Теорема геделя где независимая переменная. Вопрос о существовании бога и теорема Гёделя. Для математиков и логиков. Формальная арифметика и ее свойства

Одной из самых известных теорем математической логики, повезло и не повезло одновременно. В этом она похожа на специальную теорию относительности Эйнштейна. С одной стороны, почти все о них что-то слышали. С другой - в народной интерпретации теория Эйнштейна, как известно, «говорит, что всё в мире относительно» . А теорема Гёделя о неполноте (далее просто ТГН), в примерно столь же вольной фолк-формулировке, «доказывает, что есть вещи, непостижимые для человеческого разума» . И вот одни пытаются приспособить её в качестве аргумента против материализма , а другие, напротив, доказывают с её помощью, что бога нет . Забавно не только то, что обе стороны не могут оказаться правыми одновременно, но и то, что ни те, ни другие не удосуживаются разобраться, что же, собственно, эта теорема утверждает.

Итак, что же? Ниже я попытаюсь «на пальцах» рассказать об этом. Изложение моё будет, разумеется нестрогим и интуитивным, но я попрошу математиков не судить меня строго. Возможно, что для нематематиков (к которым, вообще-то, отношусь и я), в рассказанном ниже будет что-то новое и полезное.

Математическая логика - наука действительно довольно сложная, а главное - не очень привычная. Она требует аккуратных и строгих манёвров, при которых важно не перепутать реально доказанное с тем, что «и так понятно». Тем не менее, я надеюсь, что для понимания следующего ниже «наброска доказательства ТГН» читателю понадобится только знание школьной математики/информатики, навыки логического мышления и 15-20 минут времени.

Несколько упрощая, ТГН утверждает, что в достаточно сложных языках существуют недоказуемые высказывания. Но в этой фразе почти каждое слово нуждается в пояснении.

Начнём с того, что попытаемся разобраться, что такое доказательство. Возьмём какую-нибудь школьную задачку по арифметике. Например, пусть требуется доказать верность следующей незамысловатой формулы: « » (напомню, что символ читается «для любого» и называется «квантор всеобщности»). Доказать её можно, тождественно преобразуя, скажем, так:

Переход от одной формулы к другой происходит по некоторым известным правилам. Переход от 4-й формулы к 5-й произошёл, скажем, потому, что всякое число равно самому себе - такова аксиома арифметики. А вся процедура доказывания, таким образом, переводит формулу в булево значение ИСТИНА. Результатом могла быть и ЛОЖЬ - если бы мы опровергали какую-то формулу. В таком случае мы бы доказали её отрицание. Можно себе представить программу (и такие программы действительно написаны), которые бы доказывали подобные (и более сложные) высказывания без участия человека.

Изложим то же самое чуть более формально. Пусть у нас есть множество, состоящее из строк символов какого-то алфавита, и существуют правила, по которым из этих строк можно выделить подмножество так называемых высказываний - то есть грамматически осмысленных фраз, каждая из которых истинна или ложна. Можно сказать, что существует функция , сопоставляющая высказываниям из одно из двух значений: ИСТИНА или ЛОЖЬ (то есть отображающая их в булево множество из двух элементов).

Назовём такую пару - множество высказываний и функция из в - «языком высказываний» . Заметим, что в повседневном смысле понятие языка несколько шире. Например, фраза русского языка «А ну иди сюда!» не истинна и не ложна, то есть высказыванием, с точки зрения математической логики, не является.

Для дальнейшего нам понадобится понятие алгоритма. Приводить здесь формальное его определение я не буду - это завело бы нас довольно далеко в сторону. Ограничусь неформальным: «алгоритм» - эта последовательность однозначных инструкций («программа»), которая за конечное число шагов переводит исходные данные в результат. Выделенное курсивом принципиально важно - если на каких-то начальных данных программа зацикливается, то алгоритма она не описывает. Для простоты и в применении к нашему случаю читатель может считать, что алгоритм - это программа, написанная на любом известном ему языке программирования, которая для любых входных данных из заданного класса гарантированно завершает свою работу с выдачей булевого результата.

Спросим себя: для всякой ли функции существует «доказывающий алгоритм» (или, короче, «дедуктика» ), эквивалентный этой функции, то есть переводящий каждое высказывание именно в то булево значение, что и она? Лаконичнее тот же вопрос можно сформулировать так: всякая ли функция над множеством высказываний вычислима ? Как вы уже догадываетесь, из справедливости ТГН следует, что нет, не всякая - существуют невычислимые функции такого типа. Иными словами, не всякое верное высказывание можно доказать.

Очень может быть, что это утверждение вызовет у вас внутренний протест. Связано это с несколькими обстоятельствами. Во-первых, когда нас учат школьной математике, то иногда возникает ложное впечатление почти полной тождественности фраз «теорема верна» и «можно доказать или проверить теорему ». Но, если вдуматься, это совершенно не очевидно. Некоторые теоремы доказываются довольно просто (например, перебором небольшого числа вариантов), а некоторые - очень сложно. Вспомним, например, знаменитую Великую теорему Ферма :

доказательство которой нашли только через три с половиной века после первой формулировки (и оно далеко не элементарно). Следует различать истинность высказывания и его доказуемость. Ниоткуда не следует, что не существует истинных, но недоказуемых (и не проверяемых в полной мере) высказываний.

Второй интуитивный довод против ТГН более тонок. Допустим, у нас есть какое-то недоказуемое (в рамках данной дедуктики) высказывание. Что мешает нам принять его в качестве новой аксиомы? Тем самым мы чуть усложним нашу систему доказательств, но это не страшно. Этот довод был бы совершенно верен, если бы недоказуемых высказываний было конечное число. На практике же может произойти следующее - после постулирования новой аксиомы вы наткнётесь на новое недоказуемое высказывание. Примете его в качестве ещё аксиомы - наткнётесь на третье. И так до бесконечности. Говорят, что дедуктика останется неполной . Мы можем также принять силовые меры, чтобы доказывающий алгоритм заканчивался через конечное число шагов с каким-то результатом для любого высказывания языка. Но при этом он начнёт врать - приводить к истине для неверных высказываний, или ко лжи - для верных. В таких случаях говорят, что дедуктика противоречива . Таким образом, ещё одна формулировка ТГН звучит так: «Существуют языки высказываний, для которых невозможна полная непротиворечивая дедуктика» - отсюда и название теоремы.

Иногда называют «теоремой Гёделя» утверждение о том, что любая теория содержит проблемы, которые не могут быть решены в рамках самой теории и требуют её обобщения. В каком-то смысле это верно, хотя такая формулировка скорее затуманивает вопрос, чем проясняет его.

Замечу также, что если бы речь шла о привычных функциях, отображающих множество вещественных чисел в него же, то «невычислимость» функции никого бы не удивила (только не надо путать «вычислимые функции» и «вычислимые числа» - это разные вещи). Любому школьнику известно, что, скажем, в случае функции вам должно сильно повезти с аргументом, чтобы процесс вычисления точного десятичного представления значения этой функции окончился за конечное число шагов. А скорее всего вы будете вычислять её с помощью бесконечного ряда, и это вычисление никогда не приведёт к точному результату, хотя может подойти к нему как угодно близко - просто потому, что значение синуса большинства аргументов иррационально. ТГН просто говорит нам о том, что даже среди функций, аргументами которой являются строки, а значениями - ноль или единица, невычислимые функции, хотя и совсем по другому устроенные, тоже бывают.

Для дальнейшего опишем «язык формальной арифметики». Рассмотрим класс строк текста конечной длины, состоящих из арабских цифр, переменных (букв латинского алфавита), принимающих натуральные значения, пробелов, знаков арифметических действий, равенства и неравенства, кванторов («существует») и («для любого») и, быть может, каких-то ещё символов (точное их количество и состав для нас неважны). Понятно, что не все такие строки осмысленны (например, « » - это бессмыслица). Подмножество осмысленных выражений из этого класса (то есть строк, которые истинны или ложны с точки зрения обычной арифметики) и будет нашим множеством высказываний.

Примеры высказываний формальной арифметики:

и т.д. Теперь назовём «формулой со свободным параметром» (ФСП) строку, которая становится высказыванием, если в качестве этого параметра подставить в неё натуральное число. Примеры ФСП (с параметром ):

и т.д. Иными словами, ФСП эквивалентны функциям натурального аргумента с булевыми значением.

Обозначим множество всех ФСП буквой . Понятно, что его можно упорядочить (например, сначала выпишем упорядоченные по алфавиту однобуквенные формулы, за ними - двухбуквенные и т.д.; по какому именно алфавиту будет происходить упорядочивание, нам непринципиально). Таким образом, любой ФСП соответствует её номер в упорядоченном списке, и мы будем обозначать её .

Перейдём теперь к наброску доказательства ТГН в такой формулировке:

• Для языка высказываний формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики.

Доказывать будем от противного.

Итак, допустим, что такая дедуктика существует. Опишем следующий вспомогательный алгоритм , ставящий в соответствие натуральному числу булево значение следующим образом:

Проще говоря, алгоритм приводит к значению ИСТИНА тогда и только тогда, когда результат подстановки в ФСП её собственного номера в нашем списке даёт ложное высказывание.

Тут мы подходим к единственному месту, в котором я попрошу читателя поверить мне на слово.

Очевидно, что, при сделанном выше предположении, любой ФСП из можно сопоставить алгоритм, содержащий на входе натуральное число, а на выходе – булево значение. Менее очевидно обратное утверждение:

Доказательство этой леммы потребовало бы, как минимум, формального, а не интуитивного, определения понятия алгоритма. Однако, если немного подумать, то она довольно правдоподобна. В самом деле, алгоритмы записываются на алгоритмических языках, среди которых есть такие экзотические, как, например, Brainfuck , состоящий из восьми односимвольных слов, на котором, тем не менее, можно реализовать любой алгоритм. Странно было бы, если бы описанный нами более богатый язык формул формальной арифметики оказался бы беднее - хотя, без сомнения, для обычного программирования он не очень подходит.

Пройдя это скользкое место, мы быстро добираемся до конца.

Итак, выше мы описали алгоритм . Согласно лемме, в которую я попросил вас поверить, существует эквивалентная ему ФСП. Она имеет какой-то номер в списке - скажем, . Спросим себя, чему равно ? Пусть это ИСТИНА. Тогда, по построению алгоритма (а значит, и эквивалентной ему функции ), это означает, что результат подстановки числа в функцию - ЛОЖЬ. Аналогично проверяется и обратное: из ЛОЖЬ следует ИСТИНА. Мы пришли к противоречию, а значит, исходное предположение неверно. Таким образом, для формальной арифметики не существует полной непротиворечивой дедуктики. Что и требовалось доказать.

Здесь уместно вспомнить Эпименида (см. портрет в заголовке), который, как известно, заявил, что все критяне - лжецы, сам являясь критянином. В более лаконичной формулировке его высказывание (известное как «парадокс лжеца») можно сформулировать так: «Я лгу». Именно такое высказывание, само превозглашающее свою ложность, мы и использовали для доказательства.

В заключение я хочу заметить, что ничего особенного удивительного ТГН не утверждает. В конце концов, все давно привыкли, что не все числа представимы в виде отношения двух целых (помните, у этого утверждения есть очень изящное доказательство , которому больше двух тысяч лет?). И корнями полиномов с рациональными коэффициентами являются тоже не все числа . А теперь вот выяснилось, что не все функции натурального аргумента вычислимы.

Приведённый набросок доказательства относился к формальной арифметике, но нетрудно понять, что ТГН применима и к многим другим языкам высказываний. Разумеется, не всякие языки таковы. Например, определим язык следующим образом:

• «Любая фраза китайского языка является верным высказыванием, если она содержится в цитатнике товарища Мао Дзе Дуна, и неверна, если не содержится».

Тогда соответствующий полный и непротиворечивый доказывающий алгоритм (его можно назвать «догматической дедуктикой») выглядит примерно так:

• «Листай цитатник товарища Мао Дзе Дуна, пока не найдёшь искомое высказывание. Если оно найдено, то оно верно, а если цитатник закончился, а высказывание не найдено, то оно неверно».

Здесь нас спасает то, что любой цитатник, очевидно, конечен, поэтому процесс «доказывания» неминуемо закончится. Таким образом, к языку догматических высказываний ТГН неприменима. Но мы ведь говорили о сложных языках, правда?

Переломным открытием математики ХХ века были теоремы о неполноте Курта Геделя. А в его рукописях, опубликованных после смерти, сохранилось логическое доказательство существования Бога. На последних Рождественских чтениях интересный доклад об этом малоизвестном наследии сделал доцент Тобольской духовной семинарии, кандидат богословия иерей Димитрий КИРЬЯНОВ. «НС» попросил объяснить главные идеи ученого.

Теоремы о неполноте Геделя: Дырка в математике

— Можно как-то популярно объяснить теоремы о неполноте Геделя? Брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Бреет ли себя брадобрей? Этот знаменитый парадокс имеет к ним отношение?

Главный тезис логического доказательства существования Бога, выдвинутый Куртом Геделем: "Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать". На фото: автор теоремы о неполноте Курт Гедель со своим другом, автором теории относительности Альбертом Эйнштейном. Пристон. Америка. 1950

— Да, конечно, имеет. До Геделя существовала проблема аксиоматизации математики и проблема таких парадоксальных предложений, которые формально можно записать на любом языке. Например: «Это утверждение ложно». Какова истинность этого утверждения? Если оно истинно, значит, оно ложно, если оно ложно, значит, истинно; получается языковой парадокс. Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)! Всегда для обоснования какой-то системы умозаключений мы вынуждены прибегать к некоему дополнительному умозаключению, которое в рамках системы не обосновывается.

Прежде всего это указывает на ограниченность претензий человеческого разума в познании реальности. То есть мы не можем говорить о том, что мы построим какую-то всеобъемлющую теорию мироздания, которая все объяснит, — такая теория не может быть научной.

— Как математики сейчас относится к теоремам Геделя? Никто не пытается их опровергнуть, как-то обойти?

— Это все равно что пытаться опровергнуть теорему Пифагора. Теоремы имеют строгое логическое доказательство. В то же время предпринимаются попытки найти ограничения применимости теорем Геделя. Но главным образом споры идут вокруг философских следствий теорем Геделя.

— Насколько проработано геделево доказательство существования Бога? Оно закончено?

— Оно проработано детально, хотя сам ученый до самой своей смерти так и не решился его опубликовать. Гедель развивает онтологический (метафизический. — «НС» ) аргумент, впервые предложенный Ансельмом Кентерберийским. В сжатой форме этот аргумент можно представить следующим образом: «Бог, по определению, является Тем, больше Кого нельзя ничего помыслить. Бог существует в мышлении. Но существование в реальности больше, нежели существование только в мысли. Следовательно, Бог должен существовать». Аргументацию Ансельма позднее развивали Рене Декарт и Готфрид Вильгельм Лейбниц. Так, по мнению Декарта, мыслить Высшее Совершенное Бытие, которому недостает существования, означает впадать в логическое противоречие. В контексте этих идей Гедель разрабатывает свою версию доказательства, она умещается буквально на двух страничках. К сожалению, изложение его аргументации невозможно без введения в основы очень сложной модальной логики.

Разумеется, логическая безупречность выводов Геделя не принуждает человека становиться верующим под давлением силы доказательств. Не следует быть наивными и полагать, что мы можем убедить любого разумно мыслящего человека уверовать в Бога с помощью онтологического аргумента или других доказательств. Вера рождается тогда, когда человек становится лицом к лицу перед очевидным присутствием высшей трансцендентной Реальности Бога. Но можно назвать по крайней мере одного человека, которого онтологическое доказательство привело к религиозной вере, — это писатель Клайв Стейплз Льюис, он сам признавался в этом.

Отдаленное будущее — это отдаленное прошлое

— Как относились к Геделю современники? Он дружил с кем-то из больших ученых?

— Ассистент Эйнштейна в Принстоне свидетельствует, что единственным человеком, с которым тот дружил в последние годы жизни, был Курт Гедель. Они были различны почти во всем — Эйнштейн общительный, веселый, а Гедель предельно серьезный, совершенно одинокий и недоверчивый. Но они имели общее качество: оба шли прямо и искренне к центральным вопросам науки и философии. Несмотря на дружбу с Эйнштейном, Гедель имел свой специфический взгляд на религию. Он отвергал представление о Боге как безличном существе, каким был Бог для Эйнштейна. По этому поводу Гедель заметил: «Религия Эйнштейна является слишком абстрактной, как у Спинозы и в индийской философии. Бог Спинозы меньше, чем личность; мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности». Могут существовать духи, которые не имеют тела, но могут общаться с нами и оказывать влияние на мир».

— Как Гедель оказался в Америке? Бежал от нацистов?

— Да, он приехал в Америку в 1940 году из Германии, несмотря на то что фашисты признали его арийцем и великим ученым, освободив от военной службы. Он с женой Аделе пробирался через Россию по Транссибирской магистрали. Воспоминаний об этом путешествии он не оставил. Аделе вспоминает только о постоянном страхе по ночам, что остановят и вернут обратно. После восьми лет проживания в Америке Гедель стал гражданином США. Как и все подающие на гражданство, он должен был ответить на вопросы, касающиеся американской Конституции. Будучи скрупулезным человеком, он готовился к этому экзамену очень тщательно. Наконец сообщил, что нашел непоследовательность в Конституции: «Я открыл логически законную возможность, при которой США может стать диктатурой». Его друзья признали, что, независимо от логических достоинств аргумента Геделя, эта возможность была чисто гипотетической по своему характеру, и предостерегли от пространных разговоров на эту тему на экзамене.

— Не использовали ли Гедель и Эйнштейн идей друг друга в научной работе?

— В 1949 году Гедель выразил свои космологические идеи в математическом эссе, которое, по мнению Альберта Эйнштейна, являлось важным вкладом в общую теорию относительности. Гедель считал, что время — «эта таинственная и одновременно самопротиворечивая сущность, которая формирует основу мира и нашего собственного существования», — в конце концов станет величайшей иллюзией. Оно «когда-то» перестанет существовать, и наступит иная форма бытия, которую можно назвать вечностью. Такое представление о времени привело великого логика к неожиданному выводу. Он писал: «Я убежден в посмертном существовании, независимо от теологии. Если мир является разумно сконструированным, тогда должно быть посмертное существование».

— «Время – самопротиворечивая сущность». Странно звучит; это имеет какой-то физический смысл?

— Гедель показал, что в рамках уравнения Эйнштейна можно построить космологическую модель с замкнутым временем, где удаленное прошлое и удаленное будущее совпадают. В этой модели становится теоретически возможным путешествие во времени. Это звучит странно, но это математически выразимо — вот в чем дело. Эта модель может иметь экспериментальные следствия, а может и не иметь. Она является теоретической конструкцией, которая может оказаться полезной при построении новых космологических моделей — а может оказаться излишней. Современная теоретическая физика, в частности квантовая космология, обладает столь сложной математической структурой, что этим структурам очень сложно дать однозначное философское осмысление. Более того, некоторые ее теоретические конструкции пока являются экспериментально непроверяемыми по той простой причине, что для своей проверки требуют обнаружения очень высокоэнергетичных частиц. Помните, как народ переполошился по поводу запуска Большого андронного коллайдера: средства массовой информации постоянно пугали людей приближением конца света. На самом деле, ставился серьезный научный эксперимент по проверке моделей квантовой космологии и так называемых «теорий великого объединения». Если бы удалось обнаружить так называемые частицы Хиггса, то это стало бы очередным шагом в нашем понимании самых ранних стадий существования нашей Вселенной. Но пока нет экспериментальных данных, конкурирующие модели квантовой космологии продолжают оставаться просто математическими моделями.

Вера и интуиция

— «…Мой Бог больше чем личность; поскольку Бог может играть роль личности…» Все-таки вера Геделя далека от православного исповедания?

— Сохранилось очень мало высказываний Геделя о его вере, они по крупицам собраны. Несмотря на то что первые наброски собственной версии аргумента Гедель сделал еще в 1941 году, до 1970-го, боясь насмешек своих коллег, он не говорил об этом. В феврале 1970-го, почувствовав приближение смерти, он разрешил своей помощнице скопировать версию своего доказательства. После смерти Геделя в 1978 году в его бумагах была обнаружена несколько иная версия онтологического аргумента. Жена Курта Геделя, Аделе, через два дня после смерти мужа сказала, что Гедель, «хотя и не посещал церковь, был религиозен и читал Библию в кровати каждое воскресное утро».

Когда мы говорим о таких ученых, как Гедель, Энштейн или, скажем, Галилей или Ньютон, важно подчеркнуть то, что они не были атеистами. Они видели, что за Вселенной стоит Разум, некая Высшая Сила. Для многих ученых убежденность в существовании Высшего Разума являлась одним из следствий их научной рефлексии, и не всегда эта рефлексия приводила к возникновению глубокой религиозной связи человека с Богом. В отношении Геделя можно сказать, что он ощущал необходимость этой связи, поскольку подчеркивал, что является теистом, мыслит Бога как личность. Но, разумеется, его веру нельзя назвать ортодоксальной. Он был, так сказать, «домашним лютеранином».

— Вы можете дать исторические примеры: каким путем разные ученые приходят к вере в Бога? Вот генетика Фрэнсиса Коллинза, по его признаниям, к вере в Бога привело исследование структуры ДНК…

— Само по себе естественное богопознание недостаточно для познания Бога. Мало, изучая природу, открыть Бога — важно научиться Его познавать посредством того Откровения, которое Бог дал человеку. Приход человека к вере — независимо от того, ученый он или не ученый, — всегда опирается на что-то, что выходит за рамки просто логических или научных аргументов. Фрэнсис Коллинз пишет, что пришел к вере в 27 лет после продолжительного интеллектуального спора с самим собой и под влиянием Клайва Стейплза Льюиса. Два человека находятся в одной и той же исторической ситуации, в одних исходных условиях: один становится верующим, другой — атеистом. Одного изучение ДНК приводит к убеждению в существовании Бога. Другой изучает — и не приходит к этому. Два человека смотрят на картину: одному она кажется красивой, а другой говорит: «Так себе, обычная картинка!» У одного есть вкус, интуиция, а у другого — нет. Профессор Православного Свято-Тихоновского гуманитарного университета Владимир Николаевич Катасонов, доктор философских наук, математик по первому образованию, говорит: «Никакое доказательство в математике невозможно без интуиции: математик сначала видит картинку, а потом уже формулирует доказательство».

Вопрос о приходе человека к вере — это всегда вопрос, который выходит за рамки просто логического рассуждения. Как объяснить, что тебя привело к вере? Человек отвечает: я ходил в храм, размышлял, читал то-то, увидел гармонию мироздания; но самый главный, самый исключительный момент, в который человек вдруг познает, что он столкнулся с присутствием Бога, не может быть выражен. Это всегда тайна.

— Можно обозначить проблемы, которые не в силах разрешить современная наука?

— Все-таки наука — достаточно уверенное, самостоятельное и хорошо идущее предприятие, чтобы так резко высказываться. Она является хорошим и весьма полезным инструментом в руках человека. Со времени Фрэнсиса Бэкона знание действительно стало силой, изменившей мир. Наука развивается в соответствии со своими внутренними закономерностями: ученый стремится постичь законы мироздания, и можно не сомневаться в том, что этот поиск приведет к успеху. Но в то же время необходимо осознавать и границы науки. Не следует смешивать науку и те мировоззренческие вопросы, которые могут быть поставлены в связи с наукой. Ключевые проблемы сегодня связаны не столько с научным методом, сколько с ценностными ориентациями. Наука в течение долгого ХХ века воспринималась людьми как абсолютное благо, которое способствует прогрессу человечества; а мы видим, что ХХ век стал самым жестоким по человеческим жертвам. И тут возникает вопрос о ценностях научного прогресса, вообще познания. Этические ценности не следуют из самой науки. Гениальный ученый может изобрести оружие для уничтожения всего человечества, и здесь возникает вопрос о нравственной ответственности ученого, на который наука не может ответить. Наука не может указать человеку смысл и предназначение его существования. Наука никогда не сможет ответить на вопрос, почему мы здесь? Почему существует Вселенная? Эти вопросы решаются на другом уровне познания, таком, как философия и религия.

— Кроме теорем Геделя, есть ли еще доказательства того, что научный метод имеет свои пределы? Сами ученые это признают?

— Уже в начале XX века философы Бергсон и Гуссерль указали на относительное значение научного знания природы. Сейчас уже стало почти всеобщим убеждением среди философов науки, что научные теории представляют гипотетические модели объяснения явлений. Один из создателей квантовой механики — Эрвин Шредингер говорил о том, что элементарные частицы являются только образами, но мы вполне можем обойтись и без них. По мысли философа и логика Карла Поппера, научные теории подобны сети, посредством которой мы пытаемся поймать мир, они не похожи на фотографии. Научные теории находятся в постоянном развитии и изменении. О границах научного метода говорили создатели квантовой механики, такие как Паули, Бор, Гейзенберг. Паули писал: «…Физика и психика могут рассматриваться как дополнительные аспекты одной и той же реальности» — и акцентировал внимание на несводимости высших уровней бытия к низшим. Различные объяснения охватывают каждый раз лишь один аспект материи, но всеохватная теория никогда не будет достигнута.

Красота и гармония мироздания предполагает возможность его познания научными методами. Вместе с тем христиане всегда понимали и непостижимость тайны, стоящей за этой материальной вселенной. Вселенная не имеет основания в самой себе и указывает на совершенный источник бытия — Бога.

1. Формальные аксиоматические теории и натуральные числа

2. Формальная арифметика и ее свойства

3. Теорема Гёделя о неполноте

4. Гёдель и его роль в математической логике XX в

Эта теорема, уже неоднократно встречавшаяся нам, утверждает, что любая непротиворечивая формальная аксиоматическая теория, формализующая арифметику натуральных чисел, не является (абсолютно) полной. В настоящем параграфе дается доказательство этой теоремы, опирающееся на идеи и методы теорий алгоритмов. Тем самым будет еще раз продемонстрирована на самом высоком уровне теснейшая связь математической логики и теории алгоритмов - двух математических дисциплин, образующих фундамент всей современной математики. Наше изложение будет основываться на доказательстве, разработанном М.Арбибом.

После доказательства теоремы 35.7 о том, что существует перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, было заявлено, что она фактически включает в себя в неявном виде теорему Гёделя о неполноте формальной арифметики. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы обосновать это заявление. Таким образом, в рамках общей теории алгоритмов, кроме тех теорем, которые были доказаны в двух предыдущих параграфах, будет продемонстрировано продвижение теории алгоритмов в направлении решения чисто логических проблем. Для этого сначала предстоит увязать терминологию логической проблемы о неполноте формальной арифметики с методологической терминологией общей теории алгоритмов, методами которой эта проблема будет решена. При этом утверждение теоремы 35.7 о существовании перечислимого, но неразрешимого множества натуральных чисел будет основополагающей предпосылкой для доказательства теоремы Гёделя, которую мы докажем в следующей формулировке: "Каждая адекватная со-непротиворечивая формальная арифметика неполна". Далее, мы поясним, что будем понимать под формальной арифметикой, а также определим и разъясним те понятия, которые участвуют в приведенной формулировке теоремы Гёделя. Начнем с формальных аксиоматических теорий.

Формальные аксиоматические теории и натуральные числа

Ранее было определено понятие формальной аксиоматической теории. Чтобы задать такую теорию T , нужно задать алфавит (счетное множество символов); в множестве всех слов, составленных из букв данного алфавита, выделить подмножество, элементы которого будут называться формулами (или правильно построенными выражениями) данной теории; в множестве формул выделить те, которые будут называться аксиомами теории; наконец, должно быть задано конечное число отношений между формулами, называемых правилами вывода. При этом должны существовать эффективные процедуры (алгоритмы) для определения того, являются ли данные слова (выражения) формулами (т.е. правильно построенными выражениями), являются ли данные формулы аксиомами и, наконец, получается ли одна данная формула из ряда других Данных формул с помощью данного правила вывода. Это означает, что множество всех формул разрешимо и множество всех аксиом разрешимо. Следовательно, каждое из этих множеств перечислимо.

Понятия вывода и теоремы в формальной аксиоматической теории даны в определении 28.2.

Все теоремы, приводимые в настоящей лекции, в соответствии с нашей терминологией являются фактически метатеоремами, т.е. теоремами о свойствах (формальных) аксиоматически* теорий. Но поскольку здесь никакой конкретной аксиоматической теории мы не рассматриваем, никаких теорем такой теории не доказываем, т.е. никаких теорем, кроме метатеорем, здесь не будет, то мы метатеоремы будем называть просто теоремами.

Теорема 37.1. Множество всех теорем формальной аксиоматической теории Т перечислимо.

Доказательство. Мы уже отметили, что множество аксиом формальной теории перечислимо, т. е. мы можем их эффективно перенумеровать A_1,A_2,A_3,\ldots . Поскольку все формулы состоят из конечного числа букв (символов), все выводы содержат конечное число формул и каждый вывод использует лишь конечное число аксиом, то ясно, что для каждого натурального п существует лишь конечное число выводов, имеющих не более чем п формул (шагов) и использующих только аксиомы \{A_1,A_2,\ldots,A_n\} . Следовательно, двигаясь от n=1 к n=2,~ n=3 и т.д., можно эффективно перенумеровать все теоремы данной теории. Это и означает, что множество теорем перечислимо.

Теперь от произвольных формальных теорий будем переходить к таким, которые так или иначе имеют дело с натуральными числами. Если мы хотим в нашей теории говорить о подмножестве Q множества натуральных чисел, то мы должны иметь эффективный способ выписывания для каждого натурального п формулы W_n , означающей, что n\in Q . Более того, если мы сможем доказать, что формула W_n является теоремой теории T тогда и только тогда, когда n\in Q , то будем говорить, что теория T полуполна для Q (или что в T имеется полуполное описание Q ). Точнее, это определение сформулируем так.

Определение 37.2. Теория T называется полуполной для множества натуральных чисел Q\subseteq \mathbb{N} , если существует перечислимое множество формул W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots , такое, что .

Определение 37.3. Теория T называется полной для Q , если она полуполна для Q и мы также имеем формулу \lnot W_n , которая интерпретируется как n\notin Q , и мы можем доказать, что \lnot W_n является теоремой теории T тогда и только тогда, когда n\notin Q . Другими словами, теория T полна для Q , если в T для каждого п мы можем установить, принадлежит оно Q или нет. Точнее, это означает, что теория T называется полной для множества натуральных чисел T , если она полуполна для Q и полуполна для его дополнения \overline{Q} .

Теорема 37.4. Если теория T полуполна для множества Q , то Q перечислимо.

Доказательство. По определению полуполноты T для Q множество Q есть множество номеров тех формул из некоторого перечислимого множества \{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\} формул, которые являются теоремами теории T , т.е. принадлежит и множеству \operatorname{Th}(T) . Таким образом, Q есть множество номеров всех формул из множества \operatorname{Th}(T)\cap \{W_0,W_1,\ldots,W_n,\ldots\} . Каждое из этих пересекаемых множеств перечислимо: первое - по предыдущей теореме 37.1, второе - по сказанному в начале доказательства. Следовательно, и их пересечение, по теореме 35.5, перечислимо. Но тогда пере-цислимо и множество номеров тех формул, которые входят в это пересечение.

Следствие 37.5. Если Q перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел, то никакая формальная теория не может быть полной для Q .

Доказательство. Если множество Q перечислимо, но неразрешимо, то в силу теоремы 35.6 его дополнение \overline{Q} неперечис-лимо. Тогда по теореме 37.4 никакая теория T не является полуполной для \overline{Q} . Следовательно, никакая теория T неполна для Q .

От этого следствия до теоремы Гёделя совсем недалеко. Для этого нужно средствами некоторой формальной теории T развить теорию натуральных чисел, причем так, чтобы принадлежность чисел данному множеству Q можно было трактовать адекватно (т. е. число п принадлежит Q тогда и только тогда, когда некоторая эффективно сопоставленная ему формула теории T является теоремой этой теории). Это возможно только тогда, когда Q по меньшей мере перечислимо.

Формальная арифметика и ее свойства

Формальная арифметика как формальная аксиоматическая теория строится на базе формализованного исчисления предикатов, рассмотренного ранее. Предметные переменные здесь будем называть числовыми, потому что вместо них будем подставлять натуральные числа.

Предметная переменная называется свободной в формуле, если она не стоит под знаком квантора (общности или существования), и связанной - в противном случае. Формула называется замкнутой, если все ее предметные переменные связаны, и открытой, если в ней имеются свободные переменные. Замыканием формулы F называется формула C(F) , получающаяся из F дописыванием спереди кванторов общности по всем переменным, свободным в F . Ясно, что для любой F формула C(F) замкнута. Если F замкнута, то C(F)=F .

Функция C(F) вычислима. Отсюда следует, что класс замкнутых формул разрешим, поскольку.Рему принадлежит тогда и только тогда, когда C(F)=F , и для распознавания этого равенства существует вычислительная процедура.

С понятием подстановки в формулу мы уже знакомы. Если в формулу F вместо символа (слова) X везде, где он входит в F , вставить слово (формулу) H , то получим новое слово (формулу), обозначаемое S_X^HF и называемое результатом подста-новки в F слова H вместо слова X . Тогда ясно, что

\begin{gathered}S_X^H(\lnot F)\equiv \lnot S_X^HF;\qquad S_X^H(F\to G)\equiv S_X^HF\to S_X^HG;\\ \text{esli}~ i\ne j,~ \text{to}~ S_{x_i}^N(\forall x_j)(F)\equiv (\forall x_j)S_{x_i}^NF,~ S_{x_i}^N(\exists x_j)(F)\equiv (\exists x_j)S_{x_i}^NF. \end{gathered}

Имея дело с натуральными числами, мы хотели бы иметь возможность подставлять их в формулы формальной теории (арифметики), т.е. иметь возможность говорить о числах на языке нашей формальной теории. Для этой цели в формальной теории необходимо иметь слова, которые служили бы названиями натуральных чисел. Такие слова называются нумералами. Нумерал числа п обозначается n^{\ast} . Требование к этим названиям (именам) вполне естественное: различные числа должны называться различными именами, т.е. если m\ne n , то m^{\ast}\ne n^{\ast} . (Идея введения нумералов состоит в том, чтобы разделить вещи и имена этих вещей.)

Таким образом, в формулы арифметики мы будем подставлять вместо числовых переменных x_1,x_2,x_3,\ldots не сами натуральные числа m,n,k,\ldots , а их нумералы (имена) m^{\ast},n^{\ast},k^{\ast},\ldots соответственно.

Наконец, мы можем сформулировать последнее требование (аксиому), которое мы предъявляем к формальной арифметике. Назовем его аксиомой арифметики: если предметная переменная jc, не связана в F , то

\text{(AA)}\colon~ S_{x_i}^{n^{\ast}}F\to (\exists x_i)(F).

Если ввести для S_{x_i}^{n^{\ast}}F обозначение F(n^{\ast}) , то эта аксиома принимает вид:

\text{(AA)}\colon~ F(n^{\ast})\to (\exists x_i)(F).

Это исключительно естественное требование: если формула F превращается в истинное высказывание при подстановке в нее вместо переменной x_i какого-нибудь натурального числа n^{\ast} , то истинно и высказывание (\exists x_i)(F) .

Никаких других ограничений на формализацию арифметики не накладывается. Неважно, в частности, как определяются сложение и умножение натуральных чисел, как вводится отношение порядка, чем мы скрупулезно занимались при построении теории натуральных чисел на основе системы аксиом Пеано. Даже при таких самых общих допущениях на формализацию арифметики эта формализация будет подчиняться теореме Гёделя: если она будет непротиворечива, то она будет неполной.

Итак, определившись с понятием формальной арифметики, посвятим оставшуюся часть этого пункта понятиям ю-непротиво-речивости, адекватности и полноты этой формальной теории, участвующим в точной формулировке теоремы Гёделя.

Начнем с понятия непротиворечивости. Как и всякая аксиоматическая теория, формальная арифметика называется непротиворечивой, если в ней нельзя доказать какое-либо утверждение и его отрицание, т.е. если не существует такой формулы F , что одновременно \vdash F и \vdash\lnot F .

Предположим теперь, что для некоторой формулы G(x) , содержащей свободно единственную предметную переменную х, установ-дено, что для всех натуральных чисел n=0,1,2,3,\ldots . Даже если в формальной арифметике невозможно доказать \vdash (\forall x)(G(x)) , мы конечно же можем считать это утверждение следствием приведенного списка теорем. Следовательно, если в теории удастся доказать теорему , то такую формальную арифметику следует считать противоречивой.

Определение 37.6. Формальная арифметика называется ω-непротиворечивой, если в ней нет такой формулы G(x) с единственной свободной предметной переменной x , что для всех натуральных чисел n справедливы теоремы \vdash G(n^{\ast}) и \vdash\lnot (\forall x)(G(x)) .

Теорема 37.7. Если формальная арифметика ^-непротиворечива, то она непротиворечива.

Доказательство. В самом деле, если бы она была противоречива, то, как доказано в §27, после определения 27.1, все ее формулы были бы теоремами, в том числе и те, которые создают ω-противоречивость формальной арифметики, и последняя была бы ω-противоречива.

Определение 37.8. Назовем n-местный предикат P(x_1,\ldots,x_n) над множеством натуральных чисел N вполне представимым в формальной арифметике, если существует такая формула F(x_1,\ldots,x_n) , свободными предметными переменными которой являются п переменных x_1,\ldots,x_n (и только они), что:

а) для каждого набора n натуральных чисел (a_1,\ldots,a_n) , для которого предикат P превращается в истинное высказывание P(a_1,\ldots,a_n) , имеет место теорема: \vdash F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast}) ;

б) для каждого набора n натуральных чисел (a_1,\ldots,a_n) , для которого предикат P превращается в ложное высказывание P(a_1,\ldots,a_n) , имеет место теорема: \vdash\lnot F(a_1^{\ast},\ldots,a_n^{\ast}) .

Таким образом, вполне представимость предиката в формальной арифметике означает, что мы средствами этой формальной теории всегда можем решить, превратится он в истинное или ложное высказывание при подстановке вместо всех его предметных переменных тех или иных натуральных чисел.

Разъясним теперь понятие адекватности формальной арифметики, участвующее в формулировке теоремы Гёделя. Мы хотели бы иметь возможность отвечать на вопросы о перечислимых множествах в такой арифметике. В теореме 37.4 мы показали, что лишь перечислимые множества чисел могут иметь полуполное описание в формальной теории, т.е. существует перечислимое множество формул W_0,W_1,W_2,\ldots , такое, что Q=\{n\colon \vdash W_n\} . Адекватность нашей формальной теории (арифметики) могла бы означать, что она является полуполной для каждого перечислимого Множества натуральных чисел, т.е. что в ней имеет полуполное описание всякое множество, которое вообще может иметь такое описание хотя бы в какой-нибудь теории.

В теореме 37.1 мы установили, что множество всех теорем фор. мальной теории перечислимо, т.е. все теоремы и, значит, приво-дящие к ним выводы (доказательства) могут быть эффективно перенумерованы. Возьмем наше множество Q и соответствующее ему множество теорем \{W_0,W_1,W_2,\ldots\} . Рассмотрим следующий предикат P(x,y)\colon " y - номер доказательства теоремы W_x ". Если высказывание P(m,n) истинно, то это означает, что n есть номер вывода теоремы W_m , что, в свою очередь, означает, что m\in Q , т.е. n есть номер вывода о том, что m\in Q . Обратно, взяв конкретные числа m и n , мы можем эффективно построить теорему (формулу) W_m и эффективно построить n-й вывод, после чего эффективно определить, является ли построенный вывод выводом теоремы W_m , т.е. эффективно узнать, истинно ли высказывание P(m,n) . Следовательно, P(x,y) - такой вычислимый предикат, что .

Сформулируем теперь определение.

Определение 37.9. Формальная арифметика называется адекватной, если для каждого перечислимого множества Q натуральных чисел существует вполне представимый в этой арифметике предикат P(x,y) такой, что Q=\bigl\{x\colon (\exists y)(\lambda =1)\bigr\} .

Под полнотой формальной арифметики будем понимать абсолютную полноту, т.е. если для каждой замкнутой формулы F этой теории либо она сама, либо ее отрицание является теоремой этой теории: \vdash F или \vdash\lnot F .

Теперь мы можем перейти непосредственно к формулировке и доказательству теоремы Гёделя.

Теорема Гёделя о неполноте

Теорема утверждает следующее. Всякая ω-непротиворечивая и адекватная формальная арифметика не является полной.

▼ Доказательство

Согласно теореме 35.7, выберем такое множество Q натуральных чисел, которое перечислимо, но неразрешимо. Так как наша формальная арифметика адекватна, то существует вполне представимый в ней перидикат P(x,y) такой, что

Q= \bigl\{x\colon\, (\exists y)\bigl(\lambda =1\bigr)\bigr\}.

Вполне представимость предиката P(x,y) в формальной арифметике означает, что найдется такая формула F(x,y) этой теории, содержащая лишь две свободных предметных переменных, что для каждой пары натуральных чисел (a,b) , для которой , имеет место теорема: \vdash F(a^{\ast},b^{\ast}) , а для каждой пары натуральных чисел (a,b) , для которой \lambda =1 , имеет место теорема: \vdash\lnot F(a^{ast},b^{\ast}) .

Применим к формуле F(x,y) квантор общности по переменной y . Получим формулу с единственной свободной предметной переменной x\colon\, G(x)\equiv (\exists y)(F(x,y)) . Покажем, что

Q= \bigl\{x\colon\, \vdash G(x^{\ast})\bigr\}.

Предположим, что m\in Q . Тогда (согласно (*)) найдется такое натуральное n , что высказывание P(m,n) истинно. Следовательно, имеет место теорема: \vdash F(m^{\ast},n^{\ast}) В силу аксиомы арифметики \text{AA} имеем теорему:

\vdash F(m^{\ast},n^{\ast})\to (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr).

Из двух последних теорем по правилу МР заключаем:

\vdash (\exists y)\bigl(F(m^{\ast},y)\bigr) , то есть .

Это означает, что m\in \bigl\{x\colon \vdash G(x^{\ast})\bigr\} . Таким образом, Q \subseteq \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\} .

Обратно, предположим, что m\in \bigl\{x\colon\vdash G(x^{\ast})\bigr\} , то есть \vdash G(m^{\ast}) , то есть \vdash (\exists y)(F(m^{\ast},y)) . Отсюда, в силу известного выражения (по закону де Моргана) квантора существования через квантор общности, заключаем, что

\vdash\lnot (\forall y)\bigl(\lnot F(m^{\ast},y)\bigr).

Поскольку наша формальная арифметика, кроме того, со-непро-тиворечива, то, ввиду наличия в ней последней теоремы, должно существовать такое натуральное число n_0 , что формула - \lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0) не является теоремой этой арифметики. А раз так, то высказывание P(m,n_0) истинно (если бы оно было ложно, то мы имели бы теорему \vdash\lnot F(m^{\ast},n^{\ast}_0) , что не так). По определению (*) множества Q , это означает, что m\in Q . Таким образом, \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq Q . Итак, равенство (**) доказано.

Теперь выясним, в каком отношении находятся между собой множества \overline{Q} (дополнение Q ) и \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\} . Пусть me m\in \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\} , то есть \vdash\lnot G(x^{\ast}) . Тогда m\in \overline{Q} , ибо если бы m\in Q , то в силу (**) мы имели бы \vdash G(m^{\ast}) и наша формальная арифметика была бы противоречивой, но это не так в силу ее ©-непротиворечивости (по условию) и теоремы 37.7. Таким образом, \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\subseteq \overline{Q} .

Покажем, что последнее включение является строгим. Напомним, что мы выбрали множество Q перечислимым, но не являющимся разрешимым. Тогда согласно следствию 37.5 из теоремы 37.4, никакая формальная теория не может быть полной для Q . Равенство (**) говорит, что наша формальная арифметика полуполна для Q . Если бы имело место равенство \overline{Q}= \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\} , то это означало бы, что наша формальная арифметика полуполна и для \overline{Q} и, значит, она была бы полной для Q . Последнее невозможно в силу следствия 37.5 из теоремы_37.4. Следовательно, \{x\colon\vdash G(x^{\ast})\}\ne \overline{Q} .

Итак, \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\}\subset \overline{Q} . Следовательно, существует такое число m_0\in \overline{Q} , что m_0\notin \{x\colon\vdash\lnot G(x^{\ast})\} , т. е. неверно, что \vdash\lnot G(m_0^{\ast}) . В тоже время неверно также, что \vdash G(m_0^{\ast}) , поскольку это, в силу (**), означало бы, что m_0\in Q , а это не так. Следовательно, мы нашли формулу G(m_0^{\ast}) , такую, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами нашей формальной арифметики. Это и означает, что данная формальная арифметика не является полной.

Теорема Гёделя полностью доказана.

Обратимся еще раз к высказыванию \lnot G(m_0^{\ast}) . Согласно равенству (**), его можно интерпретировать как m_0\on \overline{Q} и, следовательно, оно обязательно является "истинным" высказыванием. Но тем не менее оно не является теоремой нашей формальной арифметики. Если добавить формулу G(m_0^{\ast}) к списку аксиом и рассмотреть новую формальную арифметику, то положение не изменится: для вновь полученной формальной арифметики верны все те предпосылки, которые привели нас к теореме Гёделя. Значит, мы снова найдем такое число m_1 , что высказывание \lnot G(m_1^{\ast}) истинно, но не является теоремой новой формальной арифметики и т.д.

Гёдель и его роль в математической логике XX в

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 г. в г. Брюнне (ныне г. Брно в Чехии). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию и был доцентом в период 1933- 1938 гг. После оккупации Австрии фашистской Германией эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работает в Принстонском институте высших исследований (с 1953 г. он профессор этого института). Гёдель - почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества. В 1951 г. Гёдель удостоен высшей научной награды США - Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал: "Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это - больше, чем просто монумент, это веха, разделяющая две эпохи... Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки". Гёдель заложил основы целых разделов математической логики: теории моделей (1930), конструктивной логики (1932-1933), формальной арифметики (1932-1933), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934), аксиоматической теории множеств (1938). Гёдель умер в Принстоне (США) 14 января 1978 г.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862-1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 не доказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо ». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой ,или слабой теоремы Гёделя о неполноте : «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте : «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения , и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Kurt Gödel, 1906-78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.

Признаюсь, что саму идею рассмотрения вопроса о существовании бога с этой стороны я вычитал у Анатолия Александровича Вассермана:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0.B4.D1.8B

Но мне бы хотелось развить эту идею и описать ее немного подробнее.
В религии (как и не в религии) присутствует некоторая аксиоматика построения. По крайней мере в идеальном случае, если это не просто слепое верование, а сознательный и обоснованный выбор. Например, аксиомой физики можно считать "природа познаваема с помощью разума и логических умозаключений, все законы физики одинаковы во всех точках пространства и в любое время". Например, аксиомой религии можно считать высказывание "бог существует и является первопричиной всего сущего". Иначе говоря, нет сомнения, что все многочисленые частности и ответвления можно свести к нескольким важнейшим никак не доказуемым утверждениям, которые и являются теми самыми аксиомами.

Рассмотрим с этих позиций религиозные верования. Важнейшая аксиома религии: "бог существует и является первопричиной всего сущего".
Теперь вспомним одну из важнейших математических теорем, теорему Гёделя.
http://elementy.ru/trefil/21142
Слабая теорема Гёделя: "Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения" или "если система аксиом полна, то она противоречива."
Сильная теорема Гёделя: "Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)."

Вспомним некоторые определения. Система аксиом полна, если любое утверждение сформулированное для данной системы аксиом доказуемо (то есть является либо истиным, либо ложным). Неразрешенное предположение - такое утверждение, относительно которого не может быть доказана ни его истиность, ни ложность, то есть утверждение логически не доказуемо. Система аксиом противоречива, если относительно одного и того же утверждения можно доказать как его истиность, так и его ложность.

Из теоремы Гёделя следует, что если понятие бога входит в аксиоматическую систему, то эта система не полна, то есть существуют следствия (явления), которые не доказуемы, то есть они могут существовать, а могут не существовать, это не доказуемо.
Но это противоречит следующим двум положениям (выбирайте любое наиболее убедительное): природа не содержит явлений, которые можно считать и существующими и не существующими, любое явление природы либо существует, либо не существует. Второе же положение говорит, что по определению бог является первопричиной всего, следовательно бог либо приводит к существованию некоторых вещей (утверждений), либо к их несуществованию, ссылаясь на бога можно либо доказать, либо опровергнуть любое утверждение. Это противоречит неполноте системы.

Или иначе. Если включить понятие бога в аксиоматическую систему и предположить ее полной (любое утверждение в полной сестеме аксиом доказуемо), то по теореме Гёделя такая система аксиом будет противоречивой, то есть будут существовать явления про которые можно доказать, что они и существуют, и не существуют.

Включать бога в противоречивую систему аксиом нет смысла, так как она противоречива, то есть в ней есть явления, про которые можно доказать, что они и существуют, и не существуют, что, как говорилось, противоречит природе и понятию бога.

Наконец, если понятие бога не входит в аксиоматическую систему, то оно не может считаться фундаментальной основой мироздания, из которой следует все существующее, что по сути противоречит определению бога.

Для справедливости данного доказательства необходимо признание справедливости законов математической логики (логика высказываний + исчисление предикатов), позволяющих устанавливать законы следствия, истиность, ложность, противоречивость, непротиворечивость утверждений и другие свойства и отношения между утверждениями.

Если же считать, что математическая логика не применима к исследованию вопроса существования бога, то следствием будет не возможность исследования этого вопроса с помощью рассуждений, с помощью разума. Иначе говоря, последовательный разум всегда приходит к отрицательному ответу на вопрос существования бога.

Что же получается в итоге... любой хоть сколько-нибудь рациональный человек, конечно, признает справедливость законов логики, а значит неизменно приходит к выводу, что бог в определении "причина всего сущего" не существует. Человек не рациональный, который утверждает, что бога можно познать только с помощью чувств (а не разума), конечно, может так утверждать, однако нету никакого способа убедить в этом другого, чувства не возможно передать. Более того понятие бога является понятием сформулированным разумом. Каким образом предлагается транслировать понятие разума в ощущение, да еще так, чтобы это можно было передать другому человеку - не ясно. Опять же хоть сколько-нибудь рациональный человек скажет, что это не возможно: абстрактное понятие разума перевести в чувство и ощутить его.

Наконец, есть еще один вариант: "бог - не первопричина всего". Тогда подобных противоречий не возникает, однако это является значительнейшим ослаблением позиций религии, так как именно то, что бог создал все, что бог - начало всех начал, является фундаментом для многочисленных утверждений религии и обоснований в спорах.

P.S. Стоит отметить еще одну любопытнейшую вещь, любопытную уже для физиков. В данном определении бога ничего не говорится о его разумности. То есть можно было бы добавить "бог - разумная причина всего сущего", однако это сужение определения, которое изначально и не требуется для доказательства. Без разумности понятие "бога" можно легко заменить на "сингулярность и большой взрыв - причина всего сущего". И ответ будет тот же самый: сингулярность и большой взрыв - не первопричина всего сущего.
Проведя еще большее абстрагирование можно сказать, что ни одно явление или причина не могут являться первопричиной всего сущего, то есть первопричины не существует в принципе. Рассуждая в рамках любой аксиоматики можно прийти к выводу, что первопричины всего не существует. Говоря совсем просто, до каких бы основ мы ни познали вселенную, всегда останутся вопросы в духе: "откуда появился большой взрыв, откуда появилась сингулярность, откуда появилась пульсирующая вселенная, откуда появилась мультивселенная, почему вселенная существует всегда?" и т.п. Первопричину всего не возможно найти в принципе, она не содержится ни в одном объекте, явлении или понятии. Следовательно для человека это эквивалентно ее отсутствию. Теоретически можно предположить существование стороннего наблюдателя за пределами нашей вселенной, который даст ответ на вопрос, откуда все взялось (та самая дополнительная аксиома, расширение в теореме Гёделя), однако тогда возникнет вопрос, откуда взялся сторонний наблюдатель, его вселенная и первопричина всего этого.