Сложение алгебраических дробей одинаковыми знаменателями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (8-й класс)
В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.
Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: 
.
При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: 
. Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние
Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.
При-мер 3. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .
При-мер 4. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние
Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .
При-мер 5. Вы-честь дроби: .
Ре-ше-ние: .
При-мер 6. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.
При-мер 7. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: .
При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.
При-мер 8. Упро-стить: .
Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.
Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.
При-мер 1. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ние
Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .
Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.
; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .
После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).
Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.
По-лу-ча-ем: 
.
Ответ: .
Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
При-мер 2. Сло-жить дроби: .
Ре-ше-ние:
Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.
.
Ответ: .
Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :
1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.
2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).
3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.
4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей
1.
Привести все дроби к общему знаменателю;
если они с самого начала имели одинаковые
знаменатели, то этот шаг алгоритма
опускают.
2.
Выполнить сложение (вычитание) полученных
дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример 1. Выполнить действия:
а) ;
б) ;
в) 
.
Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в уроке "Основное свойство алгебраической дроби". Опираясь на указанный пример, получаем:
Самое
трудное в приведенном алгоритме - это,
конечно, первый шаг: отыскание общего
знаменателя и приведение дробей к общему
знаменателю. В примере 1 вы этой трудности,
может быть, не ощутили, поскольку мы
воспользовались готовыми результатами
из § 2.
Чтобы выработать правило
отыскания общего знаменателя,
проанализируем пример 1.
Для дробей и общим знаменатель есть число 15 - оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей
и
общим знаменателем является одночлен .
Он делится и на
и на ,
т. е. на оба одночлена, служащие
знаменателями дробей. Обратите внимание:
число 12 - наименьшее общее кратное
чисел 4 и 6. Переменная входит
в знаменатель первой дроби с показателем
2, в знаменатель второй дроби - с
показателем 3. Это наибольшее значение
показателя 3 фигурирует в общем
знаменателе.
Для дробей
и
общим знаменателем служит произведение 
- оно делится и на знаменатель и на
знаменатель.
При отыскании общего
знаменателя приходится, естественно,
все заданные знаменатели разлагать на
множители (если это не было подготовлено
в условии). А далее следует провести
работу по этапам: найти наименьшее общее
кратное для числовых коэффициентов
(речь идет о целочисленных коэффициентах),
определить для каждого несколько раз
встречающегося буквенного множителя
наибольший показатель степени, собрать
все это в одно произведение.
Теперь
можно оформить соответствующий алгоритм.
Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей
Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).
Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.
Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.
Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей и общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен . Дело в том, что и 30, и 60, и можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей и общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена , может быть и и . Чем же одночлен лучше, чем , чем ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм - это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.
Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби и , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным множителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби - число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3). Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:
Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей и является одночлен . Дополнительный множитель для первой дроби равен (поскольку ), для второй дроби он равен 2 (поскольку ). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:
.
Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.
Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
Разложить все знаменатели на множители.
Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.
Пример
2.
Упростить
выражение 
.
Решение.
Первый
этап.
Найдем
общий знаменатель и дополнительные
множители.
Имеем
Первый знаменатель берем целиком, а из второго - добавляем множитель , которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель .
Удобно расположить записи в виде таблицы:
|
Знаменатели |
Общий знаменатель |
Дополнительные множители |
Второй
этап.
Выполним
преобразования:
При
наличии некоторого опыта первый этап
можно не выделять, выполняя его
одновременно со вторым этапом.
В
заключение рассмотрим более сложный
пример (для желающих).
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Первый
этап.
Разложим
все знаменатели на
множители:
Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители и (или ), из третьего - недостающий множитель (поскольку третий знаменатель содержит множитель ).
|
Знаменатели |
Общий знаменатель |
Дополнительные множители |
Как выполнять сложение алгебраических (рациональных) дробей?
Чтобы сложить алгебраические дроби, нужно:
1) Найти наименьший этих дробей.
2) Найти дополнительный множитель к каждой дроби (для этого надо новый знаменатель разделить на старый).
3) Дополнительный множитель умножить на числитель и знаменатель.
4) Выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями
(чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же).
Примеры сложения алгебраических дробей.
Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. В данном случае он равен ab.
Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый. ab:a=b, ab:(ab)=1.
В числителе есть общий множитель a. Выносим его за скобку и сокращаем дробь на a:
Знаменатели данных дробей — многочлены, поэтому их нужно их попытаться . В знаменателе первой дроби есть общий множитель x, во второй — 5. Выносим их за скобки:
Общий знаменатель состоит из всех входящих в знаменателе множителей и равен 5x(x-5).
Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, новый знаменатель делим на старый.
(Если не нравится деление, можно поступить иначе. Рассуждаем так: на что нужно умножить старый знаменатель, чтобы получить новый? Чтобы из x(x-5) получить 5x(x-5), надо первое выражение умножить на 5. Чтобы из 5(x-5) получить 5x(x-5), надо 1-е выражение умножить на x. Таким образом, дополнительный множитель к первой дроби равен 5, ко второй — x).
В числителе — полный квадрат разности. Сворачиваем его по формуле и сокращаем дробь на (x-5):
Знаменатель первой дроби — многочлен. На множители он не раскладывается, поэтому общий знаменатель данных дробей равен произведению знаменателей m(m+3):
Многочлены, стоящие в знаменателях дробей, . В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, в знаменателе второй дроби — 2:
В знаменателе первой дроби в скобках — разность квадратов.
сформировать способность к выполнению действий (сложения и вычитания) с алгебраическими дробями с разными знаменателями, опираясь на правило сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;
Оборудование: Демонстрационный материал.
Задания для актуализации знаний:
1) +; 2) -;
3) + ; 4) +; 5) -.
1) Алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями, надо:
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю.
- Сложить или вычесть полученные дроби.
2) Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
- Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в общем (новом) знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
3) Эталоны к самостоятельной работе с самопроверкой:
3) Карточка для этапа рефлексии.
- Данная тема мне понятна.
- Я знаю, как найти дополнительные множители к каждой из дробей.
- Я умею находить новые числители для каждой из дробей.
- В самостоятельной работе у меня всё получалось.
- Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе.
- Я доволен своей работой на уроке.
ХОД УРОКА
1. Самоопределение к деятельности.
Цели этапа:
- Включение учащихся в учебную деятельность: продолжение путешествия по стране “Алгебраические выражения”.
- Определение содержательных рамок урока: продолжение работать с алгебраическими дробями.
Организация учебного процесса на этапе 1:
Доброе утро, ребята! Мы продолжаем наше увлекательное путешествие по стране “Алгебраические выражения”.
С какими “обитателями” страны мы встречались на предыдущих уроках? (С алгебраическими выражениями.)
Что мы можем выполнять со знакомыми нам алгебраическими выражениями? (Сложение и вычитание.)
Какая характерная особенность алгебраических дробей, которые мы уже умеем складывать и вычитать? (Мы складываем и вычитаем дроби, имеющие одинаковые знаменатели.)
Верно. Но мы все вместе хорошо понимаем, что навыков выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, недостаточно. Как вы считаете, что ещё необходимо нам научиться делать? (Выполнять действия с дробями, имеющими разные знаменатели.)
Молодцы! Тогда продолжим наше путешествие? (Да!)
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Цели этапа:
- Актуализировать знания о выполнении действий с дробями с одинаковыми знаменателями, приёмы устных вычислений.
- Зафиксировать затруднение.
Организация учебного процесса на этапе 2:
На доске записано несколько примеров на выполнение действий с дробями:
5) -=-=
=.
Учащимся предлагается в громкой речи озвучить свои варианты решения.
В первом примере ребята без труда выдают правильный ответ, вспоминая алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Когда уже прозвучал комментарий к примеру № 2, учитель акцентирует внимание на примере № 2:
Ребята, посмотрите, что у нас интересного в примере № 2? (Мы не только выполняли действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели, но и выполняли сокращение получившейся алгебраической дроби: вынесли знак “минус” за скобки, в числителе и знаменателе получили одинаковые множители, на которые впоследствии мы и сократили результат.)
Очень хорошо, что вы не забыли, что основное свойство дроби применимо не только к обыкновенным, но и алгебраическим дробям!
Кто же прокомментирует для всех решение следующих трёх примеров?
Скорее всего, найдётся ученик, который без труда решит пример № 3.
Чем же ты воспользовался при решении примера № 3? (Мне помог алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.)
Как именно ты действовал? (Я привёл алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю 15, а затем сложил их.)
Замечательно! А как у нас обстоят дела с двумя последними примерами?
Когда дело доходит до следующих двух примеров, ребята (каждый для себя) фиксируют возникшее затруднение.
Слова учеников приблизительно такие:
Я затрудняюсь выполнить примеры 4–5, так как передо мной алгебраические дроби, не с “одинаковыми” знаменателями, и в состав этих разных знаменателей входят переменные (№ 4), а в № 5 вообще в знаменателях стоят буквенные выражения!..”
Ответ на задания 4–5 не получены.
3. Выявление места и причин затруднений и постановка цели деятельности.
Цели этапа:
- Зафиксировать отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности.
- Сформулировать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
Ребята? Где же возникло затруднение? (В примерах 4–5.)
Почему же при их решении вы не готовы обсудить решение и дать ответ? (Потому что алгебраические дроби, предложенные в этих заданиях, имеют разные знаменатели, а нам знаком алгоритм выполнения действий с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели.
Что же нам ещё надо уметь делать? (Надо научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)
Я согласна с вами. Как можно сформулировать тему нашего сегодняшнего урока? (Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.)
Тема урока записывается в тетрадях.
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Цель этапа:
- Построение детьми нового способа действий.
- Фиксация алгоритма приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Организация учебного процесса на этапе 4:
Какую же цель мы сегодня поставим перед собой на уроке? (Научиться складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями.)
Как же быть? (Для этого мы должны построить алгоритм дальнейшей работы с алгебраическими дробями.)
Что нам необходимо придумать для достижения цели урока? (Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю, чтобы потом работать по привычному нам правилу сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.)
Работа может быть организованы в группах, каждой группе даётся лист бумаги и маркер. Учащиеся могут предложить свои варианты алгоритма в виде перечисления шагов. На работу отводится 5 минут. Группы вывешивают свои варианты алгоритма или правила, и дальше проводится анализ каждого варианта.
Скорее всего, кто-то из учащихся обязательно проведёт аналогию своего алгоритма с алгоритмом сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают и вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Впоследствии этого выводится единый вариант. Он может быть таким:
- Раскладываем все знаменатели на множители.
- Из первого знаменателя выписываем произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.
- Найдём дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.
- Найдём для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.
- Запишем каждую дробь с новым числителем и общим (новым) знаменателем.
Ну что же, применим наше правило для выполнения нерешённых предложенных заданий. Каждое задание (4, 5) проговаривают поочерёдно некоторые учащиеся класса, учитель фиксирует решение на доске.
Мы с вами просто гении! Нами построен алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями. Совместными усилиями нами ликвидировано затруднение, так как перед нами теперь настоящий “путеводитель” (алгоритм) по неизведанной для нас стране “Алгебраические дроби”!
5. Первичное закрепление во внешней речи.
Цель этапа:
- Тренировать способность к приведению алгебраических дробей к общему знаменателю.
- Организовать проговаривание изученного содержания правила-алгоритма во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
Ребята, но все мы хорошо знаем, что просто смотреть и знать “карту местности” - это ещё не путешествие. Что мы должны сделать, чтобы глубже и больше проникнуть в мир алгебраических дробей? (Мы должны решать примеры, и вообще тренироваться в решении примеров, для того, чтобы закрепить наш новый алгоритм.)
Совершенно верно. Поэтому я предлагаю начать наше исследование.
Ученик устно проговаривает план своего решения, учитель корректирует, если допущены некоторые неточности.
Приблизительно это звучит так:
Мы должны подобрать число, которое разделится одновременно на 2 и на 5. Это число 10. Затем подбираем переменные в нужной нам степени. Итак, нашим новым знаменателем будет 10xy. Подбираем дополнительные множители. К первой дроби: 5y, ко второй: 2x. Умножаем подобранные дополнительные множители на каждый старый числитель. Получаем алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, выполняем вычитание по уже привычному для нас правилу.
Я довольна. А теперь наша большая команда разделиться на пары, и мы продолжим наш интересный путь.
№133 (а, г). Учащиеся работают в парах, проговаривая решение друг другу:
а) +=+=
=;
г) +=+=
=.
6. Самостоятельная работа с самопроверкой.
Цели этапа:
- Провести самостоятельную работу.
- Провести самопроверку по готовому эталону для самопроверки.
- Учащиеся зафиксируют затруднения, определяют причины ошибок и исправляют ошибки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
Я внимательно наблюдала за вашей работой и пришла к выводу, что каждый из вас уже готов самостоятельно обдумывать способы и находить решения примеров по нашей сегодняшней теме. Поэтому я предлагаю вам небольшую самостоятельную работу, после завершения которой вам будет предложен эталон с правильным решением и ответом.
№134 (а, б): выполняют работу по вариантам.
После выполнения работы проводится проверка по эталону. Проверяя решения, учащиеся отмечают “+” правильное решение, “?” не верное решение. Желательно, чтобы ученики, допустившие ошибки, объяснили причину, по которой они неправильно выполнили задание.
Проводится анализ и исправление ошибок.
Итак, какие сложности встретились на вашем пути? (Я допустил ошибку при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак “минус”.)
Какая причина этому? (Просто из-за невнимательности, но в будущем буду осторожнее!)
Что ещё показалось нелёгким? (Мне было непросто подобрать дополнительные множители к дробям?)
Тебе обязательно надо изучить подробнее 3 пункт алгоритма, чтобы не возникала такая проблема в дальнейшем!
Были ещё затруднения? (А я просто не привёл подобные слагаемые).
И это поправимо. Когда вы проделаете всё, что возможно по новому алгоритму, необходимо вспомнить и давно изученный материал. В частности, приведение подобных слагаемых, или сокращение дробей и т.п.
7. Включение новых знаний в систему знаний.
Цель этапа: повторить и закрепить изученный на уроке алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.
8. Рефлексия урока.
Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.
Организация учебного процесса на этапе 8:
Какую цель мы поставили в начале урока? (Научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.)
Что мы придумали для достижения цели? (Алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями.)
Что мы ещё использовали при этом? (Мы раскладывали на множители знаменатели, подбирали НОК для коэффициентов, и дополнительные множители для числителей.)
А теперь возьмите какую-нибудь цветную ручку или фломастер и отметьте знаком “+” те высказывания, с истинностью которых вы согласны:
У каждого ученика карточка с фразами. Дети отмечают и показывают учителю.
Молодцы!
Домашнее задание: параграф 4 (учебник); № 126, 127 (задачник).
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.
Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей
Пример 1. Выполнить действия:
Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:
Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.
Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.
Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей
общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.
При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.
Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей
Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание.
На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.
Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).
Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:
Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:
Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.
Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю
Пример 2. Упростить выражение
Решение.
Первый этап.
Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.
Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель
a(2a - 1) (2a +1).
Удобно расположить записи в виде таблицы:
Второй этап.
Выполним преобразования:
При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.
В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).
Пример 3 . Упростить выражение
Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:
1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;
2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);
3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).
Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).
Алгебраические дроби
Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.
Второй этап.
Выполним преобразования:
Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).