Методом фурье решить уравнение теплопроводности примеры. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач

Формулы для расчета температурного поля и теплового потока в частных задачах стационарной и нестационарной теплопроводности получают исходя из математического описания (математической модели) процесса. Основу модели составляет дифференциальное уравнение теплопроводности, которое выводится с привлечением первого закона термодинамики для тел, не совершающих работы, и закона теплопроводности Фурье. Дифференциальное уравнение физического процесса обычно выводится при тех или иных допущениях, упрощающих процесс. Поэтому получаемое уравнение описывает класс процессов только в пределах принятых допущений. Каждая конкретная задача описывается соответствующими условиями однозначности. Таким образом, математическое описание процесса теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

Рассмотрим вывод дифференциального уравнения теплопроводности при следующих допущениях:

а) тело однородно и анизотропно;
б) коэффициент теплопроводности зависит от температуры;
в) деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;
г) внутри тела имеются равномерно распределенные внутренние источники теплоты q v = f(x, у, z, т) = const;
д) перемещение макрочастиц тела относительно друг друга (конвекция) отсутствует.

В теле с принятыми характеристиками выделяем элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, определенно ориентированный в ортогональной системе координат (рис. 14.1). В соответствии с первым законом термодинамики для тел, не совершающих работы, изменение внутренней энергии dU вещества в выделенном объеме за время dx равно сумме теплоты, поступающей

Рис. 14.1.

в объем вследствие теплопроводности dQ x , и теплоты, выделенной внутренними источниками dQ 2 ".

Из термодинамики известно, что изменение внутренней энергии вещества в объеме dV за время dx равно

где dG = рdV - масса вещества; р - плотность; с - удельная массовая теплоемкость (для сжимаемых жидкостей c = c v (изохорной теплоемкости)).

Количество энергии, выделенное внутренними источниками,

где q v - объемная плотность внутренних источников теплоты, Вт/м 3 .

Тепловой поток, поступающий в объем теплопроводностью, разделим на три составляющих соответственно направлению осей координат: Через противоположные грани теплота будет

отводиться в количестве соответственно Разница между количеством подведенной и отведенной теплоты эквивалентна изменению внутренней энергии вследствие теплопроводности dQ v Представим эту величину как сумму составляющих по осям координат:

Тогда в направлении оси х имеем

Поскольку -

плотности тепловых потоков на поотивоположных гоанях.

Функция q x+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

Ограничиваясь двумя первыми членами ряда и подставляя в (14.6), получаем

Аналогичным образом получаем:

После подстановки (14.8)-(14.10) в (14.4) имеем

Подставляя (14.2), (14.3) и (14.11) в (14.1), получаем дифференциальное уравнение переноса теплоты теплопроводностью с учетом внутренних источников:

Согласно закону теплопроводности Фурье записываем выражения для проекций на оси координат плотности теплового потока:

где Х х, Х у, X z - коэффициенты теплопроводности в направлении координатных осей (тело анизотропное).

Подставляя эти выражения в (14.12), получаем

Уравнение (14.13) называют дифференциальным уравнением теплопроводности для анизотропных тел с независимыми от температуры физическими свойствами.

Если принять X = const, а тело изотропным, уравнение теплопроводности принимает вид

Здесь а = Х/(ср), м 2 /с, - коэффициент температуропроводности,

который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в процессах нагревания или охлаждения. Тела, выполненные из вещества с большим коэффициентом температуропроводности, при прочих равных условиях нагреваются и охлаждаются быстрее.

В цилиндрической системе координат дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного тела с постоянными физическими свойствами имеет вид

где г, z, Ф - соответственно радиальная, осевая и угловая координаты.

Уравнения (14.13), (14.14) и (14.15) описывают процесс теплопроводности в самом общем виде. Конкретные задачи отличаются условиями однозначности , т.е. описанием особенностей протекания рассматриваемого процесса.

Условия однозначности. Исходя из физических представлений о теплопроводности можно выделить факторы, влияющие на процесс: физические свойства вещества; размеры и форма тела; начальное распределение температуры; условия теплообмена на поверхности (границе) тела. Таким образом, условия однозначности подразделяются на физические, геометрические, начальные и граничные (краевые).

Физическими условиями задаются физические параметры вещества X, с, р и распределение внутренних источников.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Начальными условиями задается распределение температуры в теле в начальный момент времени t = /(х, у, z ) при т = 0. Начальные условия имеют значение при рассмотрении нестационарных процессов.

В зависимости от характера теплообмена на границе тела граничные (краевые) условия подразделяются на четыре рода.

Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности t n в течение процесса

В частном случае температура поверхности может оставаться постоянной (/ п = const).

Граничные условия первого рода имеют место, например, при контактном нагреве в процессах склеивания фанеры, прессования древесно-стружечных и древесно-волокнистых плит и т.п.

Граничные условия второго рода. Задается распределение значений плотности теплового потока на поверхности тела в течение процесса

В частном случае тепловой поток на поверхности может оставаться постоянным (

Граничные условия третьего рода соответствуют конвективному теплообмену на поверхности. При этих условиях должна задаваться температура жидкости, в которой находится тело, Г ж = /(т), и коэффициент теплоотдачи ос. В общем случае коэффициент теплоотдачи - переменная величина, поэтому должен задаваться закон его изменения а =/(т). Возможен частный случай: / ж = const; а = const.

Граничные условия четвертого рода характеризуют условия теплообмена тел с различными коэффициентами теплопроводности при их идеальном контакте, когда теплота передается теплопроводностью и тепловые потоки по разные стороны поверхности контакта равны:

Принятые физические допущения, уравнение, выведенное при этих допущениях, и условия однозначности составляют аналитическое описание (математическую модель) процессов теплопроводности. Успех использования полученной модели для решения конкретной задачи будет зависеть от того, насколько принятые допущения и условия однозначности адекватны реальным условиям.

Уравнения (14.14) и (14.15) решаются достаточно просто аналитически для одномерного стационарного теплового режима. Решения рассмотрены ниже. Для двумерных и трехмерных стационарных процессов применяются приближенные численные методы

Для решения уравнений (14.13)-(14.15) в условиях нестационарного теплового режима используется ряд методов, рассмотренных подробно в специальной литературе . Известны точные и приближенные аналитические методы, численные методы и др.

Численное решение уравнения теплопроводности осуществляется в основном методом конечных разностей . Выбор того или иного метода решения зависит от условий задачи. В результате решения аналитическими методами получают формулы, применимые для решения круга инженерных задач в соответствующих условиях. Численные методы дают возможность получить температурное поле t=f(x, у, z, т) в виде набора дискретных значений температуры в различных точках в фиксированные моменты времени для конкретной задачи. Поэтому использование аналитических методов предпочтительно, однако это не всегда возможно для многомерных задач и сложных граничных условий.

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:

1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ ;

2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль осиОХ ;

3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х ] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х ] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U , вычисляется по формуле: ∆Q=CρS∆x∆U , где С -удельная теплоемкость материала (=количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q 1 = -kSU x (x, t)∆t , где k - коэффициент теплопроводности материала (= количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х , а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U x < 0 . Следовательно, чтобыQ 1 был положительным, в формуле стоит знак минус.

Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q 2 = -kSU x (x +∆x,t)∆t .

Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t .

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U t =a 2 U xx ,

где - коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t) , получится неоднородное уравнение теплопроводности

U t = a 2 U xx + f(x,t) ,
где .

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U| t=0 = φ(х) (или в другой записиU(x,0) = φ(х) ) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х) . Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g 1 (t) ≡ Т 1 и g 2 (t) ≡ Т 2 , где Т 1 и Т 2 - постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т 1 = Т 2 = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g 1 (t) = g 2 (t) = 0 , то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условиятретьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h 1 > 0 - коэффициент теплообмена с окружающей средой, g 1 (t) - температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ 2 может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h 1 , очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

U t = U xx , 00,

удолетворяющее граничным условиям

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0 ,

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1 . Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t) .

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Отсюда следует

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

также будет решением этого уравнения, причем функция U(x,t) удолетворяет и граничным условиям (16).

Шаг 5. Определим коэффициенты A n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Похожая информация.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при действии мгновенного сосредоточенного источника в неограниченной среде называется фундаментальным решением.

Мгновенный точечный источник

Для бесконечного тела, в начале координат которого действует мгновенный точечный источник, решение дифференциального уравнения теплопроводности следующее:

где T - температура точки с координатами x,y,z; Q - количество тепла, выделившееся в момент t = 0 в начале координат; t - время, прошедшее с момента введения тепла; R - расстояние от начала координат, где действует источник, до рассматриваемой точки (радиус - вектор). У равнение (4) является фундаментальным решением уравнения теплопроводности при действии мгновенного точечного источника в бесконечном теле.

В любой момент t ? 0 температура самого источника (R = 0) отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t -3/2 , оставаясь выше температур других точек тела. Вместе с удалением от источника температура понижается по закону нормального распределения exp(-R 2 /4at). Изотермическими поверхностями являются сферы с центром в источнике, и температурное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса. В начальный момент времени (t = 0) температура не определена (T = ?), что связано со схемой сосредоточенного источника, в котором в бесконечно малом объеме в начальный момент времени содержится конечное количество тепла Q.

На основе решения для бесконечного тела (4) можно вывести уравнение температурного поля для схемы полубесконечного тела, которая применяется для описания тепловых процессов в массивных изделиях. Пусть в полубесконечном теле, ограниченном поверхность S - S действует мгновенный точечный источник Д (рис. 4). Для массивных тел тепловые потоки внутри значительно больше потока теплоотдачи с поверхности. Поэтому поверхность полубесконечного тела можно считать адиабатической границей, для которой (см.п. 1.4)

Дополним полубесконечную область z > 0 до бесконечной, дбавив область z < 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

По такой же схеме моделируется и изотермическая граница (граничное условие 1-го рода) T S =0, но в этом случае T = T Д - T Ф. Следует подчеркнуть, что источник нагрева не может действовать на изотермической поверхности.

Графическое изображение температурного поля (6) требует четкого понимания пространственного положения поверхности, на которой строится распределение температуры. В декартовой системе координат (x, y, z) контрольными сечениями полубесконечного тела при действии точечного источника являются плоскости xy, xz и yz (рис. 5, а). Для полубесконечного тела изотермические поверхности являются полусферами (температура зависит от радиуса - вектора R). В плоскости xy изотермы, как сечение поверхности плоскостью

z=const, являются окружностями, а в других плоскостях - полуокружностями (рис. 5, б). Температурное поле мгновенного точечного источника в разные моменты времени представлено на рис. (6) (см. П 1.1.). На рисунке температура графически ограничена значением T=1000K|.

Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает (рис.1.3). Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия

Дифференцируя выражение (6) по времени, получаем формулу для определения времени, когда температура максимальна

Максимальные темперы точек полубесконечного тела при действии точечного источника уменьшаются с расстоянием как R 3 .

с начальными условиями

и граничными условиями

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)

т.е. в форме разложения

считая при этом t параметром.

Пусть функции f (x , t ) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t >0 выполняются условия

Предположим теперь, что функции f (x , t ) и
можно разложить в ряд Фурье по синусам

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим

Это равенство выполняется тогда, когда

, (121)

или, если
, то это уравнение (121) можно записать в виде

. (122)

Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что

. (123)

Таким образом, для нахождения искомой функции
приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)

а с учетом (123) решение задачи Коши

Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи

(124)

где функции f (x , t ) и
определены формулами (118) и (120).

Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа

при начальном условии

(14.2)

и граничных условиях

. (14.3)

▲ Подберем сначала такую функцию  , чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например,  = xt 2 . Тогда

Следовательно, функция определяемая как

удовлетворяет уравнению

(14.5)

однородным граничным условиям

и нулевым начальным условиям

. (14.7)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (14.6), (14.7), положим

Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

,
.

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (14.8)

Решение задачи (14.5)-(14.7) ищем в виде ряда

, (14.9)

(14.10)

Подставив
из (14.9) в (14.5) получим

. (14.11)

Для нахождения функции T n (t ) разложим функцию (1-х ) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):

. (14.12)

и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение

, (14.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера

а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши

. (14.14)

Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- (14.3)

Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

3.4. Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

удовлетворяющее

Начнем с того, что заменим переменные x и t на
и введем в рассмотрение функцию
. Тогда функции
будут удовлетворять уравнениям

где
- функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G * , а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и пов пределах от 0 доt , получим

Если предполагать, что функция
и ее производнаяограничены при
, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

Заменив в этом равенстве на
, а
на
, получим соотношение

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

представляет собой сумму решений:

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию, аявляется решением, удовлетворяющее однородному начальному условию. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

Так как
в интервале
равна постоянной температуре, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3)
, получим

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

Коэффициент внутренней теплопроводности, с - теплоемкость вещества и - плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение