Непрерывные дроби теория. Значение непрерывные дроби в словаре кольера. Приложения цепных дробей

Сокращение с помощью разложения в непрерывную дробь

Подходящие дроби. Приближение вещественных чисел

Литература: 1. Виноградов И.М. Элементы высшей математики.

Часть третья. Основы теории чисел. Учебник для вузов.

М.: Высш. шк. 1999. – с. 335 – 340.

Грибанов В.У. Сборник упражнений по теории чисел.

– М.: Просвещение, 1964.

Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории

чисел: Учебное пособие. – СПб.: Изд. «Лань»,2008.- 224с.

Краткие сведения из теории

Если - обыкновенная несократимая дробь, правильная или неправильная, то с помощью алгоритма Евклида можно эту дробь представить в виде:

a = bq 0 + a 1 ,

b = a 1 q 1 + a 2 ,

a 1 = a 2 q 2 + a 3 ,

…………….

a n-2 = a n-1 q n-1 + a n ,

a n-1 = a n q n .

Здесь q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n – неполные частные;

a 1 , a 2 ,a 3 ,…., a n - остатки.

Правую часть такого разложения можно представить в виде:

= q 0 +

…………

+ ,

Выражение, написанное в правой части, называется конечной непрерывной или цепной дробью.

Кратко написанное равенство можно записать так:

= (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n)

Дроби = , = q 0 + , = q 0 + ,…… называются подходящими. Числитель и знаменатель этих дробей можно вычислить по рекуррентным формулам:

P -2 = 0; Q -2 =1: P -1 = 1; Q -1 = 0;

при k≥0; P k = q k P k -1 + P k -2 ; Q k = q k Q k -1 + Q k -2 . (1)

По определению P n = a , Q n = b.

Процесс вычислений удобно оформить в виде таблицы:

k	-2	-1				……	n-1	n
q k			q 0	q 1	q 2	……	q n-1	q n
P k			P 0	P 1	P 2	……	P n-1	P n
Q k			Q 0	Q 1	Q 2	……	Q n-1	Q n

Между подходящими дробями и самой дробью имеют место соотношения:

< < < ….. < < …… < < <

Для оценки погрешности при замене дроби подходящей дробью , будем применять следующую формулу:

‌‌‌ - .

Пример. Заменить дробь = подходящейдробью с погрешностью0,001.

Разложим дробь с помощью алгоритма Евклида:

Если возьмем для замены дробь , то погрешность замены будет

0,006, что более заданной 0,001, поэтому дробь не подходит.

Берем дробь для которой погрешность 0,0003 < 0,001.

Пример. По данной конечной непрерывной дроби найти соответствующую обыкновенную дробь. Пусть = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Решение. По соответствующим значениям q k , используя рекуррентные формулы, определим соответствующие значения числителя и знаменателя подходящих дробей P k , Q k . При k=n получим P n = a , Q n =b .

k	-2	-1
q k
P k			a=64
Q k			b=25

k = 0; P 0 = q 0 P -1 + P -2 = 2×1 + 0 = 2; Q 0 = q 0 Q -1 + Q -2 = 2×0 + 1 = 1;

k = 1; P 1 = q 1 P 0 + P -1 = 1×2 + 1 = 3; Q 1 = q 1 Q 0 + Q -1 = 1×1 + 0 = 1;

k = 2; P 2 = q 2 P 1 + P 0 = 1×3 + 2 = 5; Q 2 = q 2 Q 1 + Q 0 = 1×1 + 1 = 2;

k = 3; P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3×5 + 3 = 18; Q 3 = q 3 Q 2 + Q 1 = 3×2 + 1 = 7;

k = 4; P 4 = q 4 P 3 + P 2 = 1×18 + 5 = 23; Q 4 = q 4 Q 3 + Q 2 = 1×7 + 2 = 9;

k = 5; P 5 = q 5 P 4 + P 3 = 2×23 + 18 = 64; Q 5 = q 5 Q 4 + Q 3 = 2×9 + 7 = 25.

Ответ: = .

Пример. Пусть дана дробь . Используя алгоритм Евклида разложения в непрерывную дробь, сократить эту дробь.


			q 0 =2

		q 1 =3

	q 2 =1

q 3 =2

Получили 525 = 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 = 21 2. Имеем НОД (525;231)=21.

Полученное разложение позволяет сделать сокращенную запись

= (2; 3; 1; 2). Найдем для этого разложения подходящие дроби, используя формулы (1).

Часто для непрерывных дробей применяется более компактное обозначение x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … .

Числа x 1 y 1 = x 1 y 1 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , … называются подходящими дробями данной непрерывной дроби. Если последовательность подходящих дробей неограниченно приближается к некоторому числу, то говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к этому числу. Точнее, неограниченное приближение числовой последовательности a 1 a 2 … к числу a означает, что, какое бы маленькое положительное число ε мы бы ни взяли, все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, будут находиться от числа a на расстоянии меньшем, чем ε . Сходимость последовательности к числу принято обозначать так: lim s → ∞ a s = a .

Мы не станем углубляться в интереснейшую проблему исследования сходимости непрерывных дробей. Вместо этого поставим перед собой задачу алгоритмического вычисления последовательности подходящих дробей для данной непрерывной дроби. Глядя на эту последовательность, вычисленную на компьютере, можно строить гипотезы о сходимости непрерывной дроби.

Можно представлять себе подходящую дробь как функцию, определённую на пространстве последовательностей числовых пар: f ⁡ x 1 y 1 x 2 y 2 … x n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … + x n y n . Было бы неплохо, чтобы эта функция оказалась индуктивной или нашлось бы её индуктивное расширение.

Другой пример: 1 1 + 1 1 + 1 1 + … Предположив, что эта дробь сходится к числу a , найдём это число. Для этого заметим, что a = 1 1 + a (проверьте!). У этого уравнения два решения, из которых годится положительное a = 5 − 1 2 . Между прочим, a = 1 φ = φ − 1 = 0,61803398874989… , где φ - число Фидия из главы 9. «Числа Фибоначчи » . Сама же непрерывная дробь имеет самое прямое отношение к числам Фибоначчи: они уютно расположились в числителях и знаменателях подходящих дробей 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , 8 13 , … .

Следует заметить, что способ рассуждений, при помощи которого найдено правильное значение непрерывной дроби, содержит существенный изъян. Рассуждая точно так же, мы уже нашли в разделе «Способы приближённого вычисления числа π » «значение» бесконечной суммы 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … = 1 2 . Странно, что сумма целых чисел оказалась дробным числом. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем − 1 ведёт к тому же результату: S = 1 1 − − 1 = 1 2 . Впрочем, не будем забывать, что формула суммы бесконечной геометрической прогрессии применяется лишь при знаменателях, строго меньших единицы по модулю.

Укажем и ещё более странный результат, опять подтверждаемый, если можно так выразиться, формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1 + 2 ⁢ 1 + 2 + 4 + 8 + … = 1 + 2 ⁢ S , откуда S = − 1 , то есть сумма положительных слагаемых оказалась отрицательной! Всё дело в том, что поиск суммы производился в предположении о её существовании. Для полноты картины следовало бы рассмотреть и другой случай, когда сумма не существует, но тогда мы не получим никакого результата.

Весьма важное в математике число, e = 2,718281828459045… , имеет много названий: основание натуральных логарифмов , число Непера , число Эйлера . Невозможно перечислить ситуации, где в математике возникает это число, которое, к тому же, служит вечным напоминанием о дне рождения Л. Н. Толстого . Обычно e определяют при помощи второго замечательного предела

Как и число π , число Непера имеет несколько красивых представлений через непрерывные дроби: e − 2 = 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + … = 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + … = 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + …

Читателям, заинтересовавшимся непрерывными дробями, мы рекомендуем брошюру .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ. Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n /(n + 1),... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2Ч 1 + 3Ч 3)/(2Ч 1 + 3Ч 2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3Ч 3 + 4Ч 11)/(3Ч 2 + 4Ч 8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x , первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x . Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные – больше x , а четные – меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч 11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x – иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n 0 – наибольшее целое число, которое меньше x , то x = n 0 + (x – n 0), где x – n 0 – положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x 1 больше 1 и x = n 0 + 1/x 1 . Если n 1 – наибольшее целое число, которое меньше x 1 , то x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), где x 1 – n 1 – положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x 2 больше 1, и x 1 = n 1 + 1/x 2 . Если n 2 – наибольшее целое число, которое меньше x 2 , то x 2 = n 2 + 1/x 3 , где x 3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... непрерывной дроби, являющихся приближениями x .

Поясним сказанное на примере. Предположим, что , тогда

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x – радианная мера острого угла, то тангенс угла x x /1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2 /9, ..., а если x – положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x /1, 1 2 x /2, 1 2 x /3, 2 2 x /4, 2 2 x /5, 3 2 x /6,... . Формальным решением дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 +.... Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x /1, x /1, 2x /1, 2x /1, 3x /1, 3x /1,..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

Где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше). Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x. Поясним сказанное на примере. Предположим, что

Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
">

тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения
: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для
имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны. Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Смотреть что такое "НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ" в других словарях:

См. Дробь … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной… … Википедия

Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в … Математическая энциклопедия

История науки … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Арабский халифат (750 г.) Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, в … Википедия

- (родился 14 мая 1821 года умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. П. Л. Чебышев, профессор императорского С. Петербургского университета Тайный советник, доктор… … Большая биографическая энциклопедия

Данная статья часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Книги

Математическое просвещение , Бончковский Р.Н. , Этот сборник, как и предыдущие сборники «Математическое просвещение», содержит научные статьи по элементарной математике и простейшим вопросам высшей математики. Сборник рассчитан на весьма… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель: ЁЁ Медиа ,
Математическое просвещение. Выпуск 7 , Бончковского Р. Н. , Этот сборник, как и предыдущие сборники «Математическое просвещение», содержит научные статьи по элементарной математике и простейшим вопросам высшей математики. Сборник рассчитан на весьма… Категория: