М = 0,2 кг . Принять g = 10 м/с 2 . [F = (M + m(1 − a 2 /g 2)) = 2,75 H ]
280 . Небольшой шарик, прикрепленный к нити длиной L = 0,4 м , движется по окружности в вертикальной плоскости. Скорость шарика при прохождении нижнего положения v = 6 м/с . Найдите ускорение шарика в верхней точке траектории. Нить считать нерастяжимой. Принять g = 10 м/с 2 . [a = v 2 /l − 4g = 50 м/с 2 ]
281
. Неподвижный клин с углом α
при основании имеет гладкую нижнюю и шероховатую верхнюю части своей наклонной плоскости. На верхней части клина удерживают тонкий однородный жесткий стержень массой m
, расположенный в плоскости рисунка. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен μ
. После того как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найдите максимальное значение силы натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь. [решение ]
282
. Тяжело нагруженную лодку подтягивают к пристани с помощью веревки, перекинутой через ролик, находящийся на высоте h
над уровнем воды. По какому закону должна меняться со временем сила F(t)
, которую нужно прикладывать к веревке, чтобы поддерживать скорость движения лодки в воде постоянной и равной v o
? В момент времени t = 0
лодка движется со скоростью v o
, сила, с которой тянут за веревку, равна F o
, а расстояние от лодки до пристани составляет l o
(рис.). Сопротивление воды считать пропорциональным скорости лодки. [F(t) = F o l o √{(l o − v o t) 2 + h 2 }/(√{(l o 2 + h 2 }(l − v o t))
]
283
. К потолку покоящейся кабины лифта на пружине жесткостью k
подвешена гиря массой m
. В некоторый момент времени лифт начинает двигаться вверх с постоянным ускорением a
. Какой путь s пройдет кабина лифта к тому моменту, когда длина пружины достигнет максимального значения? [s = π 2 am/(2k)
]
284 . Два одинаковых бруска находятся на наклонной плоскости на одном уровне. Брускам сообщают одинаковые начальные скорости вдоль наклонной плоскости: первому – вниз, к основанию наклонной плоскости, второму – в противоположном направлении, к вершине плоскости. Какой из брусков будет иметь большую скорость, когда они окажутся у основания наклонной плоскости? Считать, что коэффициент трения между брусками и поверхностью μ < tgα . [Большую скорость будет иметь первый брусок]
285 . Луна движется вокруг Земли с периодом T = 27,3 суток по орбите, которую можно считать круговой. Радиус Земли R = 6400 км . Ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 9,8 м/с 2 . Определите по этим данным расстояние между Землей и Луной. [r = g 3 √{(RT/2π) 2 } ]