Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Первообразная и неопределенный интеграл, свойства 1 первообразная свойства первообразных неопределенный интеграл

Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: производная - это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); производная - это угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; производная помогает решать задачи на оптимизацию.

Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному закону движения встречается и задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой u = tg. Найти закон движения.

Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = u"(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна tg. Нетрудно догадаться, что

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида произвольная константа, может служить законом движения, поскольку

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например, при t=0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства получаем s(0) = 0+С, т.е.S 0 = С. Теперь закон движения определен однозначно:
В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: например, возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня синус(sinх) и арксинус (аrcsin х) и т.д. Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, т.е. процесс отыскания функции по заданной производной - интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у - f(х) «производит на свет» новую функцию у"= f"(x) Функция у = f(х) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у"=f"(х), первичный образ, или, короче, первообразная.

Определение 1. Функцию у = F(х) называют первообразной для функции у = f(х) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F"(х)=f(х).

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры:

1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х 2)" =2х.
2) функция у - х 3 является первообразной для функции у-Зх 2 , поскольку для всех х справедливо равенство (х 3)" = Зх 2 .
3) Функция у-sinх является первообразной для функции у=соsх, поскольку для всех х справедливо равенство (sinх)" =соsх.
4) Функция являетя первообразной для функции на промежутке поскольку для всех х > 0 справедливо равенство
Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно составить таблицу формул для отыскания первообразных.

Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: производная функции, которая записана во втором столбце, равна той функции, которая записана в соответствующей строке первого столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для функции у = х 5 первообразной, как вы установите, служит функция (см. четвертую строку таблицы).

Замечания: 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то у функции у = f(х)бесконечно много первообразных и все они имеют вид у = F(х) + С. Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С - произвольное действительное число.
2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция у = F(х) является первообразной для функции y = f(x)», говорят F(х) - первообразная для f(x)».

2. Правила отыскания первообразных

При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы (они указаны в таблице на с. 196), но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: если функции у = f(х) и у=g{х) имеют на промежутке X первообразные, соответственно у-F(х) и у-G(х), то и сумма функций у = f(х)+g(х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у = F(х)+G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова - так удобнее для применения правила на практике

Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + соз х.

Решение. Первообразной для 2х служит х"; первообразной для созх служит sin х. Значит, первообразной для функции у=2х + соз х будет служить функция у = х 2 + sin х (и вообще любая функция вида У = х 1 + sinх + С).
Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

Пример 3.

Ре ш е н и е. а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = 5 sin х первообразной будет функция у = -5соз х.

б) Первообразной для соз x служит sin x; значит, для функции первообразной будет функция
в) Первообразной для х 3 служит первообразной для х служит первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первообразных, получим, что первообразной для функции у = 12х 3 + 8х-1 служит функция
Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции у = f(кх+m) вычисляется по формуле

Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.
Правило 3. Если у = F(х) - первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции у=f(кх+m) служит функция

В самом деле,

Это и означает, что является первообразной для функции у = f(кх+m).
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для функции у = f(х) является функция у = F(х),а.вам нужно найти первообразную функции у = f(кх+m), то действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте выражение кх+m; кроме того, не забудьте перед знаком функции записать «поправочный множитель»
Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:

Решение , а) Первообразной для sin х служит -соз х; значит, для функции у = sin2х первообразной будет функция
б) Первообразной для соз х служит sin х; значит, для функции первообразной будет функция

в) Первообразной для х 7 служит значит, для функции у=(4-5х) 7 первообразной будет функция

3. Неопределенный интеграл

Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной для заданной функции у = f(х)имеет не одно решение. Обсудим этот вопрос более детально.

Доказательство. 1. Пусть у = F(х) - первообразная для функции у = f(х) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X выполняется равенство x"(х) = f(х). Найдем производную любой функции вида у = F(х)+С:
(F(х) +С) = F"(х) +С = f(x) +0 = f(x).

Итак, (F(х)+С) = f(х). Это значит, что у = F(х) +С является первообразной для функции у = f(х).
Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(х) есть первообразная у=F(х), то у функции {f = f(x) бесконечно много первообразных, например, любая функция вида у = F(х)+С является первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных.

Пусть у=F 1 (х) и у=F(х) - две первообразные для функции У = f(x)на промежутке X. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F^ (х) = f(х); F"(х) = f(х).

Рaсмотрим функцию у = F 1 (х) -.F(х) и найдем ее производную: (F, (х) -F(х))" = F[(х)-F(х) = f(х) - f(х) = 0.
Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X (см. теорему 3 из § 35). Значит, F 1 (х)-F(х) =С, т.е. Fх) = F(х)+С.

Теорема доказана.

Пример 5. Задан закон изменения скорости от времени v = -5sin2t. Найти закон движения s = s(t), если известно, что в момент времени t=0 координата точки равнялась числу 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение. Так как скорость - производная координаты как функции от времени, то нам прежде всего нужно найти первообразную от скорости, т.е. первообразную для функции v = -5sin2t. Одной из таких первообразных является функция , а множество всех первообразных имеет вид:

Чтобы найти конкретное значение постоянной С, воспользуемся начальными условиями, согласно которым, s(0) = 1,5. Подставив в формулу (1) значения t=0, S = 1,5, получим:

Подставив найденное значение С в формулу (1), получим интересующий нас закон движения:

Определение 2. Если функция у = f(х) имеет на промежутке X первообразную у = F(х), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида у = F(х) + С, называют неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают:

(читают: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс»).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:

Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования.

Правило 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Правило 3. Если

Пример 6. Найти неопределенные интегралы:

Решение , а) Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:

Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:

В итоге получаем:

б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования и формулой 8, получим:

в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла у нас нет ни соответствующей формулы, ни соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла.

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:

Тогда последовательно находим:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x) , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C , для произвольной константы С , причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением , а f(x) – подынтегральной функцией . Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x) .

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x) , а множество ее первообразных F(x)+C .

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение.

Мы знаем из дифференциального исчисления, что (достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций). Таким образом, . По второму свойству . То есть, имеем множество первообразных . При х = 1 получим значение . По условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид .

Пример.

Найти неопределенный интеграл и результат проверить дифференцированием.

Решение.

По формуле синуса двойного угла из тригонометрии , поэтому

Из таблицы производных для тригонометрических функций имеем

То есть,

По третьему свойству неопределенного интеграла можем записать

Обращаясь ко второму свойству, получим .

Следовательно,

Проверка.

Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:

В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного угла.

Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.

Для начала, дадим определение понятиям, которые будут использоваться в данном разделе. В первую очередь это первообразная функции. Для этого введем константу C .

Определение 1

Первообразная функции f (x) на промежутке (a ; b) это такая функция F (x) , при которое формула F " (x) = f (x) превращается в равенство для любого x из заданного промежутка.

Следует учитывать тот факт, что производная от константы C будет равна нулю, что позволяет нам считать верным следующее равенство F (x) + C " = f (x) .

Получается, что функция f (x) имеет множество первообразных F (x) + C , для произвольной константы C . Эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f (x) можно назвать неопределенным интегралом этой функции. С учетом этого формула будет иметь вид ∫ f (x) d x = F (x) + C . При этом, выражение f (x) d x является подынтегральным выражением, а f (x) – это подынтегральная функция. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f (x) .

Имея заданный дифференциал функции, мы можем найти неизвестную функцию.

Результатом неопределенного интегрирования будет не одна функция F (x) , а множество ее первообразных F (x) + C .

Зная свойства производной, мы можем сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

∫ f (x) d x " = F (x) + C " = f (x)

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

∫ d (F (x)) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

∫ f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла мы привели в качестве пояснения.

Для того, чтобы доказать третье и четвертое свойства, необходимо найти производные от правых частей равенств:

k · ∫ f (x) d x " = k · ∫ d (x) d x " = k · f (x) ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x " = ∫ f (x) d x " ± ∫ g (x) d x " = f (x) ± g (x)

Производные правых частей равенств равны подынтегральным функциям, что является доказательством первого свойства. Его же мы используем в последних переходах.

Как видите, задача интегрирования представляет собой обратный процесс по отношению к задаче дифференцирования. Обе эти задачи тесно связаны между собой.

Первое свойство может быть использовано для проведения проверки интегрирования. Для проверки нам достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная функция будет равна подынтегральной функции, то интегрирование проведено верно.

Благодаря второму свойству по известному дифференциалу функции мы можем найти ее первообразную и использовать ее для вычисления неопределенного интеграла.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найдем первообразную функции f (x) = 1 x , значение которой равно единице при х = 1 .

Решение

Используя таблицу производных основных элементарных функций получаем

d (ln x) = (ln x) " d x = d x x = f (x) d x ∫ f (x) d x = ∫ d x x = ∫ d (ln (x))

Используя второе свойство ∫ d (ln (x)) = ln (x) + C , мы получаем множество первообразных ln (x) + C . При х = 1 получим значение ln (1) + C = 0 + C = C . Согласно условию задачи, это значение должно быть равно единице, следовательно, С = 1 . Искомая первообразная примет вид ln (x) + 1 .

Ответ: f (x) = 1 x = ln (x) + 1

Пример 2

Необходимо найти неопределенный интеграл ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x и проверить результат вычисления дифференцированием.

Решение

Используем для проведения вычислений формулу синуса двойного угла из курса тригонометрии 2 sin x 2 cos x 2 = sin x , получим ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = ∫ sin x d x .

Используем таблицу производных для тригонометрических функций, получим:

d (cos x) = cos x " d x = - sin x d x ⇒ sin x d x = - d (cos x)

То есть, ∫ sin x d x = ∫ (- d (cos x))

Используя третье свойство неопределенного интеграла, мы можем записать ∫ - d (cos x) = - ∫ d (cos x) .

По второму свойству получаем - ∫ d (cos x) = - (cos x + C)

Следовательно, ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C .

Проверим полученный результат дифференцированием.

Продифференцируем полученное выражение:
- cos x - C " = - (cos x) " - (C) " = - (- sin x) = sin x = 2 sin x 2 cos x 2

В результате проверки мы получили подынтегральную функцию. Это значит, что интегрирование было проведено нами верно. Для осуществления последнего перехода мы использовали формулу синуса двойного угла.

Ответ: ∫ 2 sin x 2 cos x 2 d x = - cos x - C

Подробнее эту тему мы рассмотрим в следующем разделе «Таблица первообразных (таблица неопределенных интегралов)».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение первообразной функции

Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

f производная функции F
F первообразная для функции f

Свойство первообразных

Если F(x) - первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С - произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу .

Правила вычисления первообразных

Первообразная суммы равна сумме первообразных . Если F(x) - первообразная для f(x) , а G(x) - первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x) .
Постоянный множитель можно выносить за знак производной . Если F(x) - первообразная для f(x) , и k - постоянная, то k·F(x) - первообразная для k·f(x) .
Если F(x) - первообразная для f(x) , и k, b - постоянные, причём k ≠ 0 , то 1/k · F(kx + b) - первообразная для f(kx + b) .

Запомни!

Любая функция F(x) = х 2 + С , где С - произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х .

Например:
F"(x) = (х 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2х, т.к. F"(x) = (х 2 –3)" = 2x = f(x);

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
Если график функции f(x) на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
Если f(x)=0 , то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение :

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x) - называют подынтегральной функцией;
f(x) dx - называют подынтегральным выражением;
x - называют переменной интегрирования;
F(x) - одна из первообразных функции f(x);
С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx .
Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx .
Если k, b - постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C	\int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C
f(x) = \frac { 1 } { x }	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e { ^x } dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac { a^x } { l na } + C	\int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x }	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C
f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x }	F(x) = \tg x + C	\int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = \tg x + C
f(x) = \sqrt { x }	F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } }	F(x) =2\sqrt { x } + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } }	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } }	F(x)=\arctg x + C	\int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } }	F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C	\int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } }	F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C	\int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C
f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 }	F(x)=\arctg + C	\int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0)	F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C	\int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \sin x }	F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C	\int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \cos x }	F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C	\int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 }) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале равен разности первообразных в точках b и a .

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f , осью Ox и прямыми x = a и x = b .

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу:по заданному дифференциалу, а, следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию. Иными словами, имея выражение

или соответственно

где f(x) – известная функция, нужно найти функцию F(x). Искомая функция F(x) называется при этом первообразной функцией по отношению к функции f(x) . Для простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке.

Определение: Первообразной функциейдля данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Например, одной из первообразных функций для функции будет , ибо . Первообразная функция не единственна, так как и т.д., и поэтому функции и т.п. также являются первообразными для функции . Следовательно, данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.

В нашем примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что это будет иметь место и в общем случае.

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое.

Доказательство: В самом деле, пусть f(x) – некоторая функция, определенная на промежутке , и F 1 (x), F 2 (x) – ее первообразные, т.е.

и .

Отсюда .

y=F 1 (x)

y=F 2 (x)

F 1 (x)

F 2 (x)

М 2

М 1

Рис. 1.

Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Следовательно,

F 1 (x) - F 2 (x) = С,

где С – постоянная величина. Теорема доказана.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию. Если у = F 1 (x) и Y = F 2 (x)

Первообразные одной и той же функции f(x), то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой (рис. 1):

tgα = = f(x) .

В таком случае расстояние между этими кривыми вдоль оси Оу остается постоянным: F 2 (x) – F 1 (x) = С, т.е. эти кривые в некотором смысле «параллельны» друг другу.

Следствие: Прибавляя к какой-либо первообразной функции f(x) , определенной на промежутке , все возможные постоянные С, мы получим все первообразные для функции f(x).

В самом деле, если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция F(x)+C , где С - любая постоянная, также будет первообразной функции f(x), так как .

С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная функции f(x) может быть получена из функции F(x) путем прибавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного слагаемого С .

Следовательно, выражение F(x) + С , где , (2)

где F(x) – какая-либо первообразная для функции f(x) , исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции f(x) .

В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке .

Введем теперь основное понятие интегрального исчисления – понятие неопределенного интеграла.

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом .