Углы и стороны параллелограмма. Этапы решения задачи на построение

Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.

2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.

3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение).

Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.

Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте h и одной из диагоналей d.

Согласно условию, данными являются отрезки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис. 155). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется.

1.Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСD уже построен (рис. 156). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а, ВН = h a

Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АD и ВС лежат на параллельных прямых расстояние между которыми равно высоте к. Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллелограмма АВСD. Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:

1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.

2) На прямой МK откладываем отрезок АD = а.

3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.

4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а.

5) Строим отрезки АВ и СD.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположные стороны АD и ВС параллельны, так как лежат на параллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению: АD = ВС = а. Значит, АВСD - параллелограмм, у которого АD = а, ВD = d, а высота равна h а , так как расстояние между параллельными прямыми МK и Q равно h a (по построению). Следовательно, АВСD - искомый параллелограмм.

4.Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.

1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h а всегда можно построить, и притом единственным образом.

2) Построить отрезок АD - а на прямой МK также всегда можно, и притом единственным образом.

3) Окружность, проведенная из центра D радиусом А, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d > h а. Если d = h а, то получится одна общая точка В, если же d > h а, то две общие точки В и В".

4,5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ³ h а. Если d ³ h а, то задача имеет единственное решение, если же d > h а, то два решения.

Упражнения

1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?

2. Даны отрезок p , два угла . Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны .

3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и b.

4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:

а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;

б) квадрат со стороной р;

в) квадрат, диагональ которого задана.

5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?

6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.

7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.

8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:

а)известным диагоналям;

б)известной стороне и одному из углов при его вершине;

в)углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;

г)стороне и диагонали.

9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

10 .По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения.

Построить прямую, касающуюся этой окружности в данной точке.

466. Построить треугольник по трем его медианам.

467. Построить треугольник по двум данным углам при основании и данному его периметру.

468. Построить треугольник по основанию с, медиане ш„высоте й,.

469. Построить равнобедренный треугольник по высоте (й,), опущенной на основание, и высоте (й,), опущенной на боковую сторону.

470. Построить треугольник АВС, если известны угол С, высота й, и периметр-его 2р.

471. Построить треугольник по углу А, высоте й, и биссектрисе того же угла 1,.

472. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанного круга.

473. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по сумме гипотенузы с высотой, опущенной на нее.

474. Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между ними.

475. Построить параллелограмм по данному его углу и диагоналям (И, и И,).

476. Построить параллелограмм по основанию, высоте и тупому углу между диагоналями, обращенному к основанию.

477. Построить параллелограмм по его двум" высотам (й~ и й,) и острому углу.

478. Построить ромб по углу, образованному диагональю со стороной, и по сумме (ш) его диагоналей.

479. Построить трапецию, если даны: большее основание (а), средняя линия (Ь), углы а и б при меньшем основанни.

480. Из данного треугольника прямыми, параллельными большей стороне, вырезать трапецию та«, чтобы средняя линия ее равнялась отрезку и, а высота - отрезку Ь,

481. Построить квадрат по разности (т) между диагональю и стороной.

1П. Задачи на доказательство

482. Дан ромб. Построены биссектрисы его внешних углов до взаимного пересечения. Определить вид образовавшегося четырехугольника и доказать, что его периметр вдвое больше суммы диагоналей ромба.

483. Доказать, что если биссектрисы углов при основа

нии равностороннего треугольника продолжить до взаим

ного пересечения и из середины полученных отрезков восставить к ним перпендикуляры, то основание треугольника рассечется этими перпендикулярами на 3 равные части.

484. В треугольнике АВС сторона ВС продолжена эа точку С. Проведены биссектрисы углов АСР и АВС. Доказать, что угол Е, образовавшийся при пересечении биссектрис, равен половине угла А.

485. В треугольнике АВС на большей стороне АВ отложен отрезок ВР = ВС. Доказать, что СР разделит угол С на два угла, из которых один равен полусумме углов ВАС и АСВ, а другой - их полуразности.

486. Доказать, что сумма расстояний от какой-нибудь точки М, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. д 487. На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.

488. В параллелограмме АВСР точка М - середина ВС, а У - середина СР. Доказать, что прямые АМ и АУ делят диагональ ВР на 3 равные части.

489. Доказать, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечейии образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.

490. Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.

491.. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О. Доказать, что точки пересечения биссектрис каждого иэ треугольников АВО, ВСО, СРО, РАО служат вершинами ромба.

«Построение многоугольников» - Деление на четыре равные части. Деление на 7 равных частей. Великий и непредсказуемый Пифагор. Деление на 6 равных частей. Карл Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч лет. Интегрированный урок: геометрия и черчение.

«Площадь параллелограмма» - Геометрия 8 класс. Площадь. Построить высоты параллелограмма. Свойства площадей. Найти площадь параллелограмма. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол 450. Составить формулы площади параллелограмма. Найдите остальные углы. Что вы замечаете? Найдите площадь параллелограмма.

«Построение графиков» - По рисунку «считываем» ответ. Для I четверти система примет вид: Решение. Сколько решений имеет уравнение. Построить на плоскости множество точек заданных уравнением: 4 решения, если. Цель элективного курса. Содержание. Построить графики функций, сжатием вдоль оси ординат. Построим граничные линии. Метод областей при решении задач с параметрами.

«Четырехугольники» - Проверка теоретических знаний заполните таблицу. Прямоугольник. Защита презентаций. учитель математики Попова Галина Анатольевна. Трапеция. Содержание. Квадрат. Проверочный тест. Выбрать капитана. Кроссворд. Четырехугольники: Решите тест, ответы запишите в таблицу. А. Нивен. Установите взаимосвязь по свойствам между данными четырехугольниками:

«Признаки параллелограмма» - Признаки параллелограмма. 3 признак параллелограмма. Является ли четырёхугольник параллелограммом? 1 признак параллелограмма. 2 признак параллелограмма.

«Геометрия параллелограмм 8 класс» - Дано: АВСD - параллелограмм. Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей… Доказательство: рассмотрим? АВС и?ADC, Накрест лежащие углы равны. Построение параллелограмма. Сумма односторонних углов. Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.