Проверить является ли функция характеристической. Научный форум dxdy
Характеристической функцией случайной величиныX называют преобразование Фурье распределения случайной величины:
Свойства
Доказательство .
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-8uZiQG.png)
Доказательство .
Естественно , это свойство распространяется и на бо́льшее число слагаемых:
.
φ (t ) равномерно непрерывна.
Доказательство .
Полученное окончательное выражение зависит только от h . Для непрерывной случайной величины можно записать
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-FH6sMz.png)
.
Доказательство . Если существуетk -й момент величиныX , то, пользуясь дифференцированием под знаком интеграла (что можно, посколькуp (x ) существует), получим
При каждом последующем дифференцировании «сносится» i E[X ], так что послеk дифференцирований получимi k E[X k ]. Этот результат можно представить в виде
.
Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.
Доказательство частных случаев
Пусть X - целочисленная дискретная случайная величина (k Z ), тогда (обратное преобразование Фурье)
(ряд Фурье, коэффициентами которого являются p k ), тогда
Все слагаемые, при которых k ≠m , дают 0 (по ортогональности), и остается
.
Пусть φ (t ) абсолютно интегрируема на вещественной прямой, и существует плотность распределенияp (x ) 11 .
Попробуем выразитьp (x ) через характеристическую функцию. Запишем обратное преобразование Фурье функцииφ :
.
С учетом этого
Поскольку
в силу замены переменных получим
и, следовательно,
.
Если в (*) во втором интеграле оба предела интегрирования имеют одинкаовые знаки, получим 0; если разные - конечное число. То есть, ненулевой предел есть при a <y <b . В этом случае появится интеграл от −∞ до ∞, равныйπ . Отсюда
Получили :
,
следовательно, p полностью определяется характеристической функцией.
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-_xnz_W.png)
.
Доказательство ..
Критерий характеристической функции
Функция φ X (t ) - характеристическая для случайной величиныX тогда и только тогда, когда:
φ X (0) = 1,
φ X (t ) положительно определена .
Функция φ (t ) называетсяположительно определенной (positivedefinite), если
причем равенство нулю достигается лишь при z i = 0i . Если ослабить условие достижения равенства нулю, получимнеотрицательно определенную функцию.
Проверим , что характеристическая функция положительно определена:
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-TbQPGv.png)
Обоснование . По свойству 5),
При k = 1, получаем,
При k = 2 -.
Если EX
= 0,DX
=E[X
2 ] = 1,.
20.2 Примеры
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-WV2kED.png)
Решение . Приведем выражение к виду
Нетрудно видеть, что
.
После преобразования можно записать
.
Рассмотрим значения p i :
Вывод :cos 2 t - характеристическая функция дискретной случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 1/2, а значения 2 и −2 - с вероятностью 1/4.
Вычислить характеристическую функцию вырожденной случайной величины:P (X = 0) = 1.
Решение ..
Если же P (X =C ) = 1, получим.
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-fEwTzU.png)
Решение . Приведем выражение к виду
.
Рассмотрим значения p i :
Получили : это характеристическая функция дискретной случайной величины.
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/1489/253/html_0urz7VTm1i.OgqF/img-2Xq2dX.png)
Решение . ПустьY =X –X ′ , тогда
Вывод : квадрат модуля любой характеристической функции - снова характеристическая функция.
Пусть X ,Y - случайные величины с характеристическими функциямиφ X (t ) иφ Y (t );a ,b > 0 - константы такие, чтоa +b = 1. Рассмотрим функцию
Является ли она характеристической, и если да, то для какой случайной величины?
Ответ : да, является. Пусть соответствующие функции распределенияX иY - F X (x ) иF Y (y ). Рассмотрим функцию. Очевидно, это функция распределения, поскольку
Тогда плотность вероятности
Если φ (t ) - характеристическая функцияX , тоφ (−t ) - характеристическая функция (–X ). (из примера 4)).
Пусть φ (t X , тогда является ли
f (t ) =Re[φ (t )]
Решение . Очевидно,
Пусть φ (t ) соответствует функции распределенияF X (x ), тогда дляRe[φ (t )]:
Пусть φ (t ) - характеристическая функция величиныX , тогда является ли
f (t ) =Im[φ (t )]
характеристической функцией некототорой случайной величины?
Решение . Нет, не является, посколькуf (0) = 0.
X ~ N (0, 1):
Найти характеристическую функцию нормального распределения.
Сосчитаем φ (t ), продифференцировав под знаком интеграла:
Решим дифференциальное уравнение
с начальным условиемφ
(0) = 1:
X ~N (a ,σ 2): сопоставим такую величину сX 0 ~N (0, 1). Легко видеть, чтоX =a +σ X 0 . Тогда, по свойству 2)
Математическое ожидание и его свойства.
Числовые характеристики случайных величин.
Характеристическая функция.
Лекция №5
Раздел 2. Случайные величины.
Тема 1 . Функция распределения, плотность вероятности и числовые характеристики случайной величины.
Цель лекции: дать знания о способах описания случайных величин.
Вопросы лекции:
Литература:
Л1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.
Л2 - Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с: ил.
Л3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2009.
Л4 - Плотникова С.В. Математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2005. (pdf-файл)
При решении многих задач вместо функции распределения F(x) и п.в. р(х) применяется характеристическая функция . С помощью этой характеристики оказывается целесообразным, например, определять некоторые числовые характеристики сл.в. и з.р. функций сл.в.
Характеристической функцией сл.в. называется преобразование Фурье от ее п.в. р(х) :
, (2.6.1)
где - параметр, являющийся аргументом характеристической функции, - м.о. сл.в. (см § 2.8.).
Применив обратное преобразование Фурье, получим формулу, определяющую п.в. сл.в. по ее характеристической функции
. (2.6.2)
Так как размерность р(х) обратна размерности x , то величина , а следовательно, и являются безразмерными. Аргумент имеет размерность обратную размерности x .
Воспользовавшись представлением (2.5.7) п.в. р(х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (1) на дискретные сл.в.
. (2.6.3)
Иногда вместо характеристической функции оказывается удобным использовать логарифм от нее:
Y
. (2.6.4)
Функцию Y можно назвать второй (логарифмической ) характеристической функцией сл.в. .
Отметим наиболее важные свойства характеристической функции.
|
. (2.6.5)
2. Для симметричного распределения, когда р(х)= р(-х)
, мнимая часть в (1) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.
3. Если сл.в. является линейной функцией сл.в. , то ее характеристическая функция определяется выражением
, (2.6.6)
где a и b - постоянные.
4. Характеристическая функция суммы независимых сл.в. равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е., если
. (2.6.7)
Это свойство особенно полезно, так как в противном случае нахождение п.в. суммы сл.в. связано с многократным повторением свертки, что вызывает иногда затруднения.
Таким образом, учитывая однозначную связь между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией, последняя в равной мере может быть использована для описания сл.в.
|
Дискретная сл.в. может принять три значения (ни один из импульсов не подавлен), (подавлен один импульс), (подавлены оба импульса). Вероятности этих значений соответственно равны:
Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.
Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида: где