Признак лейбница примеры решения. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Определение 1

Числовой ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n-1} \, \cdot a_{n} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...,\]

где $a_{n} > 0$, называется знакочередующимся рядом.

Для установления сходимости таких рядов существует достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница)

Пусть числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ удовлетворяет условиям:

1. $u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} > 0$, т.е. этот ряд знакочередующийся;
2. члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: $\left|u_{1} \right|>\left|u_{2} \right|>\left|u_{3} \right|>...\, \, \, $ т.е. $a_{n} >a_{n+1} ,\, \, \, \, n=1,\, 2,\, ...$;
3. общий член ряда $a_{n} $ стремится к 0, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.

Тогда ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма $S\le a_{1} $.

Доказательство

1. Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка $S_{n} =S_{2m} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...+a_{2m-1} -a_{2m} $ и запишем её в виде: $S_{2m} =(a_{1} -a_{2})+(a_{3} -a_{4})+...+(a_{2m-1} -a_{2m})$. В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма $S_{2m} >0$ и последовательность $\left\{S_{2m} \right\}$ монотонно возрастает:
\

\[\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m+1} =\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } (S_{2m} +a_{2m+1})=\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m} +\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } a_{2m+1} =S.\]

Итак, при всех n (чётных или нечётных), $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =S\le a_{1} $, следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечание 1

Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера $N\in $N.

Замечание 2

Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.

Следствие

$|R_{n} |\le |a_{n+1} |$. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство

Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть $|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|$. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} =\, 1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +\ldots . \]

Решение. Обозначим $\frac{(-1)^{n-1} }{n} =u_{n} $. К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся $a_{n} =\frac{1}{n} ,\, \, \, u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$; условие 2) выполнено: $1>\frac{1}{2} >\frac{1}{3} >\frac{1}{4} >\ldots $; условие 3) также выполнено: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n} =0$. Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма $S\le a_{1} =1$.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} \, $сходится.

Пример 2

Сколько членов ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+2} }{n^{2} } \, $ необходимо взять, что бы получить сумму ряда с точностью 0,01?

Решение. Данный ряд знакопеременный и является сходящимся по теореме Лейбница. Его $n$ - ый остаток оценим по формуле

\[|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|\]

Для того что бы определ ить количество членов ряда, которые нужно взять для обеспечения неоходимой точности, необходимо решить неравенство

\[\left|R_{n} \right|\le 0,01.\]

Откуда ${(n+1)}^2>100$ или $n\ge 10$.

Из этого видно, что нужно взять не меньше десяти первых членов ряда, что бы при замене суммы ряда суммой его первых $n$ членов погрешность была меньшей 0,01.

Пример 3

Исследовать ряд

\[\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}\]

на сходимость

В общий член ряда входит множитель ${(-1)}^n$, а значит, нужно использовать признак Лейбница

1. Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно $\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}=-1+2-3+4\dots $ и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2. Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }\]

который чаще всего является очень простым.

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } n\ }=+\infty \ne 0\]

члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Вывод: ряд расходится.

Пример 4

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \frac{1}{n^{2} } =1-\frac{1}{2^{2} } +\frac{1}{3^{2} } -\frac{1}{4^{2} } +... \]

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

\ \[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n^{2} } =0\]

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2} } $ сходится по интегральному признаку. Это случай ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p} } $, где $ р = 2 > 1$.

Своим внеочередным появлением данный раздел обязан многим и многим авторам, читая труды которых так и хотелось запустить оными трудами в самих писателей. Собственно, я планировал выложить данную тему полностью лишь по мере её окончательной готовности, однако ввиду слишком большого количества вопросов по ней, изложу некоторые моменты сейчас. Впоследствии материал будет дополнен и расширен. Начнём с определений.

Ряд вида $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n>0$, называется знакочередующимся.

Знаки членов знакочередующегося ряда строго чередуются:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

Например, $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots$ - знакочередующийся ряд. Бывает, что строгое чередование знаков начинается не с первого элемента, однако для исследования на сходимость это несущественно.

Почему чередование знаков не с первого элемента является несущественным? показать\скрыть

Дело в том, что среди свойств числовых рядов есть утверждение, которое позволяет нам отбрасывать "лишние" члены ряда. Вот это свойство:

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится любой из его остатков $r_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}u_k$. Отсюда следует, что отбрасывание или добавление к некоторому ряду конечного количества членов не изменяет сходимости ряда.

Пусть нам задан некий знакочередующийся ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, и пусть для этого ряда выполнено первое условие признака Лейбница, т.е. $\lim_{n\to{\infty}}u_n=0$. Однако второе условие, т.е. $u_n≥u_{n+1}$, выполняется начиная с некоего номера $n_0\in{N}$. Если $n_0=1$, то мы получаем обычную формулировку второго условия признака Лейбница, посему ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ будет сходиться. Если же $n_0>1$, то разобьём ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ на две части. В первую часть выделим все те элементы, номера которых меньше $n_0$:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n=\sum\limits_{n=1}^{n_0-1}(-1)^{n+1}u_n+\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n $$

Для ряда $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ выполнены оба условия признака Лейбница, поэтому ряд $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$ сходится. Так как сходится остаток, то будет сходиться и исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$.

Таким образом, совершенно неважно, выполнено ли второе условие признака Лейбница, начиная с первого, или же с тысячного элемента - ряд всё равно будет сходиться.

Отмечу, что признак Лейбница является достаточным, но не необходимым условием сходимости знакочередующихся рядов. Иными словами, выполнение условий признака Лейбница гарантирует сходимость ряда, но невыполнение оных условий не гарантирует ни сходимости, ни расходимости. Разумеется, невыполнение первого условия, т.е. случай $\lim_{n\to{\infty}}u_n\neq{0}$, означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=n_0}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, однако невыполнение второго условия может произойти как для сходящегося, так и расходящегося ряда.

Так как знакочередующиеся ряды частенько встречаются в стандартных типовых расчётах, то я составил схему, по которой можно исследовать на сходимость стандартный знакочередующийся ряд.

Разумеется, можно напрямую применять признак Лейбница, минуя проверку сходимости ряда из модулей. Однако для стандартных учебных примеров проверка ряда из модулей необходима, так как большинство авторов типовых расчетов требуют не просто выяснить, сходится ряд или нет, а определить характер сходимости (условная или абсолютная). Перейдем к примерам.

Пример №1

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ на сходимость.

Для начала выясним, действительно ли данный ряд знакочередующийся. Так как $n≥1$, то $4n-1≥3>0$ и $n^2+3n≥4>0$, т.е. при всех $n\in{N}$ имеем $\frac{4n-1}{n^2+3n}>0$. Таким образом, заданный ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n$, где $u_n=\frac{4n-1}{n^2+3n}>0$, т.е. рассматриваемый ряд - знакочередующийся.

Обычно такая проверка делается устно, однако пропускать её крайне нежелательно: ошибки в типовых расчётах нередки. Часто бывает, что знаки членов заданного ряда начинают чередоваться не с первого члена ряда. В этом случае можно отбросить "мешающие" члены ряда и исследовать сходимость остатка (см. примечание в начале этой страницы).

Итак, нам задан знакочередующийся ряд. Будем следовать вышеприведённой . Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^2+3n} $$

Проверим, сходится ли составленный ряд из модулей. Применим признак сравнения . Так как при всех $n\in{N}$ имеем $4n-1=3n+n-1≥3n$ и $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$, то:

$$ \frac{4n-1}{n^2+3n}≥ \frac{3n}{4n^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{n} $$

Гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, поэтому будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{n}\right)$. Следовательно, согласно признаку сравнения ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ расходится. Обозначим $u_n=\frac{4n-1}{n^2+3n}$ и проверим, выполнены ли условия признака Лейбница для исходного знакочередующегося ряда. Найдём $\lim_{n\to{\infty}}u_n$:

$$ \lim_{n\to{\infty}}u_n =\lim_{n\to{\infty}}\frac{4n-1}{n^2+3n} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{3}{n}} =0. $$

Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. Немалое количество авторов предпочитает записать несколько первых членов ряда, а затем сделать вывод, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполнено.

Иными словами, это "доказательство" для данного ряда имело бы такой вид: $\frac{2}{3}≤\frac{5}{8}≤\frac{8}{15}≤\ldots$. После сравнения нескольких первых членов делается вывод: для остальных членов неравенство сохранится, каждый последующий будет не более предыдущего. Откуда взялся этот "метод доказательства" я не знаю, но он ошибочен. Например, для последовательности $v_n=\frac{10^n}{n!}$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.

Как же доказать неравенство $u_n≥u_{n+1}$? В общем случае для этого есть несколько способов. Самый простой в нашем случае - рассмотреть разность $u_n-u_{n+1}$ и выяснить её знак. В следующем примере рассмотрим иной способ: посредством доказательства убывания соответствующей функции.

$$ u_n-u_{n+1} =\frac{4n-1}{n^2+3n}-\frac{4(n+1)-1}{(n+1)^2+3(n+1)} =\frac{4n-1}{n^2+3n}-\frac{4n+3}{n^2+5n+4}=\\ =\frac{(4n-1)\cdot\left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3)}{\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right)} =\frac{4n^2+2n-4}{\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right)}. $$

Так как $n≥1$, то $4n^2-4≥0$, откуда имеем $4n^2+2n-4>0$, т.е. $u_n-u_{n+1}>0$, $u_n>u_{n+1}$. Бывает, конечно, что неравенство $u_n≥u_{n+1}$ выполняется не с первого члена ряда, однако это несущественно (см. в начале страницы).

Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены. Так как при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}\right|$ расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ сходится условно.

Ответ : ряд сходится условно.

Пример №2

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ на сходимость.

Для начала рассмотрим выражение $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$. Стоит произвести небольшую проверку корректности условия. Дело в том, что очень часто в условиях стандартных типовых расчётов можно встретить ошибки, когда подкоренное выражение является отрицательным, или же в знаменателе при некоторых значениях $n$ появляется ноль.

Дабы избежать таких неприятностей, произведём простенькое предварительное исследование. Так как при $n≥1$ имеем $2n^3≥2$, то $2n^3-1≥1$, т.е. выражение под корнем не может быть отрицательным или равняться нулю. Следовательно, условие вполне корректно. Выражение $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ определено при всех $n≥1$.

Добавлю, что при $n≥1$ верно неравенство $\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}>0$, т.е. нам задан знакочередующийся ряд. Будем исследовать его согласно вышеприведённой . Для начала составим ряд из модулей членов данного ряда:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}} $$

Проверим, сходится ли ряд, составленный из модулей членов заданного ряда. Применим признак сравнения . В решении предыдущего примера мы применяли первый признак сравнения. Здесь же, сугубо для разнообразия, применим второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Сравним ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ с расходящимся рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5n\sqrt{n}-4\sqrt{n}}{\sqrt{2n^3-1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{5n\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}-\frac{4\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{2n^3-1}{n^3}}} \lim_{n\to\infty}\frac{5-\frac{4}{n}}{\sqrt{2-\frac{1}{n^3}}} =\frac{5}{\sqrt{2}}. $$

Так как $\frac{5}{\sqrt{2}}\neq{0}$ и $\frac{5}{\sqrt{2}}\neq\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$.

Итак, абсолютной сходимости заданный знакочередующийся ряд не имеет. Обозначим $u_n=\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ и проверим, выполнены ли условия признака Лейбница. Найдём $\lim_{n\to{\infty}}u_n$:

$$ \lim_{n\to{\infty}}u_n =\lim_{n\to{\infty}}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{5n}{n^{\frac{3}{2}}}-\frac{4}{n^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{\frac{2n^3-1}{n^3}}} =\lim_{n\to{\infty}}\frac{\frac{5}{\sqrt{n}}-\frac{4}{n^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{2-\frac{1}{n^3}}} =0. $$

Первое условие признака Лейбница выполнено. Теперь нужно выяснить, выполнено ли неравенство $u_n≥u_{n+1}$. В прошлом примере мы рассмотрели один из способов доказательства этого неравенства: посредством выяснения знака разности $u_n-u_{n+1}$. В этот раз обратимся к иному способу: вместо $u_n=\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}$ рассмотрим функцию $y(x)=\frac{5x-4}{\sqrt{2x^3-1}}$ при условии $x≥1$. Отмечу, что поведение данной функции при условии $x<1$ нам совершенно безразлично.

Наша цель состоит в том, чтобы доказать невозрастание (или убывание) функции $y(x)$. Если мы докажем, что функция $y(x)$ является невозрастающей, то для всех значений $x_2>x_1$ будем иметь $y(x_1)≥y(x_2)$. Полагая $x_1=n$ и $x_2=n+1$ получим, что из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)≥y(n+1)$. Так как $y(n)=u_n$, то неравенство $y(n)≥y(n+1)$ есть то же самое, что и $u_{n}≥u_{n+1}$.

Если же мы покажем, что $y(x)$ - убывающая функция, то из неравенства $n+1>n$ последует истинность неравенства $y(n)>y(n+1)$, т.е. $u_{n}>u_{n+1}$.

Найдём производную $y"(x)$ и выясним её знак для соответствующих значений $x$.

$$ y"(x)=\frac{(5x-4)"\cdot\sqrt{2x^3-1}-(5x-4)\cdot\left(\sqrt{2x^3-1}\right)"}{\left(\sqrt{2x^3-1}\right)^2} =\frac{5\cdot\sqrt{2x^3-1}-(5x-4)\cdot\frac{1}{2\sqrt{2x^3-1}}\cdot{6x^2}}{2x^3-1}=\\ =\frac{5\cdot\left(2x^3-1\right)-(5x-4)\cdot{3x^2}}{\left(2x^3-1\right)^{\frac{3}{2}}} =\frac{-5x^3+12x^2-5}{\left(2x^3-1\right)^{\frac{3}{2}}} $$

Полагаю, очевидно, что при достаточно больших положительных значениях $x≥1$ многочлен в знаменателе будет меньше нуля, т.е. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

Однако давайте подойдём к вопросу менее формально. Дабы не привлекать лишних лемм из алгебры, просто грубо оценим значение выражения $-5x^3+12x^2-5$. Учтём $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. При $x≥3$ имеем $-5x+12<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

Таким образом, при $x≥3$ имеем $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_{n+1}$, т.е. второе условие признака Лейбница выполнено. Разумеется, мы показали выполнение второго условия не с $n=1$, а с $n=3$, но это несущественно (см. в начале страницы).

Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены. Так как при этом ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{5n-4}{\sqrt{2n^3-1}}\right|$ расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4n-1}{n^2+3n}$ сходится условно.

Ответ : ряд сходится условно.

Пример №3

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ на сходимость.

Данный пример не представляет большого интереса, поэтому я распишу его коротко. Нам задан знакочередующийся ряд, который вновь станем исследовать по . Составим ряд из модулей членов данного ряда:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n} $$

Применим признак Д"Аламбера . Обозначая $u_n=\frac{3n+4}{2^n}$, получим $u_{n+1}=\frac{3n+7}{2^{n+1}}$.

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+7}{2^{n+1}}}{\frac{3n+4}{2^n}} =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{3n+7}{3n+4} =\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{7}{n}}{3+\frac{4}{n}} =\frac{1}{2}\cdot{1}=\frac{1}{2}. $$

Так как $\frac{1}{2}<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

Отмечу, что для решения заданного примера нам не потребовался признак Лейбница. Именно поэтому удобно сперва проверить сходимость ряда из модулей, а потом уже, при необходимости, исследовать сходимость исходного знакочередующегося ряда.

Ответ : ряд сходится абсолютно.

Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны . Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.

Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.

Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2 .

А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.

Допустим, мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с положительным знаком, как это и имеет место в приведённом выше примере. Тогда минус единица должна быть в степени n − 1 . Начните подставлять в это выражение числа начиная с единицы и вы получите в качестве показателя степени при минус единице то чётное, то нечётное число. Это и есть необходимое условие чередования знаков! Такой же результат получим при n + 1 . Если же мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с отрицательным знаком, то можем задать этот ряд умножением функции общего члена на единицу в степени n . Получим то чётное, то нечётное число и так далее. Как видим, уже описанное условие чередования знаков выполнено.

Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:

Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n , 5n , ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n , умноженного на любое нечётное число и любого числа.

Какие степени при минус единице не обеспечивают чередование знаков членов ряда? Те, которые присутствуют в виде n , умноженного на любое чётное число, к которому прибавлено любое число, включая нуль, чётное или нечётное. Примеры показателей таких степеней: 2n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... В случае таких степеней в зависимости от того, с каким числом складывается "эн", умноженное на чётное число, получаются или только чётные, или только нечётные числа, что, как мы уже выяснили, не даёт чередования знаков членов ряда.

Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов . Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков , то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Далее рассмотрим признаки сходимости знакочередующихся и знакопеременных рядов. Условную сходимость знакочередующихся рядов можно установить при помощи признака Лейбница. А для более широкого круга рядов - знакопеременных (в том числе и знакочередующихся) - действует признак абсолютной сходимости.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:

• абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u 1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ... ;
• предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.

Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :

, .

Если N = 1 , то для всех n > N выполняется неравенство 12n − 7 > n . В свою очередь для каждого n . Поэтому , то есть члены ряда по абсолютному значению убывают. Найдём предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя ):

Предел общего члена равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ответ на вопрос о сходимости - положительный.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы

Мы убедились, что требование выполняется для всех n > 0 . Первый признак Лейбница выполняется. Найдём предел общего члена ряда:

.

Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница.

Требование выполняется для всех n > 1 . Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как

,

Так как n ≥ 0 , то 3n + 2 > 0 . В свою очередь, для каждого n , поэтому . Следовательно, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

.

Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда . Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся .

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.

Пример 7. Установить, сходится ли ряд

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд , в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Напишем абсолютные значения первых пяти членов ряда:

.

Как видим, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются. То есть по признаку Лейбница сходимость имеет место быть. А соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 8. Установить, сходится ли ряд

абсолютно, условно, или расходится.

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд, в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е.
, то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

.

Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

Знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
. Члены ряда монотонно убывают и
. Теперь исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера:
. Ряд сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

По теореме Лейбница
. Ряд сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, имеет вид
. По признаку Даламбера получим
. Ряд сходится, значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :

f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….

Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:

f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)

который называется функциональным рядом .

Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае функциональным рядом является ряд:

который называется степенным рядом , где
постоянные числа, называемыекоэффициентами членов степенного ряда .

Степенной ряд может быть записан и в такой форме:

где
некоторое постоянное число.

При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение (1 способ) .

Применим признак Даламбера.

Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.

По признаку Даламбера ряд сходится, если
и
.

Т.е. ряд сходится, если < 1, откуда
или-3< x <3.

Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).

В крайних точках интервала x =
, будем иметь
.

В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

x = -3 ,

Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
Следовательно, ряд в точкеx = -3 сходится.

x = 3,

Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.

Ответ:

Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:

, где и
коэффициентыи
членов ряда.

Для данного ряда имеем:

. R =3.

ряд сходится

Интервал сходимости ряда: -3< x <3.

Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x =
.

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда
более рационален.

Пример 2.

Найти область сходимости степенного ряда:
.

Найдем R – радиус сходимости ряда.

,
,
.

.
.

Интервал сходимости ряда (-;).

Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .

x = - ,

Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
, следовательно, ряд в точкеx = -сходится.

x = ,
.

Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.

Здесь
:

, члены ряда
монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ: [-;) – область сходимости ряда.

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 - u 2)+(u 3 - u 4)+…+(u 2 n -1 - u 2 n ).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 - u 3)+(u 4 - u 5)+…+(u 2 n -2 - u 2 n -1)+ u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n →∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 = S + 0= S . Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n+1 =

u n =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n > u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n > u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n > u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Теорема 10 . (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

u 1 + u 2 +…+ u n +…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u 1 │+│ u 2 │+…+│ u n │+…= │ u n │.(21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство . Рассмотрим вспомогательный ряд

(u 1 +│u 1 │)+(u 2 +│u 2 │)+…+(u n +│u n │)+…= (u n +│u n │).(22)

Очевидно, 0≤ u n +│u n │≤2│u n │ при всех n =1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u n │, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈S n . Точность этого равенства возрастает с увеличением n .

Определение 7 . Если числовой ряд сходится, то разность R n =S -S n называется n -м остатком ряда.

Таким образом, R n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R n = u n+1 +u n+2 +… .

Заметим, что R n = (S-S n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S n равна |R n |=| S - S n |. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R n |< E . Однако в общем случае находить точно R n не удаётся.

Теорема 11. (о б оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство . Пусть ряд u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+(-1) n -1. u n +… сходится по признаку Лейбница. Тогда n S ≈1-0,166≈0,84.