Умножение натуральных чисел: правила, примеры, решения. Урок "умножение натуральных чисел и его свойства"
Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.
Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .
Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3
Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.
Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).
Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7
1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .
переместительным
a × b = b × a .
Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:
а (b с) = (а b с).
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.
Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.
Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .
Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).
Вместо (ab ) с пишут abc .
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.
Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:
1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.
восьмидесяти и суммы икс и семнадцати
Решим задачу.
Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение.
Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:
Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел
Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.
Решим задачу.
В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):
|
Рис. 47. К задаче о выборах
Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).
Решим еще задачу.
Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?
Рис. 48. К задаче о дорогах
Решение.
Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).
Рис. 49. Варианты пути
Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.
Решим еще одну задачу.
Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).
Рис. 50. Схема к решению задачи
Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.
Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:
5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).
Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.
Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .
Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).
Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.
Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .
Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .
Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.
Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n
, где n
– произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n
слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, 
. Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.
Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .
Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .
Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.
В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.
Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
В которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3.
Значит, 25 3 = 75. Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями.
415. Выполните действия, применив сочетательное свойство умножения:
а) 50 (2 764); в) 125 (4 80);
б) (111 2) 35; г) (402 125) 8.
416. Вычислите, выбрав удобный порядок действий:
а) 483 2 5; в) 25 86 4;
б) 4 5 333; г) 250 3 40.
417. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин? Решите задачу двумя способами.
а) Построили 5 коттеджей по 80 м2 жилой площади и 2 коттеджа по 140 м2. Какова жилая площадь всех этих коттеджей?
б) Масса контейнера с четырьмя книжными шкафами 3 ц. Какова масса пустого контейнера, если масса одного шкафа 58 кг?
421. Привезли 12 ящиков яблок, по 30 кг в каждом, и 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом. Какой смысл имеют следующие выражения:
а) 30 12; в) 40 8; д) 30 12 + 40 8;
б) 12 - 8; г) 40 - 30; е) 30 12 - 40 8?
422. Выполните действия:
а) (527 - 393) 8; г) 54 23 35;
б) 38 65 - 36 63; д) (247 - 189) (69 + 127);
в) 127 15 + 138 32; е) (1203 + 2837 - 1981) 21.
423. Запишите произведение:
а) 8 и х; б) 12 + а и 16; в) 25 -m и 28 + n г) а + b и m.
424. Укажите множители в произведении:
а) Зт; в) 4ab; д) (m + n)(k - 3);
б) 6(х + р); г) (х - у) 14; е) 5k(m + а).
а) произведение m и n;
б) утроенная сумма а и b;
в) сумма произведений чисел 6 и х и чисел 8 и у;
г) произведение разности чисел а и b и числа с.
426. Прочитайте выражение:
а) а (с + d); в) 3(m+ n); д) аb + с;
б) (4 - а) 8; г) 2(m - n); е) m - cd.
427. Найдите значение выражения:
а) 8а + 250 при а = 12; 15;
б) 14(6 + 12) при b = 13; 18.
428. Велосипедист ехал а ч со скоростью 12 км/ч и 2 ч со скоростью 8 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист за это время? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при а = 1; 2; 4.
429. Составьте выражение по условию задачи:
а) Из 6 книжных полок составлен шкаф. Высота каждой полки х см. Найдите высоту шкафа. Найдите значение выражения при х = 28; 33.
б) За один рейс автомашина МАЗ-25 перевозит 25 т груза. Сколько груза она перевезет за k рейсов? Найдите значение выражения при k = 10; 5; 0.
430. Цена одного волейбольного мяча х р., а баскетбольного мяча у р. Что означают выражения: Зх; 4у; bх + 2у; 15x - 2у; 4(х + у)?
431. Составьте задачу по выражению:
а) (80 + 60) -7; в) 28 4 + 35 5;
б) (65 - 40) -4; г) 96 5 - 82 3.
432. На вершину холма ведут пять тропинок. Сколько существует способов подняться на холм и спуститься с него, если подниматься и спускаться по разным тропинкам?
433. Какое из произведений больше: 67 2 или 67 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 8 < 195 12. Сделайте вывод.
434. Расставьте, не выполняя умножения, в порядке возрастания произведения: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.
435. Докажите, что:
а) 20 30 < 23 35 < 30 40;
б) 600 800 < 645 871 < 700 900;
в) 1200 < 36 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 563 < 60 000.
436. Вычислите устно:
437. Какое число пропущено?
438. Восстановите цепочку вычислений:
439. Угадайте корни уравнения:
а) х + х = 64; б) 58 + у + у + у = 58; в) а + 2 = а - 1.
440. Придумайте задачу, которая решалась бы с помощью уравнения:
а) х+ 15 = 45;
б) у - 12 = 18.
441. Сколько четырехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, ели цифры в записи числа не повторяются?
442. Среди чисел 1, 0, 5, 11,9 найдите корни уравнения:
а) х + 19 = 30; в) 30 + х = 32 - х
б) 27 - х = 27 + х; г) 10 + х + 2 = 15 + х - 3.
443. Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?
444. Придумайте способ, с помощью которого можно быстро и просто вычислить значение выражения:
39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.
445. Решите уравнение:
а) 127 + у = 357 - 85; в) 144 - у - 54 = 37;
б) 125 + у - 85 = 65; г). 52 + у + 87 = 159.
446. При каком значении буквы верно равенство:
а) 34 + а = 34; г) 58 - d = 0; ж) k - k = 0;
б) b + 18 = 18; д) m + 0 = 0; з) l + I = 0?
в) 75 - с = 75; е) 0 - n = 0;
447. Решите задачу:
а) В корзине несколько грибов. После того как из нее вынули 10 грибов, а затем в нее положили 14 грибов, в ней стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?
б) У мальчика было 16 почтовых марок. Он купил еще несколько марок, после этого подарил младшему брату 23 марки, и у него осталось 19 марок. Сколько марок купил мальчик?
448. Упростите выражение:
1) (138 + m) - 95; 3) (х - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (у - 56) + 114.
449. Найдите значение выражения:
1) 7480 - 6480: 120 + 80;
2) 1110 + 6890: 130 - 130.
450. Найдите значение выражения:
а) 704 + 704 + 704 + 704;
б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.
451. Представьте в виде суммы произведение:
а) 24-4; б) k 8; в) (x + y) 4: г) (2а - b) 5.
452. В магазин привезли 250 коробок, в каждой коробке по 54 пачки печенья. Какова масса всего печенья, если масса одной пачки 150 г?
453. В треугольнике ABC сторона АВ равна 27 см, и она больше стороны ВС в 3 раза. Найдите длину стороны АС, если периметр треугольника ABC равен 61 см.
454. Один станок-автомат производит 12 деталей в минуту, а другой - 15 таких же деталей. Сколько всего деталей будет изготовлено за 20 мин работы первого станка и 15 мин работы второго станка?
455. Выполните умножение:
а) 56 24; в) 235 48; д) 203 504; ж) 2103 7214;
б) 37 85; г) 37 129; е) 210 3500; з) 5008 3020.
456. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а другого 85 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч?
457. От деревни до города велосипедист ехал 4 ч со скоростью 12 км/ч. Сколько времени он потратит на обратный путь по той же дороге, если увеличит скорость на 4 км/ч?
458. Придумайте задачу по выражению:
а) 120 + 65-2; б) 168 -43-2; в) 15 4 + 12 4.
459. Сравните, не вычисляя, произведения (ответ запишите с помощью знака <):
а) 245 611 и 391 782;
б) 8976 1240 и 6394 906.
460. Запишите в порядке возрастания произведения:
172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.
461. Вычислите:
а) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) (577: 577).
462. Решите уравнение:
а) (х + 27) - 12 = 42; в) г - 35 - 64 = 16;
б) 115 - (35 + у) = 39; г) 28 - t + 35 = 53.
463. Сосчитайте, сколько четверок и сколько пятерок на рисунке 48, но только по особому правилу - считать нужно подряд и четверки, и пятерки: «Первая четверка, первая пятерка, вторая четверка, третья четверка, вторая пятерка и т. д.». Если сразу не удастся сосчитать, возвращайтесь к этому заданию еще и еще раз.
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Сборник конспектов уроков по математике скачать , календарно-тематическое планирование, учебники по всем предметам
Сочетательное свойство умножения указывает нам на равенство двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c , где a , b и c – какие угодно натуральные числа. Таким образом, результат умножения трех чисел a , b и c не зависит от способа расстановки скобок. Из-за этого в произведениях a·(b·c) и (a·b)·c скобки часто не ставят, а произведения записывают в виде a·b·c . Выражение a·b·c называют произведением трех чисел a , b и c , числа a , b и c все также называют множителями.
Аналогично, сочетательное свойство умножения позволяет утверждать, что произведения (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d , a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) равны. То есть, результат умножения четырех чисел тоже не зависит от распределения скобок. Произведение четырех чисел a , b , c и d записывают как a·b·c·d .
Вообще, результат умножения двух, трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок и в записи таких произведений скобки обычно опускаются.
Теперь разберемся, как вычисляется произведение нескольких чисел, в записи которого не расставлены скобки. В этом случае умножение трех и более чисел сводится к последовательной замене двух соседних множителей их произведением , пока не получим требуемый результат. Иными словами, в записи произведения мы расставляем скобки самостоятельно любым допустимым способом, после чего последовательно выполняем умножение двух чисел.
Рассмотрим пример вычисления произведения пяти натуральных чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 . Запишем произведение: 2·1·3·1·8 . Покажем два способа решения (всего способов решения больше, чем два).
Первый способ. Будем последовательно заменять два множителя слева их произведением. Так как результатом умножения чисел 2 и 1 является число 2 , то 2·1·3·1·8=2·3·1·8 . Так как 2·3=6 , то 2·3·1·8=6·1·8 . Дальше, так как 6·1=6 , то 6·1·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, произведение пяти чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 равно 48 . Это решение соответствует следующему способу расстановки скобок: (((2·1)·3)·1)·8 .
Второй способ. Расставим скобки в произведении так: ((2·1)·3)·(1·8) . Так как 2·1=2 и 1·8=8 , то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Дважды три – это шесть, тогда (2·3)·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, 2·1·3·1·8=48 .
Заметим, что на результат умножения трех и более чисел не влияет также порядок следования множителей. Другими словами, множители в произведении можно записывать в любом порядке, а также менять их местами. Это утверждение следует из свойств умножения натуральных чисел.
Рассмотрим пример.
Умножим четыре числа 3 , 9 , 2 и 1 . Запишем их произведение: 3·9·2·1 . Если мы заменим множители 3 и 9 их произведением или множители 9 и 2 их произведением, то на следующем этапе нам придется проводить умножение на двузначные числа 27 или 18 (чего мы пока делать не умеем). Можно обойтись без этого, поменяв местами слагаемые и определенным образом расставив скобки. Имеем, 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54 .
Таким образом, меняя местами множители, мы можем вычислять произведения наиболее удобным способом.
Для полноты картины рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению нескольких чисел.
Пример.
В каждой коробке находится 3 предмета. В каждый ящик уложено 2 коробки. Сколько предметов содержится в 4 ящиках?
Решение.
Так как в одном ящике находятся 2 коробки, в каждой из которых 3 предмета, то в одном ящике находится 3·2=6 предметов. Тогда в четырех ящиках находится 6·4=24 предмета.
Можно рассуждать иначе. Так как в одном ящике находятся 2 коробки, тогда в четырех ящиках находятся 2·4=8 коробок. Так как в каждой коробке лежат 3 предмета, то в 8 коробках лежат 3·8=24 предмета.
Озвученные решения кратко можно записать как (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24 .
Таким образом, искомое количество предметов равно произведению чисел 3 , 2 и 4 , то есть, 3·2·4=24 .
Ответ:
Подытожим информацию этого пункта.
Умножение трех и более натуральных чисел представляет собой последовательное умножение двух чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойств умножения, множители можно менять местами и заменять любые два из умножаемых чисел их произведением.
Умножение суммы на натуральное число и натурального числа на сумму.
Сложение и умножение чисел связаны распределительным свойством умножения . Это свойство позволяет изучать сложение и умножение совместно, что открывает гораздо больше возможностей, чем раздельное изучение этих действий.
Распределительное свойство умножения относительно сложения мы сформулировали для двух слагаемых: (a+b)·c=a·c+b·c , a , b , c – произвольные натуральные числа. Отталкиваясь от этого равенства, можно доказать справедливость равенств (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d , (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., a , b , c , d , h – некоторые натуральные числа.
Таким образом, произведение суммы нескольких чисел и данного числа равно сумме произведений каждого из слагаемых и данного числа . Этим правилом можно пользоваться при умножении суммы на данное число.
Для примера, умножим сумму пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на число 3 . Воспользуемся полученным правилом: (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3 . Так как 7·3=21 , 2·3=6 , 3·3=9 , 8·3=24 , то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24 . Осталось вычислить сумму пяти чисел 21+6+9+24+24=84 .
Конечно, можно было сначала вычислить сумму пяти данных чисел, после чего провести умножение. Но в этом случае нам бы пришлось умножать двузначное число 7+2+3+8+8=28 на число 3 , чего мы делать пока не умеем (об умножении таких чисел мы поговорим позже в разделе ).
Переместительное свойство умножения позволяет нам переформулировать правило умножения суммы чисел на данное число следующим образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых . Это есть правило умножения данного числа на сумму.
Приведем пример использования правила умножения числа на сумму: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20 .
Давайте рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению суммы чисел на данное число.
Пример.
В каждой коробке находятся 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Сколько всего предметов находится в четырех коробках?
Решение.
В одной коробке находятся 3+7+2 предметов. Тогда в четырех коробках находятся (3+7+2)·4 предметов. Вычислим произведение суммы на число, используя полученное правило: (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48 .
Ответ:
48 предметов.
Умножение натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и так далее.
Для начала получим правило умножения произвольного натурального числа на 10 .
Натуральные числа 20
, 30
, …, 90
по своей сути соответствуют 2
десяткам, 3
десяткам, …, 9
десяткам, то есть, 20=10+10
, 30=10+10+10
, … Так как умножению двух натуральных чисел мы придали смысл суммы одинаковых слагаемых, то имеем
2·10=20
, 3·10=30
, ..., 9·10=90
.
Рассуждая аналогично, приходим к следующим равенствам:
2·100=200
, 3·100=300
, ..., 9·100=900
;
2·1 000=2 000
, 3·1 000=3 000
, ..., 9·1 000=9 000
;
2·10 000=20 000
, 3·10 000=30 000
, ..., 9·10 000=90 000
; ...
Так как десяток десятков есть сотня, то 10·10=100
;
так как десяток сотен есть тысяча, то 100·10=1 000
;
так как десяток тысяч есть десять тысяч, то 1 000·10=10 000
.
Продолжая эти рассуждения, имеем 10 000·10=100 000
, 100 000·10=1 000 000
, …
Давайте теперь рассмотрим пример, который позволит нам сформулировать правило умножения произвольного натурального числа на десять.
Пример.
Умножим натуральное число 7 032 на 10 .
Решение.
Для этого число 7 032 представим в виде суммы разрядных слагаемых , после чего воспользуемся правилом умножения суммы на число, которое мы получили в предыдущем пункте этой статьи: 7 032·10=(7 000+30+2)·10= 7 000·10+30·10+2·10 .
Так как 7 000=7·1 000
и 30=3·10
, то полученная сумма 7 000·10+30·10+2·10
равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10
, а сочетательное свойство умножения позволяет записать следующее равенство:
(7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10=
7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10
.
В силу результатов, записанных перед этим примером, имеем 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10 000+3·100+2·10= 70 000+300+20 .
Полученная сумма 70 000+300+20 представляет собой разложение по разрядам числа 70 320 .
Ответ:
7 032·10=70 320 .
Выполняя аналогичные действия, мы можем умножить любое натуральное число на десять. При этом не сложно заметить, что в результате мы будем получать числа, запись которых будет отличаться от записи умножаемого числа лишь цифрой 0 , находящейся справа.
Все приведенные рассуждения позволяют нам озвучить правило умножения произвольного натурального числа на десять : если в записи данного натурального числа справа дописать цифру 0 , то полученная запись будет соответствовать числу, которое является результатом умножения данного натурального числа на 10 .
Например, 4·10=40 , 43·10=430 , 501·10=5 010 , 79 020·10=790 200 и т.п.
А теперь на основании правила умножения натурального числа на 10 , мы можем получить правила умножения произвольного натурального числа на 100 , на 1 000 и т.д.
Так как 100=10·10
, то умножение любого натурального числа на 100
сводится к умножению этого числа на 10
10
. Например,
17·100=17·10·10=170·10=1 700
;
504·100=504·10·10=5 040·10=50 400
;
100 497·100=100 497·10·10= 1 004 970·10=10 049 700
.
То есть, если справа в записи умножаемого числа приписать справа две цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на 100 . Это и есть правило умножения натурального числа на 100 .
Так как 1 000=100·10 , то умножение любого натурального числа на тысячу сводится к умножению этого числа на 100 и последующему умножению полученного результата на 10 . Из этих рассуждений следует правило умножения произвольного натурального числа на 1 000 : если в записи числа справа дописать три цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на тысячу.
Аналогично, при умножении натурального числа на 10 000 , 100 000 и так далее нужно дописать справа соответственно четыре цифры 0 , пять цифр 0 и так далее.
Например,
58·1 000=58 000
;
6 032·1 000 000=6 032 000 000
;
777·10 000=7 770 000
.
Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел.
Теперь мы обладаем всеми навыками, достаточными для выполнения умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.
Что же для этого нужно делать?
Давайте сразу разбираться на примере.
Пример.
Умножим трехзначное число 763 на однозначное число 5 , то есть, вычислим произведение 763·5 .
Решение.
Сначала нужно представить многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых. В нашем примере 763=700+60+3 , тогда имеем 763·5=(700+60+3)·5 .
Теперь применяем : (700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5 .
Так как 700=7·100 и 60=6·10 (об этом мы говорили в предыдущем пункте), то сумму 700·5+60·5+3·5 можно записать как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5 .
В силу переместительного и сочетательного свойств умножения справедливо следующее равенство: (7·100)·5+(6·10)·5+3·5= (5·7)·100+(5·6)·10+3·5 .
Так как 5·7=35 , 5·6=30 и 3·5=15 , то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15 .
Осталось выполнить умножение на 100
и на 10
, после чего выполнить сложение трех слагаемых:
35·100+30·10+15=
3 500+300+15=3 815
Ответ:
Произведение 763 и 5 равно 3 815 .
Понятно, что умножение однозначного числа на многозначное число проводится подобным образом.
Для закрепления материала приведем решение еще одного примера, но в этот раз обойдемся без пояснений.
Пример.
3 и 104 558 .
Решение.
3·104 558=
3·(100 000+4 000+500+50+8)=
=3·100 000+3·4 000+
3·500+3·50+3·8=
=3·100 000+3·(4·1 000)+
3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100 000+(3·4)·1 000+
(3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100 000+12·1 000+
15·100+15·10+3·8=
=300 000+12 000+
1 500+150+24=313 674
Ответ:
Результатом умножения чисел 3 и 104 558 является число 313 674 .
Умножение двух многозначных натуральных чисел.
Вот мы и подошли к кульминации – к умножению двух многозначных натуральных чисел. Первым делом нужно один из множителей разложить по разрядам (обычно раскладывается то число, запись которого состоит из большего числа знаков), после этого воспользоваться правилом умножения числа на сумму (или суммы на число). Дальнейшие вычисления не вызовут трудностей, если Вы хорошо усвоили информацию предыдущих разделов этой статьи.
Разберем все этапы умножения двух многозначных натуральных чисел на примере.
Пример.
Вычислите произведение чисел 41 и 3 806 .
Решение.
Разложение натурального числа 3 806 по разрядам имеет вид 3 000+800+6 , поэтому, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .
Применим правило умножения числа на сумму: 41·(3 000+800+6)= 41·3 000+41·800+41·6 .
Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100 , то справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6= 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6 .