Герц открыл электромагнитные волны. Герца опыты. Какие заслуги Герца

Тема 10: Формирование решений в условиях многокритериальности

Вопросы:

10.1. Основные подходы к решению многокритериальных задач. Система критериев. Методы «свертки» критериев

10.2. Решения, оптимальные по Парето

10.3. Процедура многокритериального сравнения и выбора объектов («Электра»)

Критерий – это правило или показатель, позволяющий оценивать и сравнивать анализируемые объекты (альтернативные решения, результаты деятельности, варианты производства и т.д.). Критерии могут быть объективными (например, рентабельность) и субъективными (например, престижность), формальными и содержательными, количественными и качественными.

На рис. 5.6 представлена классификация ситуаций принятия решений в зависимости от количества критериев и фактора неопределенности.

Рис. 5.6. Классификация ситуаций принятия решений

По сложности решения делятся на однокритериальные и многокритериальные.

1. Однокритериальные методы выбора . Считается известным:

Исходное множество альтернатив ;

Оценки результатов выбираемых альтернатив ;

Критерий выбора или .

В процессе решения задачи определяется альтернатива А*, для которой или .

2. Многокритериальные методы выбора . В достаточно большом количестве случаев принятия решений приходится учитывать не один, а несколько критериев.

Пример : Выбор интегрированной информационной системы предприятия осуществляется по следующим критериям :

1. Соответствие функций системы требованиям, выработанным в процессе анализа и построения информационной модели предприятия.

2. Соответствие системы современным технологическим стандартам (архитектура клиент-сервер, используемые СУБД, возможность распределенной работы и интеграция с Интернет).

3. Возможности системы по настройке и изменению.

4. Уровень сложности сопровождения и администрирования.

5. Адаптивность системы к конкретным условиям деятельности.

6. Стоимость системы.

7. Другие.

Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач , которые можно разбить на следующие группы:

1. Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).

2. Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.

3. Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.

4. Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

5. Поиск согласованного по некоторым правилам экспертного решения.

Чаще всего задачу выбора пытаются решить на основе построения интегрального (обобщающего) критерия . Для этого используются разнообразные способы «свертки» показателей, т.е. построение различных обобщающих показателей, прежде всего, аддитивных и мультипликативных.

Аддитивный обобщающий показатель (критерий) получается как взвешенная сумма оценок по частным показателям (критериям).

Мультипликативный обобщающий показатель строится как взвешенное произведение оценок по отдельным показателям.

где pi – значение i-го показателя (критерия);

li – вес (значимость) i-го показателя (критерия).

Общей особенностью данных обобщающих критериев является то, что они предусматривают возможность малой степени достижения одних целей за счет большей степени достижения других. При этом в оценке «стираются» различия отдельных критериев. Также проблемой является определение весов критериев.

В целом ряде хозяйственных ситуаций нежелательно сведение оценок объектов по разным критериям к одной, так как противоречивость критериев имеет существенное значение.

Для преодоления этого недостатка исследователи стараются представить пространство критериев. Одним из возможных средств решения этой задачи являются различные графические представления альтернатив в пространстве критериев. Примером подобного подхода, получившего широкое распространение в маркетинговых исследованиях, является так называемый «профильный анализ» (табл. 5.6). Пример:

Таблица 5.6

«Профили» программных продуктов

ПП Критерии

ПП - 1

ПП - 2

ПП - 3

ПП - 4

ПП - 5

Универсальность

Интегрируемость

Модульность

Развиваемость

Надежность

Защита информации

Соответствие техническим стандартам

Квалификация

Стоимость ПП

Стоимость обслуживания

Экономическая эффективность

Обозначения приоритетов:

В – высокий,

С – средний,

Н – низкий.

В таблице сравниваются 5 программных продуктов (ПП) по нескольким критериям.

Мультипликативные свёртки

Рассмотрим мультипликативную свёртку с нормирующими множителями:

где j - нормирующие множители.

Мультипликативная свёртка основывается на постулате: "низкая оценка хотя бы по одному критерию влечет за собой низкое значение функции полезности". Действительно, если вы выбираете торт, и он - несвежий, то это обстоятельство никак не может быть компенсировано его красотой или ценой.

Посмотрим, какие результаты даст мультипликативная свёртка с весовыми коэффициентами:

где j - нормирующие множители,

вj - весовые коэффициенты.

Итоги отражены в таблице:

Оптимальной стратегией снова является А3.

В конце еще раз напомним непременное правило: перед тем, как применять какую-либо свёртку нужно автоматически всегда выделять множество Парето. И именно для множества Парето применять свёртки. Иначе вы или ваша программа будете выполнять лишнюю ненужную работу.

Многокритериальный выбор на языке бинарных отношений

До этого были рассмотрены случаи, когда все критерии оценивали все альтернативы. Все альтернативы можно было сравнить друг с другом по каждому критерию. А что делать, если не все альтернативы будут оценены всеми критериями? В таком случае появятся альтернативы, не сравнимые между собой по некоторым критериям. Рассмотрим такой случай на нашем примере (уберем из него некоторые оценки):

При таком условии альтернативы можно сравнить между собой лишь попарно. Такие попарные сравнения называются бинарными отношениями . Обозначается бинарное отношение (на примере критерия Байеса из нашей таблицы) А1RА2 - альтернатива А1 лучше альтернативы А2.

Дадим математически точное определение бинарных отношений.

Бинарным отношением на множестве? называется произвольное подмножество R множества? Х? , где? Х? - это множество всех упорядоченных пар (ai ;aj) , где ai , aj ? . #

Бинарные отношения очень удобно изображать наглядно. Представим четыре стратегии из нашего примера в виде точек на плоскости. Если имеем, что какая-то альтернатива лучше другой, то проведем стрелку от лучшей альтернативы к худшей. На примере критерия Байеса из нашей таблицы имеем А1RА2 , поэтому на плоскости проведем стрелку от точки А1 к точке А2. Аналогичным образом поступим со всеми начальными данными из таблицы. Заметим, что бинарные отношения не исключают отношения элемента с самим собой. На рисунке такое бинарное отношение будет задаваться петлёй со стрелкой. В результате получим следующую картину:

Подобные фигуры называются ориентированными графами . Точки - это вершины графа, стрелки между точками - это дуги графа.

Дадим математически точное определение графа.

Графом называется пара (Е, е), где Е - непустое конечное множество элементов (вершин), е - конечное (возможно и пустое) множество пар элементов из Е (множество дуг). #

Две вершины, соединенные дугой, называются смежными вершинами. Дуга, соединяющая две вершины, называется инцидентной этим вершинам. Две вершины, соединенные дугой, называются инцидентными этой дуге.

Как же произвести выбор наилучшего элемента из имеющихся альтернатив (наилучшей вершины графа)? Для этого сначала необходимо определить, что же будет являться наилучшей вершины (наилучшими вершинами) графа. На этот счет имеются две исторически сложившиеся в теории графов точки зрения.

1)Максимальным элементом множества? по бинарному отношению R называется такой элемент х? , что у? выполняется отношение хRy .

Иначе говоря, максимальный элемент множества должен быть "лучше" каждого элемента этого множества. Не исключается и то, что он может быть "лучше" самого себя, кроме этого максимальный элемент может быть одновременно и "хуже" какого-либо элемента этого множества. Слова "лучше" и "хуже" не совсем верно передают смысл бинарных отношений.

Для графов понятие максимальный элемент - это вершина, из которой исходят стрелки во все остальные вершины графа. Например, на рис. 1 максимальным элементом будет вершина А1 - из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа.

2)Оптимальным по Парето элементом множества? по бинарному отношению R называется такой элемент х? , что у? для которого выполнялось бы отношение уRх.

Иначе говоря, оптимальный по Парето элемент множества - это такой элемент, "лучше" которого в рассматриваемом множестве нет.

Для графов понятие оптимальный по Парето элемент - это вершина, в которую не входит ни одна стрелка. Например, на рис. 1 оптимальным по Парето элементом будет вершина А1 - в неё не входит ни одна стрелка.

Видим, что два разных подхода к определению наилучшего элемента в нашем примере дали одинаковый результат. Но такое бывает не всегда.

Рассмотрим несколько примеров.

У графа на рис. 2 максимальным элементом будет вершина А1 - из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 3 максимальным элементом будет также вершина А1 - из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа. Заметим: то, что в неё входит стрелка из вершины А4 , по определению совершенно не важно. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 4 максимальными элементами будут вершины А1 и А4 - из них выходят стрелки во все остальные вершины графа. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 5 максимального элемента нет. Оптимальными по Парето элементами будут вершины А1 и А4 - в них не входит ни одна стрелка.

Отметим очевидные особенности.

У графа либо нет максимальных элементов, либо есть.

Оптимальными по Парето элементами могут быть несколько вершин графа, либо таковых может не быть.

В графе не может один (или одни) элемент быть максимальным, а другой (или другие) элемент быть оптимальным по Парето.

Итак, если имеется задача многокритериального выбора, описанная на языке бинарных отношений, то её удобно представить наглядно в виде графа. Однако такое удобство хорошо для небольшого количества вершин (альтернатив). Если вершин довольно много, то вся наглядность пропадает и легко можно запутаться. В таком случае граф удобно представить в виде матрицы смежности или матрицы инцидентности.

Матрица смежности вершин графа - это квадратная матрица размера m x m (m - это количество вершин) с элементами:

По матрицам смежности искать максимальные элементы и элементы, оптимальные по Парето - одно удовольствие! Максимальные элементы - это те, чьи строки состоят из всех единиц (кроме себя самих - там может быть как нуль, так и единица). А оптимальные по Парето элементы - это те, чьи столбцы состоят из всех нулей.

Матрица инцидентности графа - это матрица, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы - дугам. При этом предполагается, что граф не должен иметь петель.

Элементы матрицы инцидентности будут такими:

Видим, что каждый столбец должен содержать одну единицу и одну минус единицу, остальные элементы столбцов - нули. То есть каждая дуга из одной вершины выходит и в другую вершину входит.

Налицо также очевидна закономерность: максимальные элементы - это те, чьи строки содержат единиц на одну меньше, чем количество строк (вершин), а оптимальные по Парето элементы - это те, чьи строки не содержат минус единиц.

Используя замечательные особенности матриц смежности и инцидентности графов, не составит большого труда разрабатывать компьютерные программы по принятию решений для задач выбора, описанных на языке бинарных отношений.

Многокритериальная задача выбора формулируется в следующем виде. Дано множество допустимых альтернатив, каждая из которых оценивается множеством критериев.

Требуется определить наилучшую альтернативу. При ее решении основная трудность состоит в неоднозначности выбора наилучшего решения. Для ее устранения используются две группы методов. В методах первой группы стремятся сократить число критериев, для чего вводят дополнительные предположения, относящиеся к процедуре ранжирования критериев и сравнения альтернатив. В методах второй группы стремятся сократить число альтернатив в исходном множестве, исключив заведомо плохие альтернативы.

К методам первой группы относятся метод свертки, метод главного критерия, метод пороговых критериев, метод расстояния. Следует отметить, что строгое обоснование этих методов отсутствует и их применение определяется условиями задачи и предпочтением ЛПР.

Метод свертки состоит в замене исходных критериев (их называют также локальными или частными) Kj одним общим критерием K. Эта операция называется сверткой или агрегированием частных критериев. Метод целесообразно применять, если по условиям задачи частные критерии можно расположить по убыванию важности так, что важность каждой пары соседних критериев различается не сильно, либо, если альтернативы имеют существенно различающиеся оценки по разным критериям. Наиболее часто используются следующие виды сверток: аддитивная, мультипликативная, расстояние до идеала.

Алгоритм метода линейной свертки

1. Определяем коэффициенты важности (веса для каждой функции). Для этого используем метод пропорциональных коэффициентов.
2. заменяем знаки функций, для того чтобы перейти от задачи минимизации к задаче максимизации.
3. Выполнить нормировку критериев по формуле.

4. Строим функцию взвешенной аддитивной свертки и исследуем ее.