Определение арифметического корня натуральной степени. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Степень корня – это натуральное число, большее 1 .

3.

4.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В случае нечетного показателя уравнение при любом действительном значении и целом ВСЕГДА имеет единственный корень:

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение не может быть отрицательным.

В случае четного показателя уравнение имеет

при единственный корнь

и, если и

Для корня четной степени справедливо тождество:

Для корня четной степени справедливы равенства :

Степенная функция, ее свойства и график.

Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = х n , где n - натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kx n , где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Перечислим свойства функции у = kx.

Область определения функции - множество всех действительных чисел.

y = kx - нечетная функция (f(- х) = k (- х)= - kx = -k(х)).

3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Рис. II.1.

При n=2 получаем функцию y = х 2 , ее свойства:

Функция у -х 2 . Перечислим свойства функции у = х 2 .

у = х 2 - четная функция (f(- х) = (- x) 2 = x 2 = f (х)).

На промежутке функция убывает.

В самом доле, если ,то - х 1 > - х 2 > 0, а потому

(-х 1) 2 > (- х 2) 2 , т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y=х 2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Рис. II.2.

При n = 3 полу­чаем функцию у = х 3 , ее свойства:

Область определения функции - вся числовая прямая.

y = х 3 - нечетная функция (f (- х) = (- x) 2 = - х 3 = - f (x)).

3) Функция y = x 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x 3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Рис. II.3.

Пусть n- произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 2 . График такой функ­ции напоминает параболу у = х 2 , только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n - произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 3 . График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х n тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х - n , где n - натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х - n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

решим простую задачу по нахождению стороны квадрата площадь которого равна 9 см 2 . Если принимаем, что сторона квадрата А см, то составляем согласно условиям задачи уравнение:

А х А =9

А 2 =9

А 2 -9 =0

(А-3)(А+3)=0

А=3 или А=-3

Длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому искомая стороны квадрата 3 см.

При решении уравнения мы нашли числа 3 и -3, квадраты которых равны 9. Каждое из этих чисел называют квадратным корнем из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим корнем числа.

Вполне логично принять тот факт, что корень можно находит из чисел в третьей степени (кубический корень), четвертой степени и так далее. И в принципе корень - это обратная операция к возведению в степень .

Корнем n -й степени из числа α является такое число b , где b n = α .

Здесь n —натуральное число принято называть показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай n = 1 банально.

Обозначают на письме так символ (знак корня) в правой части называется радикалом . Число α - подкоренное выражение . Для нашего примера со стороной решение могло иметь такой вид: потому что (± 3) 2 = 9 .

Мы получили положительное и отрицательное значение корня. Эта особенность усложняет расчеты. Чтобы добиться однозначность, было введено понятие арифметического корня , значение которого всегда со знаком плюс, то есть только положительное.

Корень называется арифметическим , если он извлекается из положительного числа и сам является положительным числом.

Например,

Арифметический корень заданной степени из заданного числа существуеттолько один.

Операцию расчетов принято называть «извлечением корня n -й степени» из числа α . По сути мы выполняем операцию обратную к возведению в степень , а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень

α = b n .

Корни второй и третьей степени используются на практике чаще остальных и поэтому им были даны специальные названия.

Квадратный корень: В этом случае показатель степени 2 принято не писать, а термин «корень» без указания степени чаще всего означает квадратный корень. Геометрически толкование, является длина стороны квадрата, площадь которого равна α .

Кубический корень: Геометрически толкованием, выступает длина ребра куба, объём которого равен α .

Свойства арифметических корней.

1) При вычислении арифметического корня из произведения , необходимо извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Например,

2) Для расчета корня из дроби , необходимо извлечь его из числителя и знаменателя данной дроби

Например,

3) При расчете корня из степени , необходимо разделить показатель степени на показатель корня

Например,

Первые расчеты, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в работах математиков древнего Вавилона и Китая, Индии, Греции (о достижениях древнего Египта в этом отношении в источниках информация отсутствует).

Математики древнего Вавилона (II тысячелетие до н. э.) применяли для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для квадратного корня находили исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа n . Представив подкоренное выражение в виде: α=n 2 +r , получаем: x 0 =n+r/2n , затем применялся итеративный процесс уточнения:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ,

Например, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Правила вычисления любой степени из целого числа , изучены математиками Индии и арабских государств. Далее они получили широкое развитие в средневековой Европе.

Сегодня для удобства расчетов квадратных и кубических корней широко используются калькуляторы.