Развитие железнодорожного транспорта, модернизация промышленности, освобождение деревни от крепостной повинности - те факторы, которые обусловили значительный рост городов в конце 19 века. Самыми большими населенными пунктами на то время считались Москва, Тула, Ростов-на-Дону, Петербург, Казань, Одесса.

Новым для всех городов было появление больших рабочих окраин, где возводились промышленные предприятия и селились рабочие. Некоторые города (Петербург, Москва, Тула, Ярославль, Коломна, Кунгур и др.) выделялись большим количеством промышленных заведений. В промышленности происходила конкуренция между крепостным трудом и вольнонаемным. Первый использовался на старых уральских заводах, переживавших с конца 18 в. затяжной кризис, и в помещичьих мануфактурах. Второй применялся на мелких, но быстро развивавшихся предприятиях, которые открывали купцы, мещане и разбогатевшие крестьяне

С ростом уровня урбанизации, главной проблемой русских городов конца 19 века, был дефицит жилья. Собственные квартиры в промышленных городах могли приобрести только состоятельные граждане. Около 5% населения города обитало в подвалах и мансардах, где зачастую даже не было отопления.

Преобразовывалось городское коммунальное хозяйство. Улицы мостились булыжником и брусчаткой, появились асфальтовые тротуары. В этот период на городских улицах впервые появляется газовое освещение. К концу 1892 года, в Москве устанавливаются первые электрические фонари. В середине 60 -х годов были установлены первые водопроводы в больших городах, позднее для горожан стала доступная и канализация.

Рост деловой жизни привел к бурному развитию средств связи. В начале 80- х годов, русские города приобрели возможность пользования первой внутренней телефонной линией, уже через несколько лет стали возможными междугородние переговоры. Улучшался внутригородской транспорт.

Население городов составлялось из представителей всех сословий: дворянство, купцы, рабочие и бывшие крестьяне, которые постепенно ассимилировались с трудящимися фабрик и заводов. Характерным для этого периода является то, что уровень жизни среднего класса не был однородным, труд рабочих, имеющих квалификацию, достойно оплачивался.

Со временем такие представители пролетариата становились интеллигенцией, так как кроме качественной пищи и достойного жилья, могли позволить себе разнообразный досуг- походы в театр и библиотеки, а также обеспечивать образованием своих детей. Отмена крепостной зависимости основной массы населения объективно увеличивала социальные возможности для получения образования более широких слоев

Во второй половине 19 века, появляется новое сословие буржуазии, третье поколение первых торгово-промышленных династий, образ жизни и образование которых, фактически позволяли приравнивать их к дворянской элите.

В городе каждое сословие проживало в особой его части. В центре столичных и крупных губернских городов располагались большие барские особняки -- дворцы в стиле ампир. Здесь же на главных улицах и в примыкающих к ним переулках было много небольших, по большей части деревянных дворянских особняков. Они напоминали собой такие же барские дома в деревенских помещичьих усадьбах.

К дворянским кварталам примыкали купеческие. Они тянулись, как правило, по берегу реки. Здесь, в глубине просторных яблоневых садов, стояли крепкие двух-, иногда и трехэтажные особняки. Первый этаж обычно занимала прислуга. На втором этаже размещались нежилые, парадные комнаты.

В этой части города еще царили старинные нравы и долго держался твердый семейный уклад. Когда глава семьи -- "сам", или тятенька, возвращался домой из своей лавки, он требовал, чтобы вся семья собиралась на ранний ужин. Тятенька восседал во главе стола. Пища была добротной и сытной: мясные наваристые щи, жареный гусь или утка с кашей, рыба (белуга, осетрина, навага). Пили много чая с собственным вареньем разных сортов, калачами, пирогами и пряниками.

С 90-х гг. богатое столичное купечество постепенно перебирается в бывшие барские усадьбы, строит затейливые особняки по проектам знаменитых архитекторов, щеголяет породистыми рысаками. По своему внешнему облику оно ничем не отличается от богатого барства. Купеческие жены выписывали свои туалеты из Парижа, ездили отдыхать на модные курорты за рубеж.

Часто устраивали званые обеды: в центре внимания был огромный стол, накрытый белоснежной скатертью и украшенный живыми цветами. Он ломился от изысканных закусок и графинов с разноцветными водками и винами. Посередине стола на серебряных длинных блюдах лежали семга и лососина, сбоку -- сверкающий хрустальный жбан со свежей икрой. На другом конце стола стояли блюда с огромным окороком и красными лангустами. В каждом купеческом доме были свои фирменные блюда. Для обслуживания гостей приглашались повара и официанты из самых дорогих ресторанов, знаменитые оркестры; цветы для дам выписывались из Ниццы.

Верхушка городской интеллигенции -- университетские профессора, богатые адвокаты и врачи, известные артисты и т. д., а также крупные и средние чиновники, как правило, собственных домов не имели. Они покупали или арендовали на длительный срок хорошие многокомнатные квартиры в престижных городских кварталах. По обстановке такие квартиры практически не отличались от богатых дворянских покоев. Но центрами такого типа жилищ являлись не парадные комнаты, а просторные рабочие кабинеты и библиотеки.

Жители городов окончательно перешли на одежду европейского покроя, которая отвечала требованиям удобства и практичности, выдвинутым новым временем. С середины 50-х гг. обязательной частью мужской одежды стала "визитка" -- разновидность длинного приталенного сюртука. Ее носили с брюками из черной ткани в серую полоску. С 60-х гг. в моду вошел прямой пиджак, скрывающий фигуру.

По окраинам губернских городов селилось мелкое купечество, мещане, бедные чиновники и т. д. Они жили в деревянных одноэтажных строениях с двором и садиком. Улицы русских уездных городов почти сплошь состояли из таких домов. Внутренняя обстановка жилищ была непритязательна и однообразна.

В пригородах -- слободах -- жили извозчики, мелкие ремесленники, огородники. В слободах сохранялся старинный уклад жизни. Вставали очень рано: мужчины шли пить чай в трактир, а женщины завтракали дома. Обедали тоже рано, в двенадцать часов. Потом все оставшиеся дома ложились спать, а часа в два снова начиналась жизнь. Ужинали часов в восемь и зимой тотчас же ложились спать; летом спать ложились около одиннадцати. По субботам ходили в баню.

В праздники пекли пироги. Обязательным было посещение церковной службы в дни храмовых праздников. К обедне шли всей семьей. Мужчины -- в поддевках и длиннополых сюртуках, в добротных сапогах, намазав волосы коровьим маслом. Жены -- в косыночках на головах и в красочных шалях на плечах. Дочки щеголяли в шелковых платьях, в шляпках с белыми перышками, в высоких ботинках на каблучках.

На рабочих окраинах была своя жизнь. Уровень доходов рабочих был таков, что они, как правило, не могли подражать средним слоям общества. В одежде рабочих сочетались городские и деревенские черты. Мужчины поверх деревенской рубахи носили пиджаки. Головным убором чаще всего был картуз с лаковым козырьком. На смену сапогам пришли ботинки. Женщины отдавали предпочтение ярким ситцевым платьям с узким верхом, воротничком-стойкой и широкой юбкой. На ногах носили кожаные ботинки.

Нередко рабочие были на "харчах" у своего хозяина. Ели из общей деревянной чашки деревянными ложками. За едой следил специальный староста по столу. Он распределял по мискам мясо и давал сигнал, когда можно было начинать еду. Поглощение пищи происходило по принципу "кто смел, тот два съел". Рабочие редко могли позволить себе пообедать в трактире или в специальной столовой, где за 10--15 копеек можно было съесть сайку или калач с горячей ветчиной или сосисками, а в посты -- белугу или осетрину с хреном.

В местах скопления мастерового люда сновали лоточники, торговавшие дешевой снедью -- горячими кишками, начиненными гречневой кашей и обжаренными в бараньем сале. В посты торговцы выходили с гороховым киселем, застывшим в лотках. С лотков продавались и гречневики, выпекавшиеся из гречневой муки в особых глиняных формочках -- столбиках. На копейку торговец отпускал пару гречневиков. Он разрезал их вдоль и из бутылочки с постным маслом, заткнутой пробкой, сквозь которую было пропущено гусиное перо, поливал внутренность гречневика маслом и посыпал солью. В посты было много торговцев блинами. Их выносили из пекарни горячими, наложенными стопками на небольшие ручные лоточки.

Общественная жизнь среди купечества была мало развита. Купцы, кроме своих лавок и амбаров, трактиров и ресторанов, почти не появлялись в общественных местах, а потому купеческие сынки и дочки, нравственность которых строго охранялась стариками, не могли встречаться и знакомиться друг с другом в общественных местах, поэтому-то в Москве и существовал чуть не целый класс людей, специально занимающихся сватовством.

Свахи, реже сваты, только тем и жили, что ходили по домам, где были женихи и невесты; они узнавали всю подноготную и сватали молодых людей друг у друга...

Деловой разговор они вели только с отцами и матерями женихов и невест, которых родители часто не спрашивали, хотят они жениться и выходить замуж, -- главное заключалось в равенстве положения и в приданом.

Если та и другая сторона находили партию подходящей, то сватовство сразу же принимало деловой характер и сваха приносила в дом жениха роспись приданого за невестой. Каждая роспись, по традиции, начиналась такими словами: "Роспись приданого. В первую очередь -- Божье благословение: иконостас с тремя иконами в серебряных вызолоченных ризах и к ним серебряная лампада..."

Дальше шло описание золотых, серебряных, бриллиантовых и жемчужных вещей, зимних шуб, причем подробно описывалось, на каком меху, с каким воротником и чем покрыта каждая шуба, сколько бархатных, шелковых, шерстяных и ситцевых платьев, какая мебель, сундуки; подробно описывалось белье, число дюжин простынь, наволочек, одеял, сорочек, вплоть до носовых платков.

Роспись рассматривалась, обсуждалась, происходила буквально торговля: покупатель выторговывал, а продавец твердо держал свою цену.

Наконец дело с приданым слаживалось, и сватовство шло дальше -- назначались смотрины, где жених знакомился с невестой..

В крупных городах существовали районы, в которых ютилась самая беспросветная беднота. В Москве это была Хитровка. Здесь в многочисленных притонах и ночлежных домах обитали "лишние люди", неудачники, преступники и пропойцы. Питались здешние обитатели кухонными отбросами, распаренными в кипятке.

В 70-х гг. в обычай горожан даже среднего достатка стали входить завтраки и обеды в трактирах и ресторанах. Там же проводились деловые встречи, совершались сделки. Особенно славилась трактирами Москва. В московских трактирах подавали только русские блюда: заливных поросят, суточные щи с кашей, уху, рассольники, отбивные телячьи котлеты, осетрину, пожарские котлеты, блины, гурьевскую кашу, расстегаи, подовые пироги. Трактирные порции были огромных размеров при очень умеренной цене. По вечерам состоятельная публика посещала рестораны. Там процветала изысканная французская кухня, гостей развлекали цыганские хоры.

К числу публичных увеселений относились маскарады. Зимними вечерами горожане посещали театры. Существовали различные виды театров. По-прежнему широко были распространены крепостные театры, принадлежавшие русским аристократическим фамилиям (Шереметевым, Апраксиным, Юсуповым и др.). Государственных театров было немного (Александрийский и Мариинский в Петербурге, Большой и Малый в Москве). Они находились под мелочной опекой администрации, которая постоянно вмешивалась в репертуар и подбор актеров. Это тормозило театральное творчество. Начали появляться частные театры, которые, то разрешались, то запрещались властями. Знать и богатое купечество откупали в театрах постоянные ложи. Дамы одевались в театр очень парадно, сопровождавшие их кавалеры были во фраках. На балконе собиралась публика попроще, а галерку занимали обычно студенты, которые громкими криками и бурными аплодисментами поддерживали любимых артистов. Театр активно реагировал на события в стране, поэтому война 1812 г. не могла пройти мимо служителей Мельпомены. Патриотический репертуар тех лет составляли героические оперы, трагедии, веселые комедии, высмеивающие французоманию. Патриотические дивертисменты на народные темы включали русские танцы. Музыку к ним писали русские композиторы.

Особое внимание уделялось охоте. Она была стилем жизни дворян, когда они получили право на отставку и переселились в свои усадьбы. Это было развлечение, азартная игра, вид спорта, который был под стать только богатому дворянину: охота требовала приобретения и разведения дорогих пород собак, специально обученных слуг, свиты и участников мероприятия, которых надо было всех хорошо принять и держать в своем доме. В охоту вкладывался огромный труд крепостных -- изобретательных и талантливых умельцев своего дела.

Также популярностью пользовались скачки и бега.

У простого люда были свои развлечения. В дни храмовых праздников устраивались увеселения. Особенно веселыми были неделя на Масленицу и пасхальные дни. На свободных городских пространствах строились временные дощатые балаганы, тут же раскидывались торговые палатки с пряниками, орехами, блинами и пирогами, сооружались карусели, гремели духовые оркестры, наигрывали шарманщики.

Не забыты были и старинные игры: орлянка, городки и хороводы. Женщины, пока мужчины сидели в трактирах, собирали дома посиделки и вечеринки. На фабричных окраинах устраивались кулачные бои. Обычно стенка на стенку сходились между собой рабочие двух фабрик. Стенка планировалась заранее. Ее ход и состав участников обсуждались в фабричном трактире на "военном совете". В некоторых городах устраивались петушиные бои.

Уравнение Шрёдингера названо в честь австрийского физика Эрвина Шрёдингера (E. Schrödinger). Это основной теоретический инструмент квантовой механики. В квантовой механике уравнение Шрёдингера играет такую же роль, как уравнение движения (второй закон Ньютона) в механике классической. Уравнение Шрёдингера записывается для так называемой y - функции (пси - функции). В общем случае пси - функция – это функция координат и времени: y = y (x,y,z,t ). Если микрочастица находится в стационарном состоянии, то пси - функция не зависит от времени: y = y (x,y,z ).

В простейшем случае одномерного движения микрочастицы (например, только по оси x ) уравнение Шрёдингера имеет вид:

где y (x) – пси - функция, зависящая только от одной координаты x ; m – масса частицы; - постоянная Планка (=h/2π ); E – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия. В классической физике величина (E –U ) равнялась бы кинетической энергии частицы. В квантовой механике вследствие соотношения неопределенностей понятие кинетической энергии лишено смысла. Заметим, что потенциальная энергия U – это характеристика внешнего силового поля , в котором движется частица. Это величина вполне определенная. Она также является функцией координат, в данном случае U = U (x,y,z).

В трехмерном случае, когда y = y (x,y,z), вместо первого слагаемого в уравнении Шрёдингера следует записать сумму трех частных производных от пси-функции по трем координатам.

Для чего применяется уравнение Шрёдингера? Как уже отмечалось, это основное уравнение квантовой механики. Если его записать и решить (что вообще не простая задача) для конкретной микрочастицы, то мы получим значение пси-функции в любой точке пространства, в котором движется частица. Что это дает? Квадрат модуля пси-функции характеризуетвероятность обнаружения частицы в той или иной области пространства. Возьмем некоторую точку в пространстве с координатами x , y , z (рис.6). Какова вероятность обнаружить частицу в этой точке? Ответ: эта вероятность равна нулю! (точка не имеет размеров, попасть в точку частица просто физически не может). Значит, вопрос поставлен некорректно. Поставим его иначе: какова вероятность обнаружить частицу в малой области пространства объемом dV = dx dy dz с центром в выбранной точке? Ответ:

где dP – элементарная вероятность обнаружить частицу в элементарном объеме dV . Уравнение (22) справедливо для действительной пси-функции (она может быть и комплексной, в этом случае в уравнение (22) надо подставлять квадрат модуля пси-функции). Если область пространства имеет конечный объем V , то вероятность P обнаружить частицу в этом объеме находится интегрированием выражения (22) по объему V :

Напомним, что вероятностное описание движения микрочастиц – основная идея квантовой механики. Таким образом, с помощью уравнения Шрёдингера решается основная задача квантовой механики: описание движения исследуемого объекта, в данном случае квантово-механической частицы.

Отметим еще ряд важных обстоятельств. Как видно из формулы (21), уравнение Шрёдингера является дифференциальным уравнением второго порядка. Следовательно, в процессе его решения появятся две произвольные постоянные. Как их найти? Для этого используют так называемые граничные условия : из конкретного содержания физической задачи должно быть известно значение пси-функции на границах области движения микрочастицы. Кроме того, используется так называемое условие нормировки , которому должна удовлетворять пси-функция:

Смысл этого условия прост: вероятность обнаружить частицу хоть где-нибудь внутри области ее движения есть достоверное событие, вероятность которого равна единице.

Именно граничные условия наполняют решение уравнения Шрёдингера физическим смыслом. Без этих условий решение уравнения есть чисто математическая задача, лишенная физического смысла. В следующем разделе на конкретном примере рассмотрено применение граничных условий и условия нормировки при решении уравнения Шрёдингера.

Пси-функция

Волнова́я фу́нкция (функция состояния , пси-функция , амплитуда вероятности ) - комплекснозначная функция , используемая вквантовой механике для вероятностного описания состоянияквантовомеханической системы . В широком смысле - то же самое, что и вектор состояния .

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени равна квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния.

Физический смысл квадрата модуля волновой функции

Волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы и, в общем случае, от времени, и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров - просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объема : .

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции , представляет собой полный набор физических величин , которые можно измерить в системе. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов величин, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяетпредставление волновой функции . Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импуль с .

Обще уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. 5 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами x и x+dx, y иy+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера,как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где h=h/(2π), m-масса частицы, ∆ -оператор Лапласа (),

i - мнимая единица, U (х, у, z, t) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

должны быть непрерывны; 3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)

Или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что ω = E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |Ψ| 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

,

; (217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом p (E = p 2 /(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U= 0 (ми рассматривали свободную частицу).

Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения используя взаимосвязь между Еи р (для данного случая р 2 /(2m)=E -U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящем от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состоянии - состоянии с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U(х, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем

,

где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель е – i (E/ h) t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ψ:

(217.5)

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобственными. Решения же, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называютсясобственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ| 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме ΔV, т. е. в области с координатами х и х + dх, у и у + dу, z и z + dz .

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером . Уравнение Шрёдингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Общее уравнение Шредингера имеет вид:

где ? = h / (2π ), m - масса частицы, Δ - оператор Лапласа , i - мнимая единица, U (x, y, z, t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x, y, z, t ) - искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ «с.

Оно дополняется условиями , накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Ψ| 2 должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей).

Уравнение (1) называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Дли многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U (х, у , z ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций : вол новые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными.

Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственнымифункциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

. (1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.

Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид:

Ψ (0) = Ψ (l ) = 0. (2)

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению:

или . (3)

где k 2 = 2mE / ? 2 . (4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Ψ (x ) = A sin kx + B cos kx .

Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда

Ψ (x ) = A sin kx . (5)

Условие Ψ (l ) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ , где n - целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k = nπ / l . (6)

Из выражений (4) и (6) следует, что:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е п, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е п частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е п называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е п, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

.

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная ‌‌‌‌‌‌ Ψ n (x )‌ 2 = Ψ n (x )·Ψ n * (x ) для п = 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

Например, для электрона при размерах ямы l = 10 -1 м (свободные электроны в металле), ΔЕ n ≈ 10 -35 ·n Дж ≈ 10 -1 6 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 -10 м), то для электрона ΔЕ n ≈ 10 -17 n Дж ≈ 10 2 n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π 2 ? 2 /(2т1 2 ). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l .

Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l . Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Е min ≈ (Δp ) 2 / (2m ) = ? 2 / (2ml 2 ). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n »1) ΔЕ n / E п ≈ 2/п «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность - сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Сделаем рисунок

В нашей задаче функция U(x) имеет особый, разрывный вид: она равна нулю между стенками, а на краях ямы (на стенках) обращается в бесконечность:

Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц в точках расположенных между стенками:

или, если учесть формулу (1.1)

К уравнению (1.3) необходимо добавить граничные условия на стенках ямы. Примем во внимание, что волновая функция связана с вероятностью нахождения частиц. Кроме того, по условиям задачи за пределами стенок частица не может быть обнаружена. Тогда волновая функция на стенках и за их пределами должна обращаться в нуль, и граничные условия задачи принимают простой вид:

Теперь приступим к решению уравнения (1.3) . В частности, можно учесть, что его решением являются волны де-Бройля. Но одна волна де-Бройля как решение, к нашей задаче явно не относится, так как она заведомо описывает свободную частицу, «бегущую» в одном направлении. У нас же частица бегает «туда-сюда» между стенками. В таком случае на основании принципа суперпозиции искомое решение можно попытаться представить в виде двух волн де-Бройля, бегущих друг другу навстречу с импульсами p и -p, то есть в виде:

Постоянные и можно найти из одного из граничных условий и условия нормировки. Последнее говорит о том, что если сложить все вероятности, то есть найти вероятность обнаружения электрона между стенками вообще в (любом месте), то получится единица (вероятность достоверного события равна 1), т.е.:

Согласно первому граничному условию имеем:

Таким образом, получим решение нашей задачи:

Как известно, . Поэтому найденное решение можно переписать в виде:

Постоянная А определяется из условия нормировки. Но здесь не она представляет особый интерес. Осталось неиспользованным второе граничное условие. Какой результат оно позволяет получить? Применительно к найденному решению (1.5) оно приводит к уравнению:

Из него видим, что в нашей задаче импульс p может принимать не любые значения, а только значения

Кстати, n не может равняться нулю, так как волновая функция тогда бы всюду на промежутке (0…l) равнялась нулю! Это означает, что частица между стенками не может находиться в покое! Она обязательно должна двигаться. В аналогичных условиях находятся электроны проводимости в металле. Полученный вывод распространяется и на них: электроны в металле не могут быть неподвижными.

Наименьший возможный импульс движущегося электрона равен

Мы указали, что импульс электрона при отражении от стенок меняет знак. Поэтому на вопрос, каков импульс у электрона, когда он заперт между стенками, определённо ответить нельзя: то ли +p, то ли -p. Импульс неопределённый. Его степень неопределённости, очевидно, определяется так: =p-(-p)=2p. Неопределённость же координаты равна l; если попытаться «поймать» электрон, то он будет обнаружен в пределах между стенками, но где точно — неизвестно. Поскольку наименьшее значение p равно , то получаем:

Мы подтвердили соотношение Гейзенберга в условиях нашей задачи, то есть при условии существования наименьшего значения p. Если же иметь в виду произвольно-возможное значение импульса, то соотношение неопределённости получает следующий вид:

Это означает, что исходный постулат Гейзенберга-Боpа о неопределённости и устанавливает лишь нижнюю границу неопределенностей, возможную при измерениях. Если в начале движения система была наделена минимальными неопределённостями, то с течением времени они могут расти.

Однако формула (1.6) указывает и на другой чрезвычайно интересный вывод: оказывается, импульс системы в квантовой механике не всегда в состоянии изменяться непрерывно (как это всегда имеет место в классической механике). Спектр импульса частицы в нашем примере дискретный, импульс частицы между стенками может изменяться только скачками (квантами). Величина скачка в рассмотренной задаче постоянна и равна .

На рис. 2. наглядно изображён спектр возможных значений импульса частицы. Таким образом, дискретность изменения механических величин, совершенно чуждая классической механике, в квантовой механике вытекает из ее математического аппарата. На вопрос, почему импульс изменяется скачками, наглядного найти нельзя. Таковы законы квантовой механики; наш вывод вытекает из них логически — в этом все объяснение.

Обратимся теперь к энергии частицы. Энергия связана с импульсом формулой (1). Если спектр импульса дискретный, то автоматически получается, что и спектр значений энергии частицы между стенками дискретный. И он находится элементарно. Если возможные значения согласно формуле (1.6) подставить в формулу (1.1), получим:

где n = 1, 2,…, и называется квантовым числом.

Таким образом, мы получили энергетические уровни.

Рис. 3 изображает расположение энергетических уровней, соответствующее условиям нашей задачи. Ясно, что для другой задачи расположение энергетических уровней будет иным. Если частица является заряженной (например, это электрон), то, находясь не на низшем энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно излучать свет (в виде фотона). При этом она перейдёт на более низкий энергетический уровень в соответствии с условием:

Волновые функции для каждого стационарного состояния в нашей задаче представляют собой синусоиды, нулевые значения которых обязательно попадают на стенки. Две такие волновые функции для n = 1,2 изображены на рис. 1.