Закон пифагора определение. Способ два: подобные треугольники. Музыка и логика

Теорема Пифагора всем известна со школьной поры. Выдающийся математик доказал великую гипотезу, которой в настоящее время пользуются многие люди. Звучит правило так: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. За многие десятилетия ни один математик не сумел переспорить данное правило. Ведь Пифагор долго шел к своей цели, чтобы в результате чертежи имели место в повседневной жизни.

1. Небольшой стих к данной теореме, который придумали вскоре после доказательства, напрямую доказывает свойства гипотезы: «Пифагоровы штаны во все стороны равны» . Это двустрочье отложилось в памяти у многих людей – по сей день стихотворение вспоминают при вычислениях.
2. Данная теорема получила название «Пифагоровы штаны» вследствие того, что при черчении по середине получался прямоугольный треугольник, по бокам которого располагались квадраты . С виду данное черчение напоминало штаны – отсюда и название гипотезы.
3. Пифагор гордился разработанной теоремой, ведь данная гипотеза отличается от ею подобных максимальным количеством доказательств . Важно: уравнение было занесено в книгу рекордов Гиннесса вследствие 370 правдивых доказательств.

   

4. Гипотезу доказывало огромное количество математиков и профессоров из разных стран многими способами . Английский математик Джонс вскоре оглашения гипотезы доказал ее при помощи дифференциального уравнения.

   

5. В настоящее время никому неизвестно доказательство теоремы самим Пифагором . Факты о доказательствах математика сегодня не известны никому. Считается, что доказательство чертежей Евклидом - это и есть доказательство Пифагора. Однако некоторые ученые спорят с этим утверждением: многие считают, что Евклид самостоятельно доказал теорему, без помощи создателя гипотезы.

   

6. Нынешние ученые обнаружили, что великий математик был не первым, кто открыл данную гипотезу . Уравнение было известно еще задолго до открытия Пифагором. Данный математик сумел лишь воссоединить гипотезу.

   

7. Пифагор не давал уравнению название «Теорема Пифагора» . Это название закрепилось после «громкого двустрочья». Математик лишь хотел, чтобы его старания и открытия узнал весь мир и пользовался ими.

   

8. Мориц Кантор - великий крупнейший математик нашел и разглядел на древнем папирусе записи с чертежами . Вскоре после этого Кантор понял, что данная теорема была известна египтянам еще 2300 лет до нашей эры. Только тогда ею никто не воспользовался и не стал пытаться доказать.

   

9. Нынешние ученые считают, что гипотеза была известна еще в 8 веке до нашей эры . Индийские ученые того времени обнаружили приблизительное вычисление гипотенузы треугольника, наделенного прямыми углами. Правда в то время никто не смог доказать наверняка уравнение по приблизительным вычислениям.

   

10. Великий математик Бартель Ван дер Варден после доказательства гипотезы заключил важный вывод : «Заслуга греческого математика считается не открытием направления и геометрии, а лишь ее обоснованием. В руках Пифагора были вычислительные формулы, которые основывались на предположениях, неточных вычислениях и смутных представлениях. Однако выдающемуся ученому удалось превратить из в точную науку».

    

11. Известный стихотворец сказал, что в день открытия своего чертежа он воздвиг быкам славную жертву . Именно после открытия гипотезы пошли слухи, что жертвоприношение ста быков «пошло странствовать по страницам книг и изданий». Остряки по сей день шутят, что с тех пор все быки боятся нового открытия.

    

12. Доказательство того, что не Пифагор придумал стихотворение про штаны, дабы доказать выдвинутые им чертежи: во времена жизни великого математика штанов еще не было . Они были придуманы через несколько десятилетий.
13. Размышления Пифагора о собственном правиле: секрет сущего на земле кроется в цифрах . Ведь математик, опираясь на собственную гипотезу, изучил свойства чисел, выявил четность и нечетность, создал пропорции.

    

Потенциал к творчеству обычно приписывают гуманитарным дисциплинам, естественно научным оставляя анализ, практический подход и сухой язык формул и цифр. Математику к гуманитарным предметам никак не отнесешь. Но без творчеств в «царице всех наук» далеко не уедешь – об этом людям известно с давних пор. Со времен Пифагора, например.

Школьные учебники, к сожалению, обычно не объясняют, что в математике важно не только зубрить теоремы, аксиомы и формулы. Важно понимать и чувствовать ее фундаментальные принципы. И при этом попробовать освободить свой ум от штампов и азбучных истин – только в таких условиях рождаются все великие открытия.

К таким открытиям можно отнести и то, которое сегодня мы знаем как теорему Пифагора. С его помощью мы попробуем показать, что математика не только может, но и должна быть увлекательной. И что это приключение подходит не только ботаникам в толстых очках, а всем, кто крепок умом и силен духом.

Из истории вопроса

Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.

Также сегодня известно, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».

Как видите, теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Подтверждением служит и около 367 разнообразных доказательств, существующих сегодня. В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Среди знаменитых авторов доказательств можно вспомнить Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Гарфилда. Все это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики: из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

Доказательства теоремы Пифагора

В школьных учебниках в основном приводят алгебраические доказательства. Но суть теоремы в геометрии, так что давайте рассмотрим в первую очередь те доказателства знаменитой теоремы, которые опираются на эту науку.

Доказательство 1

Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.

Утверждение «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах» можно проиллюстрировать следующим чертежом:

Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC: На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному АВС. А на катетах АВ и ВС построено по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.

Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны» :

Доказательство 2

Этот метод сочетает в себе алгебру и геометрию и может рассматриваться как вариант древнеиндийского доказательства математика Бхаскари.

Постройте прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте два квадрата со сторонами, равными сумме длин двух катетов, – (a+b) . В каждом из квадратов выполните построения, как на рисунках 2 и 3.

В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной a, второй со стороной b .

Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c .

Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со стороной (a+b) .

Записав все это, имеем: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab . Раскройте скобки, проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите, что a 2 +b 2 = a 2 +b 2 . При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата можно вычислить и по традиционной формуле S=c 2 . Т.е. a 2 +b 2 =c 2 – вы доказали теорему Пифагора.

Доказательство 3

Само же древнеиндийское доказательство описано в XII веке в трактате «Венец знания» («Сиддханта широмани») и в качестве главного аргумента автор использует призыв, обращенный к математическим талантам и наблюдательности учеников и последователей: «Смотри!».

Но мы разберем это доказательство более подробно:

Внутри квадрата постройте четыре прямоугольных треугольника так, как это обозначено на чертеже. Сторону большого квадрата, она же гипотенуза, обозначим с . Катеты треугольника назовем а и b . В соответствии с чертежом сторона внутреннего квадрата это (a-b) .

Используйте формулу площади квадрата S=c 2 , чтобы вычислить площадь внешнего квадрата. И одновременно высчитайте ту же величину, сложив площадь внутреннего квадрата и площади всех четырех прямоугольных треугольников: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b .

Вы можете использовать оба варианта вычисления площади квадрата, чтобы убедиться: они дадут одинаковый результат. И это дает вам право записать, что c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b . В результате решения вы получите формулу теоремы Пифагора c 2 =a 2 +b 2 . Теорема доказана.

Доказательство 4

Это любопытное древнекитайское доказательство получило название «Стул невесты» - из-за похожей на стул фигуры, которая получается в результате всех построений:

В нем используется чертеж, который мы уже видели на рис.3 во втором доказательстве. А внутренний квадрат со стороной с построен так же, как в древнеиндийском доказательстве, приведенном выше.

Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1 два зеленых прямоугольных треугольника, перенести их к противоположным сторонам квадрата со стороной с и гипотенузами приложить к гипотенузам сиреневых треугольников, получится фигура под названием «стул невесты» (рис.2). Для наглядности можно то же самое проделать с бумажными квадратами и треугольниками. Вы убедитесь, что «стул невесты» образуют два квадрата: маленькие со стороной b и большой со стороной a .

Эти построения позволили древнекитайским математикам и нам вслед за ними прийти к выводу, что c 2 =a 2 +b 2 .

Доказательство 5

Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда».

Постройте прямоугольный треугольник АВС . Нам надо доказать, что ВС 2 =АС 2 +АВ 2 .

Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD , который равен катету АВ . Опустите перпендикулярный AD отрезок ED . Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В , а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже:

Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу.

Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ , является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD , АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2 .

При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: S ABED =(DE+AB)*1/2AD . Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD .

Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD) . Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2 . А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2 . Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС 2 =АС 2 +АВ 2 . Мы доказали теорему.

Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Пару слов о Пифагоровых тройках

Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем образовании.

Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.

Пифагоровы тройки могут быть:

• примитивными (все три числа – взаимно простые);
• не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.

Практическое применение теоремы

Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.

Сначала про строительство: теорема Пифагора находит в нем широкое применение в задачах разного уровня сложности. Например, посмотрите на окно в романском стиле:

Обозначим ширину окна как b , тогда радиус большой полуокружности можно обозначить как R и выразить через b: R=b/2 . Радиус меньших полуокружностей также выразим через b: r=b/4 . В этой задаче нас интересует радиус внутренней окружности окна (назовем его p ).

Теорема Пифагора как раз и пригодиться, чтобы вычислить р . Для этого используем прямоугольный треугольник, который на рисунке обозначен пунктиром. Гипотенуза треугольника состоит из двух радиусов: b/4+p . Один катет представляет собой радиус b/4 , другой b/2-p . Используя теорему Пифагора, запишем: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2 . Далее раскроем скобки и получим b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2 . Преобразуем это выражение в bp/2=b 2 /4-bp . А затем разделим все члены на b , приведем подобные, чтобы получить 3/2*p=b/4 . И в итоге найдем, что p=b/6 – что нам и требовалось.

С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живет не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.

Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:

Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.

Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца Пифагора.

С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.

(перевод Виктора Топорова)

А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый».

А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому.

Заключение

Эта статья создана, чтобы вы могли заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках «Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян, В.Н. Руденко) и «Геометрия 7-11» (А.В. Погорелов), но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

Во-первых, эта информация позволит вам претендовать на более высокие баллы на уроках математики – сведения по предмету из дополнительных источников всегда высоко оцениваются.

Во-вторых, нам хотелось помочь вам прочувствовать, насколько математика интересная наука. Убедиться на конкретных примерах, что в ней всегда есть место творчеству. Мы надеемся, что теорема Пифагора и эта статья вдохновят вас на самостоятельные поиски и волнующие открытия в математике и других науках.

Расскажите нам в комментариях, показались ли вам приведенные в статье доказательства интересными. Пригодились ли вам эти сведения в учебе. Напишите нам, что думаете о теореме Пифагора и этой статье – нам будет приятно обсудить все это с вами.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

учащаяся 9 «А» класса

МОУ СОШ №8

Научный руководитель:

учитель математики,

МОУ СОШ №8

ст. Новорождественской

Краснодарского края.

Ст. Новорождественская

АННОТАЦИЯ.

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы .

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8

3. Заключение 19

4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора - свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 - был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «...и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе , например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

Сказка «Дом».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город - город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе , я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

1 СПОСОБ.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Доказательство.

а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в² .

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав  , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с ² = 2ав + с ².

Таким образом,

(а + в )² = 2ав + с ²,

с²=а²+в² .

Теорема доказана.
2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС ² +СВ ² = АВ ² .

Доказательство.

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Доказательство:

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²

Аналогично,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * ВD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:

АС ² + ВС ² = АВ (АD + DВ) = АВ ²

Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с . (рис. 4).

Докажем, что с²=а²+в².

Доказательство.

sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

sin²В= в²/с²; cos²В = а²/с².

Сложив их, получим:

sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

с²= а² + в².

Доказательство закончено.

5 СПОСОБ.

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

6 СПОСОБ.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

7 СПОСОБ.

Дано (рис. 7):

ABС, = 90°, ВС = а, АС= b, АВ = с.

Доказать: с2 = а2 + b2 .

Доказательство.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD < АС, то прямые CD и AM не параллельны. Следова­тельно, AMDC - прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° - 90° = 90°. Оказа­лось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрываю­щихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей

(a+b)(a+b)

Разделив все члены неравенства на , получим

а b + с2 + а b = (а + b) , 2 ab + с2 = а2 + 2а b + b2,

с2 = а2 + b2.

Доказательство закончено.

8 СПОСОБ.

Данный способ основывается на гипотенузе и кате­тах прямоугольного тре­угольника ABC. Он строит соответствующие квадра­ты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, постро­енных на катетах (рис. 8).

Доказательство.

1) DBC = FBA = 90°;

DBC + ABC = FBA + ABC, значит, FBC = DBA.

Таким образом, FBC =ABD (по двум сторонам и углу между ними).

2) , где AL DE, так как BD - общее основание, DL - общая высота.

3) , так как FB –снование, АВ - общая высота.

4)

5) Аналогично можно доказать, что

6) Складывая почленно, получаем:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказательство закончено.

9 СПОСОБ.

Доказательство.

1) Пусть ABDE - квадрат (рис. 9), сторона которого рав­на гипотенузе прямоугольно­го треугольника ABC (АВ = с, ВС = а, АС = b).

2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольно­го треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).

Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).

3)Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b). Тогда КС = СМ = ML = LK = а - b.

4) SKB = 4S + SKLMC = 2ab + (a - b), с 2 = 2ab + a2 - 2ab + b2, c2 = a2 + b2 .

Доказательство закончено.

10 СПОСОБ.

Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его со­стоит в преобразовании квад­ратов, построенных на кате­тах, в равновеликие треуголь­ники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

ABC сдвигаем, как пока­зано стрелкой, и он занимает положение KDN. Оставша­яся часть фигуры AKDCB рав­новелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB.

Сделана модель параллелограмма AKNB . Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование парал­лелограмма в равновеликий треугольник, на глазах уча­щихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преоб­разуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Теорема Пифагора

Своеобразна судьба иных теорем и задач... Как объяснить, например, столь исключительное внимание со стороны математиков и любителей математики к теореме Пифагора? Почему многие из них не довольствовались уже известными доказательствами, а находили свои, доведя за двадцать пять сравнительно обозримых столетий количество доказательств до нескольких сотен?
Когда речь идет о теореме Пифагора, необычное начинается уже с ее названия. Считается, что сформулировал ее впервые отнюдь не Пифагор. Сомнительным полагают и то, что он дал ее доказательство. Если Пифагор - реальное лицо (некоторые сомневаются даже в этом!), то жил он, скорее всего, в VI-V в. до н. э. Сам он ничего не писал, называл себя философом, что значило, в его понимании, «стремящийся к мудрости», основал пифагорейский союз, члены которого занимались музыкой, гимнастикой, математикой, физикой и астрономией. По-видимому, был он и великолепным оратором, о чем свидетельствует следующая легенда, относящаяся к пребыванию его в городе Кротоне: «Первое появление Пифагора пред народом в Кротоне началось речью к юношам, в которой он так строго, но вместе с тем и так увлекательно изложил обязанности юношей, что старейшие в городе просили не оставить и их без поучения. В этой второй речи он указывал на законность и на чистоту нравов, как на основы семейства; в следующих двух он обратился к детям и женщинам. Последствием последней речи, в которой он особенно порицал роскошь, было то, что в храм Геры доставлены были тысячи драгоценных платьев, ибо ни одна женщина не решалась более показываться в них на улице...» Тем не менее еще во втором столетии нашей эры, т. е. спустя 700 лет, жили и творили вполне реальные люди, незаурядные ученые, находившиеся явно под влиянием пифагорейского союза и относящиеся с большим уважением к тому, что согласно легенде создал Пифагор.
Несомненно также, что интерес к теореме вызывается и тем, что она занимает в математике одно из центральных мест, и удовлетворением авторов доказательств, преодолевших трудности, о которых хорошо сказал живший до нашей эры римский поэт Квинт Гораций Флакк: «Трудно хорошо выразить общеизвестные факты».
Первоначально теорема устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника:
.
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a 2 +b 2 =c 2 . Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a 2 + b 2 = c 2 , существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.
Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам.
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата.



Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

История теоремы Пифагора насчитывает несколько тысячелетий. Утверждение, гласящее, что было известно еще задолго до рождения греческого математика. Однако теорема Пифагора, история создания и доказательства ее связываются для большинства именно с этим ученым. Согласно некоторым источникам, причиной тому послужило первое доказательство теоремы, которое было приведено Пифагором. Однако часть исследователей опровергает этот факт.

Музыка и логика

Прежде чем рассказать, как складывалась история теоремы Пифагора, кратко остановимся на биографии математика. Жил он в VI веке до нашей эры. Датой рождения Пифагора считается 570 год до н. э., местом — остров Самос. О жизни ученого достоверно известно немного. Биографические данные в древнегреческих источниках переплетаются с явным вымыслом. На страницах трактатов он предстает великим мудрецом, великолепно владеющим словом и умением убеждать. Кстати, именно поэтому греческого математика и прозвали Пифагором, то есть «убеждающим речью». По другой версии, рождение будущего мудреца предсказала Пифия. Отец в ее честь назвал мальчика Пифагором.

Мудрец учился у великих умов того времени. Среди преподавателей молодого Пифагора значатся Гермодамант и Ферекид Сиросский. Первый привил ему любовь к музыке, второй обучил философии. Обе эти науки останутся в центре внимания ученого на протяжении всей его жизни.

Обучение длиной в 30 лет

По одной из версий, будучи пытливым юношей, Пифагор покинул родину. Он отправился искать знаний в Египет, где пробыл, согласно разным источникам, от 11 до 22 лет, а затем попал в плен и был отправлен в Вавилон. Пифагор смог извлечь пользу из своего положения. В течение 12 лет он изучал математику, геометрию и магию в древнем государстве. На Самос Пифагор вернулся только в 56 лет. Здесь в то время правил тиран Поликрат. Пифагор не смог принять такую политическую систему и вскоре отправился на юг Италии, где располагалась греческая колония Кротон.

Сегодня нельзя точно утверждать, был ли Пифагор в Египте и Вавилоне. Возможно, он покинул Самос позже и отправился сразу в Кротон.

Пифагорейцы

История теоремы Пифагора связана с развитием созданной греческим философом школы. Это религиозно-этическое братство проповедовало соблюдение особого образа жизни, изучало арифметику, геометрию и астрономию, занималось исследованием философской и мистической стороны чисел.

Все открытия учеников греческого математика приписывались ему. Однако история возникновения теоремы Пифагора связывается древними биографами только с самим философом. Предполагается, что он передал грекам знания, полученные в Вавилоне и Египте. Есть также версия, что он действительно открыл теорему о соотношениях катетов и гипотенузы, не зная о достижениях других народов.

Теорема Пифагора: история открытия

В некоторых древнегреческих источниках описывается радость Пифагора, когда ему удалось доказать теорему. В честь такого события он приказал принести жертву богам в виде сотни быков и устроил пир. Некоторые ученые, однако, указывают на невозможность такого поступка из-за особенностей воззрений пифагорейцев.

Считается, что в трактате «Начала», созданном Евклидом, автор приводит доказательство теоремы, автором которого и был великий греческий математик. Однако подобную точку зрения поддерживали не все. Так, еще античный философ-неоплатоник Прокл указывал, что автором приведенного в «Началах» доказательства является сам Евклид.

Как бы то ни было, но первым, кто сформулировал теорему, все-таки был не Пифагор.

Древний Египет и Вавилон

Теорема Пифагора, история создания которой рассматривается в статье, согласно немецкому математику Кантору, была известна еще в 2300 году до н. э. в Египте. Древние жители долины Нила во времена правления фараона Аменемхета I знали равенство 3 2 + 4 ² = 5 ² . Предполагается, что с помощью треугольников со сторонами 3, 4 и 5 египетские «натягиватели веревок» выстраивали прямые углы.

Знали теорему Пифагора и в Вавилоне. На глиняных табличках, датируемых 2000 годом до н.э. и относимых ко времени правления обнаружен приблизительный расчет гипотенузы прямоугольного треугольника.

Индия и Китай

История теоремы Пифагора связана и с древними цивилизациями Индии и Китая. Трактат «Чжоу-би суань цзинь» содержит указания, что (его стороны соотносятся как 3:4:5) был известен в Китае еще в XII в. до н. э., а к VI в. до н. э. математики этого государства знали общий вид теоремы.

Построение прямого угла при помощи египетского треугольника было изложено и в индийском трактате «Сульва сутра», датируемом VII-V вв. до н. э.

Таким образом, история теоремы Пифагора к моменту рождения греческого математика и философа насчитывала уже несколько сотен лет.

Доказательство

За время своего существования теорема стала одной из основополагающих в геометрии. История доказательства теоремы Пифагора, вероятно, началась с рассмотрения равностороннего На его гипотенузе и катетах строятся квадраты. Тот, что «вырос» на гипотенузе, будет состоять из четырех треугольников, равных первому. Квадраты на катетах при этом состоят из двух таких треугольников. Простое графическое изображение наглядно показывает справедливость утверждения, сформулированного в виде знаменитой теоремы.

Еще одно простое доказательство сочетает геометрию с алгеброй. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами а, в, с вычерчиваются так, что образуют два квадрата: внешний со стороной (а + в) и внутренний со стороной с. При этом площадь меньшего квадрата будет равна с 2 . Площадь большого вычисляется из суммы площадей маленького квадрата и всех треугольников (площадь прямоугольного треугольника, напомним, вычисляется по формуле (а * в) / 2), то есть с 2 + 4 * ((а * в) / 2), что равно с 2 + 2ав. Площадь большого квадрата можно вычислить и иначе — как произведение двух сторон, то есть (а + в) 2 , что равно а 2 + 2ав + в 2 . Получается:

а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав,

а 2 + в 2 = с 2 .

Известно множество вариантов доказательства этой теоремы. Над ними трудился и Евклид, и индийские ученые, и Леонардо да Винчи. Часто древние мудрецы приводили чертежи, примеры которых расположены выше, и не сопровождали их никакими объяснениями, кроме пометки «Смотри!» Простота геометрического доказательства при условии наличия некоторых знаний комментариев и не требовала.

История теоремы Пифагора, кратко изложенная в статье, развенчивает миф о ее происхождении. Однако трудно даже представить, что имя великого греческого математика и философа когда-нибудь перестанет ассоциироваться с ней.