Определение сходимости. Смотреть что такое "Сходимость" в других словарях

малая. Так как при font-size:14.0pt">~ (см. ), то ~ .

Учитывая это, получим:

значит, ряд расходится.

Г) font-size:14.0pt">,

следовательно, ряд расходится.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда: существует множество рядов, для которых , но которые тем не менее расходятся.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда font-size:14.0pt"> Решение. Заметим, что https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src=">, т. е. необходимое условие сходимости выполнено. Частичная сумма

left">

– раз

поэтому font-size:14.0pt">, а это значит, что ряд расходится по определению.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть . Тогда ряд font-size:14.0pt"> Признак сравнения

Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" width="55" height="60">.

Этот признак остается в силе, если неравенство https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Решение.

А) Заметим, что font-size:14.0pt"> для всех . Ряд с общим членом

Б) Сравним ряд с рядом ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> расходится, значит, данный ряд также расходится.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Предельный признак сравнения

Пусть https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле . В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-

зать, что ряд font-size:14.0pt"> .

Если , то ряд называется гармоническим . Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

Решение. а) Так как при достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, а

~ , то ~ font-size:14.0pt">сравнения с данным гармонический ряд font-size:14.0pt">, т. е. .

font-size:14.0pt"> Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Б) При достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

Font-size:14.0pt">Ряд сходится (ряд Дирихле с font-size:16.0pt">) , поэтому данный ряд также сходится.

В) , поэтому бесконечно малую font-size:14.0pt"> можно

заменить на эквивалентную ей при величину (https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">) . ;

;

;

г )

;

.

Сходимость

математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел . В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному, то есть имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции, и т. п.).

С. последовательности {an }, n = 1, 2,..., означает существование у неё конечного предела u k - конечного предела (называемого суммой ряда) у последовательности его частичных сумм b 1 b 2 ... b n - конечного предела, не равного нулю, у последовательности конечных произведений p n = b 1 b 2 ... b n , n = 1, 2,...;С. интеграла f (x ), интегрируемой по любому конечному отрезку [а, b ],- конечного предела у интегралов при b → +∝, называется несобственным интегралом (См. Несобственные интегралы)

Свойство С. тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Например, часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд

для функции sin х - в сходящийся при всех х ряд

При практических вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, который сходится «более быстро». Если даны два сходящихся ряда ∑ ∞ k=1 u k и . - их остатки, то 1-й ряд называется сходящимся быстрее 2-го ряда, если

Например, ряд

Используются и другие понятия «более быстро» сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов, то есть методы, позволяющие преобразовать данный ряд в «более быстро» сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие «более быстрой» С. и для несобственных интегралов, для которых также имеются способы улучшения их С.

Большую роль понятие С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Например, с помощью последовательных приближений метода (См. Последовательных приближении метод) можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод). Для практического нахождения приближённых решений уравнений широко используются ЭВМ.

Если изображать члены a n последовательности {a n } на числовой прямой, то С. этой последовательности к а означает, что расстояние между точками a n и а становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием n. В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для которых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (например, на последовательности векторов, матриц, функций, геометрических фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность {a n } сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей природы, в которых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство).

В математическом анализе используются различные виды С. последовательности функций {f n (x )} к функции f (x ) (на некотором множестве М). Если X 0 (из М ), то говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [например, последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций f n (x ) к f (x ) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций f n (x ) к интегралу от f (x ) и т. д.]. В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {f n (x )} называется равномерно сходящейся к f (x ) на множестве М, если

Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f (x ) и (х) по формуле

Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.

В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {f n (x )} сходится на отрезке [a, b ] в среднем квадратическом к f (x ), если

Более общо, последовательность {f n (x )} сходится в среднем с показателем р к f (x ), если

Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле

Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции φ(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций) может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к φ(х) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Например, С. по мере: для любого ε > 0 мера множества тех точек, для которых , стремится к нулю с возрастанием n", слабая С.:

для любой функции φ(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx, ... слабо сходится к нулю на отрезке [-π, π], так как для любой функции φ(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю).

Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) - так называемые банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме (так называемой сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием Упорядоченные и частично упорядоченные множества). В теории вероятностей для последовательности случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.

Ещё математики древности (Евклид, Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объёмов. Доказательством С. рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме Исчерпывания метод а. Термин «С.» в применении к рядам был введён в 1668 Дж. Грегори при исследовании некоторых способов вычисления площади круга и гиперболического сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о С. употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих с современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привело впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой теории С., а с другой - предвосхитило современную теорию суммирования (См. Суммирование) расходящихся рядов. Строгие методы исследования С. рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши , Н. Абель , К. Вейерштрасс , Б. Больцано и др.). Понятие равномерной С. было введено Дж. Стокс ом. Дальнейшие расширения понятия С. были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.