Нахождение ряда фурье f x cos 3x. Ряды Фурье: история и влияние математического механизма на развитие науки. Что смущало французских математиков в теории Фурье

Класс TransactionScope предоставляет простой способ пометки блока кода как участвующего в транзакции без необходимости взаимодействия с самой транзакцией. Область транзакции может автоматически выбирать внешнюю транзакцию и управлять ей. В целях обеспечения простоты использования и эффективности при разработке транзакционного приложения рекомендуется использовать класс TransactionScope.

Кроме того, явно зачислять ресурсы в транзакцию не требуется. Любой диспетчер ресурсов System.Transactions (например SQL Server 2005) может обнаружить существование внешней транзакции, созданной областью, и автоматически зачислиться в эту транзакцию.

Создание области транзакции

Ниже представлен простой пример использования класса TransactionScope.

" This function takes arguments for 2 connection strings and commands to create a transaction " involving two SQL Servers. It returns a value > 0 if the transaction is committed, 0 if the " transaction is rolled back. To test this code, you can connect to two different databases " on the same server by altering the connection string, or to another 3rd party RDBMS " by altering the code in the connection2 code block. Public Function CreateTransactionScope(_ ByVal connectString1 As String, ByVal connectString2 As String, _ ByVal commandText1 As String, ByVal commandText2 As String) As Integer " Initialize the return value to zero and create a StringWriter to display results. Dim returnValue As Integer = 0 Dim writer As System.IO.StringWriter = New System.IO.StringWriter Try " Create the TransactionScope to execute the commands, guaranteeing " that both commands can commit or roll back as a single unit of work. Using scope As New TransactionScope() Using connection1 As New SqlConnection(connectString1) " Opening the connection automatically enlists it in the " TransactionScope as a lightweight transaction. connection1.Open() " Create the SqlCommand object and execute the first command. Dim command1 As SqlCommand = New SqlCommand(commandText1, connection1) returnValue = command1.ExecuteNonQuery() writer.WriteLine("Rows to be affected by command1: {0}", returnValue) " If you get here, this means that command1 succeeded. By nesting " the using block for connection2 inside that of connection1, you " conserve server and network resources as connection2 is opened " only when there is a chance that the transaction can commit. Using connection2 As New SqlConnection(connectString2) " The transaction is escalated to a full distributed " transaction when connection2 is opened. connection2.Open() " Execute the second command in the second database. returnValue = 0 Dim command2 As SqlCommand = New SqlCommand(commandText2, connection2) returnValue = command2.ExecuteNonQuery() writer.WriteLine("Rows to be affected by command2: {0}", returnValue) End Using End Using " The Complete method commits the transaction. If an exception has been thrown, " Complete is called and the transaction is rolled back. scope.Complete() End Using Catch ex As TransactionAbortedException writer.WriteLine("TransactionAbortedException Message: {0}", ex.Message) Catch ex As ApplicationException writer.WriteLine("ApplicationException Message: {0}", ex.Message) End Try " Display messages. Console.WriteLine(writer.ToString()) Return returnValue End Function // This function takes arguments for 2 connection strings and commands to create a transaction // involving two SQL Servers. It returns a value > 0 if the transaction is committed, 0 if the // transaction is rolled back. To test this code, you can connect to two different databases // on the same server by altering the connection string, or to another 3rd party RDBMS by // altering the code in the connection2 code block. static public int CreateTransactionScope(string connectString1, string connectString2, string commandText1, string commandText2) { // Initialize the return value to zero and create a StringWriter to display results. int returnValue = 0; System.IO.StringWriter writer = new System.IO.StringWriter(); try { // Create the TransactionScope to execute the commands, guaranteeing // that both commands can commit or roll back as a single unit of work. using (TransactionScope scope = new TransactionScope()) { using (SqlConnection connection1 = new SqlConnection(connectString1)) { // Opening the connection automatically enlists it in the // TransactionScope as a lightweight transaction. connection1.Open(); // Create the SqlCommand object and execute the first command. SqlCommand command1 = new SqlCommand(commandText1, connection1); returnValue = command1.ExecuteNonQuery(); writer.WriteLine("Rows to be affected by command1: {0}", returnValue); // If you get here, this means that command1 succeeded. By nesting // the using block for connection2 inside that of connection1, you // conserve server and network resources as connection2 is opened // only when there is a chance that the transaction can commit. using (SqlConnection connection2 = new SqlConnection(connectString2)) { // The transaction is escalated to a full distributed // transaction when connection2 is opened. connection2.Open(); // Execute the second command in the second database. returnValue = 0; SqlCommand command2 = new SqlCommand(commandText2, connection2); returnValue = command2.ExecuteNonQuery(); writer.WriteLine("Rows to be affected by command2: {0}", returnValue); } } // The Complete method commits the transaction. If an exception has been thrown, // Complete is not called and the transaction is rolled back. scope.Complete(); } } catch (TransactionAbortedException ex) { writer.WriteLine("TransactionAbortedException Message: {0}", ex.Message); } catch (ApplicationException ex) { writer.WriteLine("ApplicationException Message: {0}", ex.Message); } // Display messages. Console.WriteLine(writer.ToString()); return returnValue; }

Область транзакции начинает действовать после создания нового объекта TransactionScope. При создании областей рекомендуется использовать оператор using (как показано в примере кода). Оператор using предусмотрен как в C#, так и в Visual Basic; он работает как блок try...finally, позволяющий обеспечить правильное удаление области.

При создании экземпляра TransactionScope диспетчер транзакций определяет, в какой транзакции следует участвовать. После определения область всегда участвует в этой транзакции. Решение принимается на основе двух факторов: значения параметра TransactionScopeOption в конструкторе и наличия внешней транзакции. Внешняя транзакция - это транзакция, в рамках которой выполняется ваш код. Ссылку на внешнюю транзакцию можно получить, вызвав статическое свойство Current класса Transaction. Дополнительные сведения об использовании этого параметра см. в подразделе "Управление потоком транзакций с помощью объекта TransactionScopeOption" данного раздела.

Завершение области транзакции

Когда приложение завершает все операции, подлежащие выполнению в транзакции, следует вызвать метод Complete только один раз, чтобы информировать диспетчер транзакций о возможности фиксации данной транзакции. Вызов метода Complete рекомендуется разместить в качестве последнего оператора блока using.

Если данный метод не вызывается, транзакция прерывается, поскольку диспетчер транзакций интерпретирует это событие как системный сбой или возникновение исключения в области транзакции. Однако вызов этого метода не гарантирует, что транзакция будет зафиксирована. Это просто способ информирования диспетчера транзакций о состоянии. После вызова метода Complete доступ к внешней транзакции с помощью свойства Current невозможен. При попытке такого доступа возникает исключение.

Если транзакция создана объектом TransactionScope, фактическая фиксация транзакции выполняется диспетчером транзакций после последней строки кода в блоке using. Если транзакция создана не этим объектом, фиксация происходит при каждом вызове метода Commit владельцем объекта CommittableTransaction. При этом диспетчер транзакций вызывает диспетчеры ресурсов и сообщает им, чтобы они выполнили фиксацию или откат в зависимости от того, был ли вызван метод Complete объекта TransactionScope.

Использование оператора using обеспечивает вызов метода Dispose объекта TransactionScope даже в случае возникновения исключения. Вызов метода Dispose отмечает конец области транзакции. Исключения, возникающие после вызова данного метода, могут не воздействовать на транзакцию. Данный метод также восстанавливает предыдущее состояние внешней транзакции.

Если область создает транзакцию и эта транзакция прерывается, возникает исключение TransactionAbortedException. Если диспетчер транзакций не может принять решение о фиксации, возникает исключение TransactionIndoubtException. В случае фиксации транзакции исключения не возникают.

Откат транзакции

Если требуется откатить транзакцию, не следует вызывать метод Complete в пределах области транзакции. Например, можно вызвать исключение в пределах области. При этом будет выполнен откат транзакции, в которой участвует область.

Управление потоком транзакций с помощью объекта TransactionScopeOption

Область транзакции можно сделать вложенной, вызвав метод, использующий объект TransactionScope, из метода, использующего собственную область, как в случае метода RootMethod в следующем примере.

Void RootMethod() { using(TransactionScope scope = new TransactionScope()) { /* Perform transactional work here */ SomeMethod(); scope.Complete(); } } void SomeMethod() { using(TransactionScope scope = new TransactionScope()) { /* Perform transactional work here */ scope.Complete(); } }

Самая верхняя область транзакции называется корневой областью.

Класс TransactionScope предоставляет несколько перегруженных конструкторов, принимающих перечисление TransactionScopeOption, которое определяет поведение области транзакции.

Предусмотрено три варианта поведения объекта TransactionScope:

присоединиться к внешней транзакции или создать новую транзакцию, если она не существует;

стать новой корневой областью, т. е. запустить новую транзакцию, представляющую собой новую внешнюю транзакцию внутри собственной области;

не принимать участие в транзакции, в результате внешняя транзакция отсутствует.

Если область создана со значением Required и внешняя транзакция существует, область присоединяется к этой транзакции. Если внешняя транзакция отсутствует, область создает новую транзакцию и становится корневой областью. Это значение по умолчанию. В случае использования значения Required поведение кода, находящегося внутри области, должно быть одинаковым в обоих случаях: область является корневой или область только присоединяется к транзакции.

Если область создана со значением RequiresNew, она является корневой областью. Область запускает новую транзакцию, которая становится новой внешней транзакцией внутри области.

Если область создана со значением Suppress, она не принимает участие в транзакции независимо от существования внешней транзакции. В качестве внешней транзакции области, созданной с этим значением, всегда задано значение null.

Сводка рассмотренных выше значений представлена в следующей таблице.

После присоединения объекта TransactionScope к существующей внешней транзакции удаление объекта области может не привести к завершению транзакции, если только область не прервет транзакцию. Если внешняя транзакция была создана корневой областью, метод Commit вызывается для транзакции только после удаления корневой области. Если транзакция была создана вручную, она завершается в случае прерывания или в случае фиксации ее создателем.

В следующем примере показан объект TransactionScope, создающий три вложенных объекта области с разными значениями перечисления TransactionScopeOption.

Using(TransactionScope scope1 = new TransactionScope()) //Default is Required { using(TransactionScope scope2 = new TransactionScope(TransactionScopeOption.Required)) { ... } using(TransactionScope scope3 = new TransactionScope(TransactionScopeOption.RequiresNew)) { ... } using(TransactionScope scope4 = new TransactionScope(TransactionScopeOption.Suppress)) { ... } }

В примере показан блок кода без внешней транзакции, создающий новую область (scope1) со значением Required. Область scope1 является корневой, поскольку она создает новую транзакцию (транзакцию A) и делает ее внешней транзакцией. Затем Scope1 создает три дополнительных объекта с разными значениями TransactionScopeOption. Например, объект scope2 создается со значением Required; поскольку существует внешняя транзакция, этот объект присоединяется к первой транзакции, созданной объектом scope1. Обратите внимание, что scope3 является корневой областью новой транзакции, а scope4 не имеет внешней транзакции.

Несмотря на то что значение по умолчанию Required является наиболее часто используемым значением перечисления TransactionScopeOption, каждое из остальных значений имеет свое уникальное назначение.

Значение Suppress полезно использовать, если требуется сохранить операции, выполняемые разделом кода, и не прерывать внешнюю транзакцию в случае сбоя этих операций (например, если требуется выполнить операции аудита или ведения журнала либо опубликовать события для подписчиков независимо от результата завершения внешней транзакции [фиксация или откат]). Это значение позволяет использовать раздел кода, не относящийся к транзакции, внутри области транзакции, как показано в следующем примере.

Using(TransactionScope scope1 = new TransactionScope()) { try { //Start of non-transactional section using(TransactionScope scope2 = new TransactionScope(TransactionScopeOption.Suppress)) { //Do non-transactional work here } //Restores ambient transaction here } catch {} //Rest of scope1 }

Голосование во вложенной области

Несмотря на то что вложенная область может присоединяться к внешней транзакции корневой области, вызов метода Complete во вложенной области не оказывает воздействия на корневую область. Транзакция будет зафиксирована, только если все области из корневой области вплоть до последней вложенной области проголосуют за фиксацию транзакции. Если не вызвать метод Complete во вложенной области, то включающая транзакция будет немедленно прекращена, что отразится на корневой области.

Задание времени ожидания для объекта TransactionScope

Некоторые перегруженные конструкторы объекта TransactionScope принимают значение типа TimeSpan, которое используется для контроля времени ожидания транзакции. Нулевое значение указывает на бесконечное время ожидания. Значение бесконечного времени ожидания в основном полезно использовать при отладке, когда требуется изолировать проблему в бизнес-логике путем пошагового выполнения кода, но не требуется, чтобы истекло время ожидания отлаживаемой транзакции, пока осуществляется поиск проблемы. При использовании значения бесконечного времени ожидания во всех остальных случаях будьте чрезвычайно осторожны, поскольку оно переопределяет механизмы защиты от взаимоблокировок транзакций.

Как правило, при задании времени ожидания для объекта TransactionScope значения, отличные от значения по умолчанию, используются в двух случаях. Первый случай относится к процессу разработки, когда требуется проверить, как приложение обрабатывает прерванные транзакции. Задав малое значение времени ожидания (например, равное одной миллисекунде), можно вызвать прерывание транзакции и проверить код обработки ошибки. Второй случай относится к проверке участия области в состязании за ресурсы, приводящем к взаимоблокировкам; эта проверка заключается в задании времени ожидания, которое меньше значения по умолчанию. В этом случае требуется как можно скорее прервать транзакцию без ожидания истечения времени ожидания по умолчанию.

Если область присоединяется к внешней транзакции и задает время ожидания, меньшее заданного для внешней транзакции, к объекту TransactionScope применяется новое (меньшее) значение времени ожидания; при этом область должна завершиться в указанное время, иначе транзакция будет прервана автоматически. Если значение времени ожидания вложенной области превышает значение времени ожидания внешней транзакции, первое не оказывает никакого воздействия.

Задание уровня изоляции для объекта TransactionScope

Некоторые перегруженные конструкторы объекта TransactionScope принимают структуру типа TransactionOptions, позволяющую задать уровень изоляции в дополнение к значению времени ожидания. По умолчанию транзакция выполняется со значением уровня изоляции Serializable. Значения, отличные от Serializable, обычно используются в случае систем, в которых преобладают операции чтения. Это требует глубокого понимания теории обработки транзакций и семантики транзакций, проблем параллелизма, а также последствий, влияющих на целостность системы.

Кроме того, не все диспетчеры ресурсов поддерживают все уровни изоляции; диспетчеры ресурсов могут решить участвовать в транзакции на более высоком уровне, чем настроенный.

Каждый уровень изоляции, кроме Serializable, сопряжен с проблемой нарушения целостности, возникающей в результате доступа других транзакций к тем же самым данным. Разница между различными уровнями изоляции заключается в порядке использования блокировок для чтения и блокировок для записи. Блокировка может действовать только во время доступа транзакции к данным в диспетчере ресурсов или пока транзакция не будет зафиксирована или прервана. Первый вариант обеспечивает более высокую производительность, второй - более высокую согласованность. Два вида блокировок и два вида операций (чтение/запись) образуют четыре базовых уровня изоляции. Дополнительные сведения см. в разделе IsolationLevel.

При использовании вложенных объектов TransactionScope все вложенные области следует настроить на использование строго одного уровня изоляции, если им необходимо присоединиться к внешней транзакции. Если при попытке присоединения вложенного объекта TransactionScope к внешней транзакции обнаруживается, что для него задан другой уровень изоляции, возникает исключение ArgumentException.

Взаимодействие с транзакциями COM+

Чтобы задать способ взаимодействия с транзакциями COM+ при создании нового экземпляра TransactionScope, можно использовать перечисление EnterpriseServicesInteropOption в одном из конструкторов. Дополнительные сведения см. в разделе

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими и математически описываются периодическими функциями. К таким функциям относятся sin (x ) , cos (x ) , sin (wx ), cos (wx ) . Сумма двух периодических функций, например, функция вида , вообще говоря, уже не является периодической. Но можно доказать, что если отношение w 1 / w 2 – число рациональное, то эта сумма есть периодическая функция.

Простейшие периодические процессы – гармонические колебания – описываются периодическими функциями sin (wx ) и cos (wx ). Более сложные периодические процессы описываются функциями, составными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида sin (wx ) и cos (wx ).

3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье

Рассмотрим функциональный ряд вида:

Этот ряд называется тригонометрическим ; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,а 2 , b 2 …, a n , b n ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда. Ряд (1) часто записывается следующим образом:

. (2)

Так как члены тригонометрического ряда (2) имеют общий период
, то и сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией с периодом
.

Допустим, что функция f (x ) есть сумма этого ряда:

. (3)

В таком случае говорят, что функция f (x ) раскладывается в тригонометрический ряд. Предполагая, что этот ряд сходится равномерно на промежутке
, можно определить его коэффициенты по формулам:

,
,
. (4)

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Фурье.

Тригонометрический ряд (2), коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (4), называются рядом Фурье , соответствующим функции f (x ).

Таким образом, если периодическая функция f (x ) является суммой сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

3.3. Сходимость ряда Фурье

Формулы (4) показывают, что коэффициенты Фурье могут быть вычислены для любой интегрируемой на промежутке

-периодической функции, т.е. для такой функции всегда можно составить ряд Фурье. Но будет ли этот ряд сходиться к функцииf (x ) и при каких условиях?

Напомним, что функция f (x ), определенная на отрезке [ a ; b ] , называется кусочно-гладкой, если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода.

Следующая теорема дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть
-периодическая функцияf (x ) является кусочно-гладкой на
. Тогда ее ряд Фурье сходится кf (x ) в каждой ее точке непрерывности и к значению 0,5(f (x +0)+ f (x -0)) в точке разрыва.

Пример1.

Разложить в ряд Фурье функцию f (x )= x , заданную на интервале
.

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (4) и метод интегрирования по частям
, найдем коэффициенты Фурье:

Таким образом, ряд Фурье для функции f (x ) имеет вид.