Как найти y наибольшее. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Общая схема исследования функций и построения графиков

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.

Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования . Все это есть в этой табличке:

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.

Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:

Пример: Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].

Шаг 1. Берем производную.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Шаг 2. Находим точки экстремума.

Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.

Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Делаем обратную замену x^2 = t:

X_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)

Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 - это и есть наши точки экстремума.

Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.

Метод подстановки.

В условии нам был дан отрезок [b][–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную - это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Значит наибольшее значение функции это [b]44 и достигается оно в точки [b]-1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].

Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:

Через промежутки знакопостоянства.

Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.

Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.

Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс , достигается локальный минимум функции . Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот .

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из Открытого банка заданий для .

Как обычно, сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1 . Решим задание В15 (№ 245184)

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения функции

б) Найдем производную функции .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

2 . Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:

Ответ: 5

3 . Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при . Проверим, принадлежит ли ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие title="4-2x-x^2>0"> при .

Title="4-2(-1)-{(-1)}^2>0">,

значит, точка принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки :

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке . Теперь найдем значение функции при :

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

В нашем примере внешняя функция - возрастает на всей области определения. Под знаком логарифма стоит выражение - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке . Далее подставляем это значение х в уравнение функции и находим ее наибольшее значение.

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

О чем мультфильм «Шрек навсегда»
Мультфильм: «Шрек навсегда» Год выпуска: 2010 Премьера (РФ): 20 мая 2010 г. Страна: США Режиссер: Майкл Питчел Сценарий: Джош Клауснер, Даррен Лемке Жанр: семейная комедия, фэнтези, приключения Официальный сайт: www.shrekforeverafter.com Сюжет муль

Можно ли сдавать кровь во время менструации
Врачи не рекомендуют сдавать кровь во время месячных, т.к. потери крови, хоть и не в значительном количестве, чреваты снижением уровня гемоглобина и ухудшением самочувствия женщины. Во время процедуры сдачи крови ситуация с самочувствием может обостриться вплоть до открытия кровотечения. Поэтому женщинам следует воздержаться от донации крови во время менструаций. И уже на 5-ый день после их оконча

Сколько ккал/час расходуется при мытье полов
Виды физической активности Расход энергии, ккал/час Приготовление пищи 80 Одевание 30 Вождение автомобиля 50 Вытирание пыли 80 Еда 30 Работа в саду 135 Глажение белья 45 Уборка постели 130 Хождение по магазинам 80 Сидячая работа 75 Колка дров 300 Мытье полов 130 Секс 100-150 Аэробные танцы низкой интенс

Что означает слово "жулик"
Жулик — это вор, занимающийся мелкими кражами, или плутоватый человек, склонный к мошенническим проделкам. Подтверждение этому определению содержится в этимологическом словаре Крылова, согласно которому слово «жулик» образовано от слова «жуль» (вор, мошенник), родственного глаголу &la

Как называется последний опубликованный рассказ братьев Стругацких
Небольшой рассказ Аркадия и Бориса Стругацких "К вопросу о циклотации" был впервые опубликован в апреле 2008 года в альманахе фантастики "Полдень. XXI век" (приложение к журналу "Вокруг света", изадется под редакцией Бориса Стругацкого). Публикация была приурочна к 75-летию Бориса Стругацкого.

Где можно почитать рассказы участников прграммы Work And Travel USA
Work and Travel USA (работай и путешествуй в США) - популярная программа студенческого обмена, по которой можно провести лето в Америке, легально работая в сфере обслуживания и путешествуя. История программыWork & Travel входит в программу межправительственных обменов Cultural Exchange Pro

Уха. Кулинарно-историческая справкаНа протяжении более двух с половиной веков словом «уха» обозначаются супы или отвар из свежей рыбы. Но было время, когда это слово толковалось более широко. Им обозначали суп — не только рыбный, но и мясной, гороховый и даже сладкий. Так в историческом документе — «

Информационно-рекрутинговые порталы Superjob.ru - рекрутинговый портал Superjob.ru работает на российском рынке онлайн-рекрутмента с 2000 года и является лидером среди ресурсов, предлагающих поиск работы и персонала. Ежедневно в базу данных сайта добавляется более 80 000 резюме специалистов и более 10 000 вакансий.

Что такое мотивация
Определение мотивации Мотивация (от лат. moveo — двигаю) — побуждение к действию; динамический процесс физиологического и психологического плана, управляющий поведением человека, определяющий его направленность, организованность, активность и устойчивость; способность человека через труд удовлетворять свои потребности. Мотивац

Кто такой Боб Дилана (Bob Dylan)
Боб Дилан (англ. Bob Dylan, настоящее имя — Роберт Аллен Циммерман англ. Robert Allen Zimmerman; род. 24 мая 1941) — американскийавтор-исполнитель песен, который — по данным опроса журнала Rolling Stone — является второй (

Как транспортировать комнатные растения
После покупки комнатных растений, перед садоводом стоит задача - как доставить невредимыми купленные экзотические цветы. Решить эту проблему помогут знания основных правил упаковки и перевозки комнатных растений. Для переноски или перевозки растения необходимо упаковывать. На какое бы небольшое расстояние не переносились растения, они могут быть повреждены, могут пересохнуть, а зимой &m