Доказательство к теореме о соотношении. Способы доказательства теорем и приемы решения геометрических задач

Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;

2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;

3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

№ шага	Посылки (аргументы)	Условия	Следствия
1.	Определение: прямоугольник — это четырехугольугольник, у которого все углы прямые	ABCD - прямоугольник	A - прямой B> - прямой.
2.	Теорема: Прямые углы равны.	A - прямой B - прямой.	A = B.
3.	Теорема: Противоположные стороны прямоугольника равны.	ABCD - прямоугольник	BC=AD
4.	Первый признак равенства двух треугольников.	ВС=AD, AB=AB, B = A	ABC= BAD.
5.	Определение равенства треугольников.	ABC = BAD, AC и BD соответственные стороны	AC=BD.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.

3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».

Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.

a n- 1 и a n+1 . Значит, верно такое равенство:
(1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:

a n = a n-1 + d, где n 2, d — постоянное число. (2)

Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Отсюда a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)

Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 —a 1 = а 3 — a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п — а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:

а п — а п-1 = d.

Отсюда получаем: a n = a n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.

Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.

Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.

Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.

В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».

Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.

Приведем пример.

Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.

Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.

Другой пример.

Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше {значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.

Эту теорему можно так записать:

Где а>0, b>0, (1)

Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.

Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел: ; (2)

Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а — b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.

Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.

Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.

На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.

Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1), где а и b — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0. Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = b, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (-2) 2 = 2 2 , но -2 2.

Вот пример ошибочного решения задачи.

Задача. Решить уравнение 3 + x + 2 = 0 (1).

Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З = — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.

А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x 0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.

... § 18. Ученики, начинающие геометрию, часто не чувствуют потребности в доказательстве тех истин, которые они встречают в начале курса геометрии. Ученик, прежде чем начал учиться геометрии, привык уже к вопросу: почему вы так думаете? Да и самому преподавателю геометрии приходилось не раз задавать ему этот вопрос, прежде чем он признал своевременным приступить к объяснению, что такое теорема и что такое доказательство. А поэтому при таком объяснении учителя главное дело заключается в том, чтобы указать преимущества умозрительного доказательства перед другими, его обязательность при решении геометрических вопросов. Преподавателю предстоит избрать какую-либо из теорем, стоящих в начале курса, и воспользоваться ею для разъяснения значения и цели геометрического доказательства. Предлагают избрать для этого такую теорему, справедливость которой для учеников может быть не вполне очевидной, и, пользуясь этим, возбудить сомнение как в самой истинности ее, гак и в непригодности тех способов решения вопроса, какие известны учащимся, и таким образом привести их к необходимости искать подтверждения или опровержения ее в ином способе доказательства. Как мы видели, есть даже мнение, что было бы еще правильнее ожидать, пока ученики сами не натолкнутся на сомнение при решении какого-либо геометрического вопроса, и тогда уже приступать к толкованию о теореме. Такое предложение, как мне кажется, основано на недоразумении. Дело стояло бы так в том случае, если б, повторим еще раз, учащиеся до того времени не доказывали истин, принимали бы все сообщаемое им учителями за аксиомы. На самом же деле ученики понимают различие между.истиной и не истиной, различают даже истины, требующие подтверждения, от аксиом. Признавая что-либо истинным, они высказываются при этом по убеждению, могут представить доводы в пользу своего мнения. Но, начиная геометрию, они еще не знакомы с более точным доказательством, примеры которого в учебном курсе они впервые встречают в геометрии. Мало того, они еще не признают, может быть, самой необходимости найти более точные приемы доказательства, чем те, которые они употребляли. Поясним это примером. Ученик может принимать равенство всех прямых углов за аксиому, т. е. вполне довериться при этом своему непосредственному впечатлению и не сомневаться, что в мнении о величине прямых углов все сходятся, что в этом никто не сомневается. Но если б вы усомнились и потребовали доказательства, то он нашелся бы и произвел наложение их, как он это делал на уроках рисования и в пропедевтическом курсе. Тот же прием он употреблял и в систематическом курсе: смерив две прямые, он говорил, которая из них больше, и, поступая так, был убежден, что это измерение служит доводом, доказательством справедливости его вывода о сравнительной длине двух прямых. Это-то убеждение и составляет тот пункт, на который в данном случае должен обратить все свое внимание преподаватель. Для него важно не поселить сомнение в справедливости содержания теоремы,- ученики признают такое сомнение законным и не удивятся вопросу учителя: почему? докажите! - а внушить ученикам, как важно иметь возможность обобщить истину, найдя для нее умозрительное доказательство. Если речь идет о двух прямых, то, решая вопрос об,ix сравнительной длине, вполне возможно или довериться впечатлению глаза, или, если этого недостаточно, смерить их. Но геометрия имеет в виду не такие практические потребности: она как наука интересуется не какими-либо произвольно взятыми прямыми, а прямыми, величина которых определяется известными условиями. Истины, принадлежащие геометрии, имеют известную долю общности, но справедливы лишь при существовании определенных условий. Выбор темы для показания значения умозрительного доказательства определяется поэтому тем, удобно ли ее доказательство для уяснения характера и ценности его, а не тем, можно ли возбудить в учениках сомнение в справедливости самого содержания теоремы. Чтобы сделать яснее свою мысль, предположим, что нами выбрана теорема: каждая хорда меньше диаметра одного с нею круга, и отметим главные части урока, посвященного убеждению учеников в необходимости доказательства. 1. Проводится диаметр и хорда в одном и том же круге. На вопрос, которая из этих линий длиннее, ученики с убеждением скажут, что этот диаметр больше этой хорды. Если в том же круге проведем еще несколько хорд, то заключение о том, что вся она будет короче диаметра, получится с той же легкостью и с той же степенью верности. Можно, конечно, потребовать, чтобы сравнение было произведено точнее, т. е. не на глазомер, а путем измерения. 2. Далее решается вопрос: можно ли теперь сказать, что и все хорды также меньше диаметра? Предстоит убедить учеников, что такое обобщение невозможно. С одной стороны, нельзя перемерить все хорды, ибо их бесчисленное множество (а не потому, что потребовалось бы много времени), а с другой, если нельзя все перемерить, то всегда возможно сомневаться, не встретилась ли бы в числе неизмеренных такая хорда, которая окажется больше или хотя бы равна диаметру. Если из конца диаметра провести хорду под весьма малым углом к нему, то нетрудно дать почувствовать ученикам, что сравнение измерением может повести нас к неверному заключению, вследствие возможности ошибки при самом измерении, которая может иметь очень большое значение, когда сравниваемые протяжения весьма близки между собой по величине. Отсюда вывод о необходимости приискать другой способ решения вопроса, который дал бы возможность распространить наш вывод на все хорды. 3. Общность рассуждения или умозрительного доказательства выводится не из повторения его на нескольких чертежах, а из разбора частей доказательства. Можно ли концы каждой хорды соединить с центром? Всегда ли в таком случае хорда будет прямой, а радиусы образуют ломаную, опирающуюся на одни с прямой концы? Всегда ли эта ломаная будет состоять из двух радиусов и будет, следовательно, равна диаметру? Разобрав таким образом доказательство, мы вправе сказать, что, говоря об одной хорде, мы разумеем все хорды. Если б в нашем доказательстве хотя одна часть не могла быть применима к каждой хорде, то доказательство утратило бы всю свою цену. Повторение доказательства на другом чертеже имеет значение как повторение, как прием лучшего усвоения его, а не как подтверждение его общности. Следует оговориться, что нельзя ожидать, чтобы ученики сразу вполне поняли эту сторону геометрических доказательств. При дальнейшем изложении курса необходимо будет возвращаться к этой стороне дела и с этою целью заставлять учеников проверять доказательство шаг за шагом, все ли его части имеют общий характер, не ввели ли в него чего-либо справедливого лишь случайно, вследствие особенностей чертежа. Для полного выяснения значения теоремы и ее доказательства необходимо остановиться на стоящих в теореме словах: хорда и диаметр одного круга. Лучше всего, следуя тому же пути, который указан выше, сослаться на то, что ломаная в данном случае равна двум радиусам, а следовательно, и диаметру того же круга, в который вписана и хорда, что если взять хорду одного круга, а диаметр-другого, то упомянутого равенства существовать не будет, и если б мы в своем рассуждении упоминали о нем, то само рассуждение было бы неверно. Ссылаться же в подтверждение прибавляемых слов на чертеж (взяв хорду большого круга, а диаметр другого-маленького) значило бы возвращаться к непосредственному впечатлению, тогда как формальная сторона урока и заключается в том, чтобы убедить учеников в необходимости пользоваться умозрением...

Как доказывать теоремы?

Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.

В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.

Доказательство теорем

Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.

Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.

Как доказывать теоремы по геометрии без труда

Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».

Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе .

Индукция - форма мышления, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее положение, присущее всем конкретным объектам какого либо класса.
Дедукция - такая форма мышления, когда новая мысль выводится чисто логическим путем из предшествующих мыслей. Такая последовательность мыслей называется выводом, а каждый компонент этого вывода является либо ранее доказанной мыслью либо аксиомой, либо гипотезой.
Дедуктивное доказательство - одна из форм доказательств, когда тезис, являющийся каким-либо единичным или частным суждением, подводится под общее правило.
Всякое доказательство состоит из трех частей:
тезис, доводов, демонстраций.
Правила доказательства:
1. Тезис и аргументы должны быть суждениями ясными и определенными.
2. Тезис должен оставаться одним и тем же на продолжении всего доказательства.
3. Тезис не должен содержать в себе логического противоречия.
4. Тезис, который нужно доказать, не должен находиться в логическом противооречии с высказанными ранее суждениями.
5. Доводы приводимые в подтверждение тезиса, не должны противоречить друг другу.
6. Приведение к абсурду. Истинность того или иного тезиса можно обосновать, доказав ложность пртивоположного тезиса.
7. Тезис и доводы должны быть обоснованны фактами.
8. Доказательство должно быть полным.
9. Доводы приводимые в подверждение истинности тезиса, должны являться достаточными для данного тезиса.
10. Доводы приводимые в доказательстве истинности тезиса сами должны быть истинными.
11. Доводы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно независимо от тезиса.
ПРИМЕЧАНИЕ: Тезис - мысль или положение, истинность которого требуется доказать.

Учимся доказывать теорему.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция - выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» - и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792-1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777-1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802-1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник,Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ - общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

№ шага	Посылки (аргументы)	Условия	Следствия
1.	Определение: прямоугольник - это четырехугольугольник, у которого все углы прямые	ABCD - прямоугольник	A - прямой B> - прямой.
2.	Теорема: Прямые углы равны.	A - прямой B - прямой.	A =B.
3.	Теорема: Противоположные стороны прямоугольника равны.	ABCD - прямоугольник	BC=AD
4.	Первый признак равенства двух треугольников.	ВС=AD, AB=AB,B =A	ABC=BAD.
5.	Определение равенства треугольников.	ABC =BAD, AC и BD соответственные стороны	AC=BD.

Самое трудное в доказательстве - это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие - доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика - нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623-1662), Рене Декарт (1596-1650), Жак Адамар (1865-1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1.Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

2.Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм» - можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

3.В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность - арифметическая прогрессия».

Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.

a n- 1 и a n+1 . Значит, верно такое равенство:
(1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность - арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:

a n = a n-1 + d, где n2, d - постоянное число. (2)

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Отсюда a n - a n-1 = a n+1 - a n . (4)

Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 -a 1 = а 3 - a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п - а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:

а п - а п-1 = d.

Приведем пример.

Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.

Другой пример.

Эту теорему можно так записать:

Где а>0, b>0, (1)

Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.

Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а - b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.

Рассмотрим, например, такое равенство: а - b = b - a (1), где а и b - произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Вот пример ошибочного решения задачи.

Задача. Решить уравнение 3+ x + 2 = 0 (1).

Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З= - х - 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 -5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.

А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения.

Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.

Но математика росла и развивалась, особенно бурно последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике, как в США, так и в ряде других стран.

Возможно тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Я имею в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Фейрбаха, теореме Чевы, теорема Менелая и т. д.

Элементарная геометрия – часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы элементарной геометрии, как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что элементарная геометрия есть та часть геометрии, которая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера элементарной геометрии, но и никак ее не исчерпывает, так как в не включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). можно сказать, что элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из нее развились другие геометрические направления); в свои основах она сложилась в Древней Греции, и изложение ее основ дают уже «Начала» Евклида (3 в. до н. э.). Такое историческое определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера элементарной геометрии, тем более, что развитие ее продолжается и в настоящее время. Потому определение элементарной геометрии может быть раскрыто и дополнено.

Элементарная геометрия исходит из простейших фигур – точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков или углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство.

Предмет элементарной геометрии составляют:

1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур;

2) фигуры, определенные тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях.

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательства, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. система Эвклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменения до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX – XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественны образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определенные множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом то забывают, что при введении общих понятий кривой выпуклого тела длины и др. Фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающихся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию элементарной геометрии, можно говорить об элементарной геометрии n-мерного эвклидова пространства, о элементарной геометрии Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.

Тема моей работы: «Различные доказательства теорем элементарной геометрии не изучаемых в школе». Она рассматривает «именные теоремы, или теоремы великих ученых. Эта тема интересна тем, что доказывая теоремы школьного курса геометрии мы не всегда знаем, что они основаны на доказательстве какой-либо теоремы, доказанной еще в древние времена.

Рассмотрим доказательства именных теорем, не забывая о великих математиках, доказавших их.

1. Чева Джованни (Ceva Giovanni) (3. 3. 1648, Милан,- 13. 12. 1734, Мантуя) - итальянский инженер и математик. Окончил Пизанский университет. Основные работы по геометрии и механике. Доказал (1678) теорему о соотношении отрезков некоторых прямых, пересекающих треугольник (теорема Чевы). Построил учение о секущих, которое положило начало синтетической геометрии; оно изложено в соч. "О взаимно пересекающихся прямых" ("De line is rectis se inuicem secantibus", Mediolani, 1678).

Теорема. Пусть дан треугольник АВС и три прямые, проходящие через его вершины. Прямая, проходящая через его вершинуА, пересекает прямую ВС в точке А1, прямая, проходящая через вершину В пересекает сторону АС в точке В1, прямая, проходящая через вершину С, пересекает сторону АВ в точке С1. Эти прямые проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Доказательство

Необходимость.

Для случая пересекающихся прямых

Рассмотрим треугольник АВВ1 и прямую СС1, которая его пересекает.

По теореме Менелая

Рассмотрим треугольник СВВ1 и прямую АА1, которая его пересекает.

По теореме Менелая

Разделим первое соотношение на второе

Для случая непересекающихся прямых

По теореме Фалеса запишем пропорции: и

Перемножим пропорции: , значит

Достаточность.

По уже доказанному.

Но тогда, что означает, что А и А’ совпадут ч. т. д.

2. Теоре́ма Менела́я - это классическая теорема аффинной геометрии.

Подобный результат в сферической геометрии упоминается в трактате «Sphaerica» Менелая Александрийского (приблизительно 100-ый год нашей эры) и по-видимому, аналогичный результат на плоскости был уже известен. Эта теорема носит имя Менелая, поскольку более ранних письменных упоминаний об этом результате не сохранилось.

Хотя обоих математиков - древнегреческого и итальянского - разделяют 17 веков, теоремы, названные их именами, обладают двойственностью. Если в любой из них заменить прямую точкой и точку прямой, то теорема Менелая станет теоремой Чевы, и наоборот. Полезны они вот почему: те задачи, которые традиционно решаются довольно сложно с помощью аппарата векторной алгебры, решаются буквально в одну строчку с помощью теорем Менелая и Чевы. Это касается и обратных теорем. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой решается очень просто с помощью теоремы, обратной теореме Менелая, доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке, так же легко решается с помощью теоремы, обратной теореме Чевы. Это наиболее важное событие в истории геометрии (открытие этих теорем), оказавшее влияние как на процесс развития математики, так и на развитие техники и смежных областей науки!

Теорема. Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки A", B", C". Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

Доказательство.

Необходимость.

Проведем BKA"B". Из подобия треугольников CA"/A"B=CB"/B"K; BC"/C"A=KB"/B"A. Тогда AB"/B"C*CA"/A"B*BC"/C"A= =AB"/CB"*CB"/KB"*KB"/AB"=1. Если записать тоже самое в векторах, то с учетом направленности вектора получим требуемое равенство.

Достаточность.

Пусть A", B", C" не лежат на одной прямой, но верно равенство (1). Тогда пусть A"B" пересекается с AB в точке C". Тогда верно равенство (1) и для точек A", B", C". Но тогда при записи равенства один, сокращением на AB"/CB"*CA"/BA" (2), получаем, что BC"/AC"=BC"/AC". Если записать все это в векторах, то получится равенство (2) с векторами. Отсюда C"=C", т. е. A", B", C" лежат на одной прямой.

Если точки A",B" и C" лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника, то они коллинеарны, тогда и только тогда когда

Проведем через точку С прямую, параллельую прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой B"C". Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то и, значит -

С тругой стороны, так как подобными являются также и треугольники и, то и, следовательно -

Но в таком случае

Остаётся заметить возможны два расположения точек A",B" и C", либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольник а одна на продолженни, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон, отсюда для отношений направленных отрезков имеем ч. т. д.

Теорема. Если стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС пересекаются в одной и той же точках a, b,c, то между отрезками, определенными таким образом на сторонах, имеем соотношение:

Доказательство.

Чтобы это доказать, проведем через вершины треугольника до пересечения с трансверсалью (трансверсалью называется любая прямая, пересекающая стороны треугольника) три прямые, параллельные какому-нибудь одному и тому же направлению, на которых установим одно и то же положительное направление.

Пусть α, β, γ – расстояния вершин от трансверсали, считая по проведенным параллельным прямым; имеем

Откуда, перемножая, получим:

Если бы трансверсаль была параллельна стороне ВС, то точку а следовало бы рассматривать как лежащую в бесконечности, а отношение как равное 1. Искомое соотношение обратилось бы при этом в, т. е. в теорему о прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника. Если бы две стороны АВ и АС треугольника сделались параллельными, то точка А лежала бы в бесконечности; написав выражение в виде, мы заменили бы через 1 и получили бы теорему о прямой, параллельной одной из сторон треугольника.

Обратная теорема. Если не сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС взяты три точки a, b, c, удовлетворяющие соотношению то эти три точки лежат на одной прямой.

Действительно, прямая ab пересекает сторону АВ в некоторой точке c" так, что имеет место равенство:

Это равенство при сравнении его с предыдущим, показывает, что и что, следовательно, точки с и с" совпадают.

Примечание. Эта теорема, в сущности, сводится к теореме о прямой параллельной какой-либо стороне треугольника. Действительно, можно найти такие три отрезка α, δ и γ (заданные по величине и по знаку), что имеют место равенства:

Откуда в силу соотношения следует

Вследствие этого три попарно гомотетичные фигуры, в которых точки А, В и С будут тремя соответвенными точками и α, δ, γ – тремя соответственными отрезками, будут иметь точки a, b, c центрами подобия.

3. Теорема Фейербаха. Доказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма Фейербаха (1800–1834) утверждает, что окружность девяти точек (окружность, проходящая через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) касается вписанной окружности треугольника и трёх его вневписанных окружностей. Эта теорема - один из самых красивых фактов элементарной геометрии.

Теорема Фейербаха. Окружность Эйлера касается вписанной и вневписанных окружностей.

Доказательство.

Пусть центр вписанной окружности - I, центр вневписанной окружности, касающейся BC - I", точки их касания с BC - L" и L", середины сторон DABC - A", B", C". GH - отрезок, симметричный отрезку BC относительно AI. Т. к. I, I" лежат на AI, BC - внутренняя касательная к этим 2-м окружностям, то GH тоже внутренняя касательная. Пусть GH∩A"B" - M, GH∩A"C" - N. Пусть GH∩BC=P, тогда P лежат на AI. Т. к. GH симметрична BC, то AG=AC, т. е. AI пересекает GC в середине. A"B", как средняя линия пересекает CG в середине, т. е. AI, A"B", CG пересекаются в одной точке. Назовем ее K. Из св-в вневписанной и вписанной окружностей получаем CL"=BL"; L"L"=AB-AC (обозначим вершины так, чтобы AB>AC). A"L"=(AB-AC)/2=BG/2=A"K(ср. лин.). DA"PK~DAPB, т. е. A"M/A"K=BG/BA; DA"CB"~DACB, т. е. BG/BA=A"K/A"B", т. е. A"M/A"K=A"K/A"B". Отсюда A"M*A"B"=A"K2=A"L"2=A"L"2. Из этого соотношения A"M=(c-b)2/(2c). Т. к. c>b, то A"M

4. Птолемей (Птоломей) Клавдий, знаменитый греческий геометр, астроном и физик; жил в Александрии в первой пол. II в. Главный труд "Великое Собрание", более известный в арабск. переводе под назв. "Альмагест". В геометрии имя П. носит теорема о произведении диагоналей вписанного четырехугольника. В астрономии П. дана теория эпициклов для объяснения видимого движения небесн. светил вокруг неподвижной земли (Птолемеева система). Другие соч: "География", "Harmonicorum libri III" (учение о гармонии) вполне сохранились, и "Оптика" (часть и в арабском переводе; в ней содержится учение об отражении и преломлении света); также 3 книги о музыке, важный источник сведений о древней музыке.

Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений противоположных сторон равнялась произведению его диагоналей.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть a=AB; b=BC; c=CD; d=DA; e=AC; f=BD, тогда, пользуясь соотношением Бретшнайдера(В любом четырехугольнике (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C), где e=AC; f=BD; a=AB; b=BC; c=CD; d=DA, ÐBAC=ÐA; ÐBCD=ÐC.), получаем: (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Т. к. ABCD вписан в окружность, то ÐA+ÐC=180o, т. е. cos(A+C)=-1, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. Отсюда (ef)2=(ac+bd)2, т. е. ef=ac+bd.

Достаточность.

ef=ac+bd, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. По соотношению Бретшнайдера (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Отсюда cos(A+C)=-1. Т. к. A+C

Теорема. Сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению их диагоналей.

Проведем СМ так, чтобыМСD=ВАС.

ΔАВС~ΔDМС

ΔАDС~ΔВСМ

Сложим полученные равенства АВ*DC+BC*AD=AC*DM+AC*BM ч. т. д.

5. Блез Паскаль родился в 1623 г. в провинциальном городке. Блез оказался одарённым блестящим умом. В 14 лет он начал посещать математический кружок (из которого впоследствии выросла Французская академия наук), а в 16 - уже написал работу о конических сечениях («теорема Паскаля»), названную коллегами «наиболее сильным и ценным вкладом в математическую науку со дней Архимеда».

Теорема. У вписанного в окружность шестиугольника точки пересечения противоположных (если они есть) лежат на прямой, называемой прямой Паскаля вписанного шестиугольника.

Доказательство.

Пусть наш шестиугольник - AB"CA"BC". Пусть M=(AB")∩(A"B); P=(BC")∩(B"C); N=(CA")∩(C"A); X=(AB")∩(CA"); P=(BC")∩(CA"); N=(CA")∩(BC"). По свойству секущих XA*XB"=XC*XA" (1); YB*YC"=YC*YA" (2); ZB*ZC"=ZA*ZB" (3). По теореме Менелая к DXYZ и к тройкам точек (A; C"; N); (C; B"; P); (B; A"; M) получаем:

После перемножений данных выражений и применения формул (1); (2); (3) получаем, что:

Отсюда по теореме Менелая следует, что M, N, P коллинеарны.

Теорема. Во всяком шестиугольнике, вписанном в окружность, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

Доказательство.

Пусть ABCDEF – шестиугольник, противоположные стороны которого AB и DE пересекаются в точке L, стороны BC и EF – в М, стороны CD и FA – в N. рассмотрим треугольник IJK, образованный сторонами AB, CD, EF, другими словами, сторонами данного шестиугольника, взятыми через одну.

Точки L, М, и N расположены соответственно на сторонах JK, KI, IJ этого треугольника. Эти точки лежат на одной прямой, если имеет место соотношение:

Но, если мы пересечем последовательно треугольник IJK каждой из оставшихся сторон DE, BC, FA шестиугольника, мы получим соотношения:

Перемножив почленно эти три равенства, мы можем написать, группируя надлежащим образом множители числителя и знаменателя:

Но каждая из трех последних дробей, которые входят в левую часть, равна 1. Например, произведения CI*DI и EI*FI равны как произведения отрезков, отсеченных окружностью на секущих, выходящих из точки I. Таким образом, получается соотношение и теорема доказана.

Примечание. Предыдущее доказательство остается в силе, если точки A и B, C и D, E и F попарно совпадают и стороны треугольника IJK являются касательными к кругу.

При этом теорема принимает следующую форму: Касательные, проведенные через вершины треугольника, вписанного в круг, пересекают соответствующие стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.

6. Жерар Дезарг родился в 1593 году (по другим источникам - в 1591г.). Паскаль называл его старшим свом современником и именно под влиянием работ Дезарга занялся проективной геометрией. В эпоху, когда не существовало еще научных журналов, активность таких математиков как Дезарг находила свое выражение в переписке ученых и деятельности дискуссионных кружков. Он состоял в переписке c Мареном Мерсенном, Декартом, Ферма, Паскалем и многими другими учеными. Из дискуссионных кружков ученых вырастали академии. Свою "теорему Дезарга" о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 году. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии. Так, Виктора Понселе, ученика Гаспара Монжа, директора Политехнической школы в Париже, в 1813 году привлекла система представлений, которую на два столетия раньше создавал Дезарг. Научные труды Дезарга легли в основу проективной геометрии. Проективно - геометрические идеи Дезарга привлекли интересы ряда ученых.

Теорема. Треугольники А1В1С1 и А2В2С2 расположены на плоскости так, что прямые А1А2, В1В2 и С1С2 имеют общую точку О. Пусть А – точка пересечения прямых В1С1 и В2С2, В – точка пересечения прямых А1С1 и А2С2, С – точка пересечения прямых А1В1 и А2В2. Тогда точки А, В, и С лежат на одной прямой.

Доказательство.

Применим теорему Менелая к треугольнику ОВ1С1 и прямой АВ2С2.

Аналогично для треугольников ОС1А1 и ОА1В1, пересекаемых прямыми ВС2А2 и СА2В2 соответственно.

Перемножив, после сокращений получим

Точки А, В и С лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника А1В1С1 и по теореме Менелая лежат на одной прямой.

Для того, чтобы доказать теорему Дезарга следующим способом надо вспомнить три пространственные аксиомы:

1. Две плоскости определяют одну и только одну прямую; три плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют одну и только одну точку.

2. Две пересекающиеся прямые определяют одну и только одну точку и одну и только одну плоскость.

3. Две точки определяют одну и только одну прямую. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость.

Эта система аксиом остается неизменной, если обменять местами слова «точка» и «плоскость» (при этом первая аксиома поменяется местами с третьей, а вторая останется неизменной).

Теорема. Пусть даны в пространстве два треугольника АВС и А"B"C". Пусть эти треугольники расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О. Тогда, во-первых, три пары соответствующих сторон треугольников пересекаются в трех точках R, S, T и, во-вторых, эти три точки лежат на одной прямой.

Доказательство.

Первая часть этой теоремы доказывается весьма просто. Две пересекающиеся прямые АА" и ВВ" определяют согласно второй пространственной аксиоме некоторую плоскость. Но в этой плоскости расположены также прямые АВ и А"В" так, что согласно второй плоскостной аксиоме они пересекаются в некоторой точке R. Остается неопределенным, лежит ли точка R в конечной части пространства или в бесконечности. Существование двух других точек пересечения S и T можно доказать таким же образом.

Вторую часть теоремы легко установить в том случае, когда треугольники расположены в различных плоскостях. Тогда эти плоскости определяют одну – конечную или бесконечно удаленную – прямую пересечения (по первой пространственной аксиоме). Из каждой пары соответствующих сторон треугольника: одна расположена в одной плоскости, другая – в другой. А так как обе стороны пересекаются, то точка их пересечения должна лежать на прямой, принадлежащей обеим плоскостям. Таким образом мы доказали теорему Дезарга для общего случая.

Однако особенно важен как раз тот частный случай, когда оба треугольника лежат в одной плоскости. В этом случае доказательство можно провести при помощи проектирования в пространстве, подобно тому как доказывалась теорема Брианшона. Нам следует только доказать, что всякая плоская дезаргова фигура может быть представлена как проекция некоторой пространственной дезорговой фигуры. Для этой цели соединим все точки и прямые плоской дезарговой фигуры с некоторой точкой S, лежащей вне плоскости фигуры. Далее проведем через прямую АС плоскость; пусть эта плоскость пересекается с прямой ВS в точке В0, отличной от точки S. Затем проведем прямую ОВ0. Эта прямая лежит в одной плоскости с прямой В"S, и таким образом обе прямые пересекаются в точке В0". Но тогда треугольники АВ0С и А"В0"С" образуют пространственную дезаргову фигуру, так как прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят чрез точку О. Линия пересечения плоскостей обоих треугольников изображается при проектировании из точки S в виде прямой на плоскости проекций, причем точки пересечения соответствующих пар сторон рассмотренных первоначально треугольников АВС и А"В"С" должны лежать на этой прямой. Теорема Дезарга доказана полностью.

7. Папп Александрийский греческий геометр. Жил в конце III в. после Рождества Христова, стоял во главе философской школы, о которой, кроме факта ее существования, нет других сведений. Из не дошедших до нас сочинений Паппа известны по имени, а иногда и по некоторым сведениям о содержании: "Замечания" или комментарий на Альмагест Птолемея, комментарий к "Аналемме" Диодора и комментарий к "Элементам" Эвклида. Важнейшим из сочинений Паппа является известное под именем "Собрания" (συναγωγή), излагающее содержание тех математических сочинений, которые особенно ценились современниками.

Теорема. Если на одной прямой взяты точки A1, B1, C1, а на другой - точки A2, B2, C2, то прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в трех коллинеарных точках.

Доказательство.

Пусть прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A, B соответственно, а прямые A1B2 и A2C1, B1C2 и B2A1, C1A2 и C2B1 пересекаются в точках A0, B0, C0 соответственно. Теперь применим теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2). В результате получим:

После перемножения пяти данных равенств получим, т. е. точки A, B и C коллинеарны.

8. Гаусс Карл Фридрих (1777-1855). С именем К. Ф. Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т. д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Эти результаты были открыты заново его младшими современниками: русским математиком Я. И. Лобачевским и венгерским математиком Я. Больяй в первом случае и норвежским математиком Г. X. Абелем и немецким математиком К. Г. Якоби во втором.

Теорема. Для того, чтобы три точки, лежащие на прямых, содержащих стороны треугольника BC, CA, AB (A", B", C" соответственно) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы середины отрезков AA", BB", CC" были бы коллинеарными.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть M, N, P – середины соответственно AA", BB", CC" соответственно, A", B", C" – середины BC, CA, AB соответственно. По свойству средней линии PAB; MBC; NCA. Также по свойству средних линий имеем: (1).

По теореме Менелая. Пользуясь (1), получаем, что, откуда A", B", C" коллинеарны по теореме Менелая.

Достаточность.

Пусть A", B", C" коллинеарны, тогда по т. Менелая (2). По свойству средних линий имеем: (3). По (2) и (3) получаем, что, т. е. по теореме Менелая A", B", C" коллинеарны.

Изучая данную тему я пришла к заключению, что данные теоремы в основном рассматривают геометрию треугольника. И многие имена остались в истории математики только благодаря этим теоремам. Геометрия треугольника – это основа всей планиметрии. Теоремы сложны в доказательствах и восприятии, но на основе этих теорем доказываются многие теоремы школьного курса планиметрии и решаются практические задачи.