Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:

АА 1 _|_ П 1 ;AА 1 ^П 1 =A 1 ;

АА 2 _|_ П 2 ;AА 2 ^П 2 =A 2 ;

Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА 1 АА 2 , перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П 1 с фронтальной плоскостью П 2 вращением вокруг оси П 2 /П 1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П 2 /П 1 . Прямая А 1 А 2 , соединяющая горизонтальную А 1 и фронтальную А 2 проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА 1 =h) и глубиной f(AA 2 =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А 2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f . Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

60.gif

Изображение:

61.gif

Изображение:

7. Вопросы для самопроверки

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

4. Как называется расстояние, определяющее положение точки относительно плоскости проекций П 1 , П 2 ?

7. Как построить дополнительную проекцию точки на плоскости П 4 _|_ П 2 , П 4 _|_ П 1 , П 5 _|_ П 4 ?

9. Как можно построить комплексный чертеж точки по ее координатам?

33. Элементы трехпроекционного комплексного чертежа точки

§ 33. Элементы трехпроекционного комплексного чертежа точки

Для определения положения геометрического тела в пространстве и получения дополнительных сведений на их изображениях может возникнуть необходимость в построении третьей проекции. Тогда третью плоскость проекций располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной плоскости проекций П 1 и фронтальной плоскости проекций П 2 (рис. 62, а). В результате пересечения фронтальной П 2 и профильной П 3 плоскостей проекций получаем новую ось П 2 /П 3 , которая располагается на комплексном чертеже параллельно вертикальной линии связи A 1 A 2 (рис. 62, б). Третья проекция точки А - профильная - оказывается связанной с фронтальной проекцией А 2 новой линией связи, которую называют горизонталь-

Рис. 62

ной. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной горизонтальной линии связи. Причем A 1 A 2 _|_ А 2 А 1 и А 2 А 3 , _| _ П 2 /П 3 .

Положение точки в пространстве в этом случае характеризуется ее широтой - расстоянием от нее до профильной плоскости проекций П 3 , которое обозначим буквой р.

Полученный комплексный чертеж точки называется трехпроек-ционным.

В трехпроекционном чертеже глубина точки АА 2 проецируется без искажений на плоскости П 1 и П 2 (рис. 62, а). Это обстоятельство позволяет построить третью - фронтальную проекцию точки А по ее горизонтальной А 1 и фронтальной А 2 проекциям (рис. 62, в). Для этого через фронтальную проекцию точки нужно провести горизонтальную линию связи A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Затем в любом месте на чертеже провести ось проекций П 2 /П 3 _|_ А 2 А 3 , измерить глубину f точки на горизонтальном поле проекции и отложить ее по горизонтальной линии связи от оси проекций П 2 /П 3 . Получим профильную проекцию А 3 точки А.

Таким образом, на комплексном чертеже, состоящем из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи; линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций; две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции.

Необходимо отметить, что на комплексных чертежах, как правило, не ограничивают плоскости проекций и положение их задают осями (рис. 62, в). В тех случаях, когда условиями задачи этого не требу-

ется, проекции точек могут быть даны без изображения осей (рис. 63, а, б). Такая система называется безосновой. Линии связи могут также проводиться с разрывом (рис. 63, б).

62.gif

Изображение:

63.gif

Изображение:

34. Положение точки в пространстве трехмерного угла

§ 34. Положение точки в пространстве трехмерного угла

Расположение проекций точек на комплексном чертеже зависит от положения точки в пространстве трехмерного угла. Рассмотрим некоторые случаи:

• точка расположена в пространстве (см. рис. 62). В этом случае она имеет глубину, высоту и широту;
• точка расположена на плоскости проекций П 1 - она не имеет высоты, П 2 - не имеет глубины, Пз - не имеет широты;
• точка расположена на оси проекций, П 2 /П 1 не имеет глубины и высоты, П 2 /П 3 - не имеет глубины и широты и П 1 /П 3 не имеет высоты и широты.

35. Конкурирующие точки

§ 35. Конкурирующие точки

Две точки в пространстве могут быть расположены по-разному. В отдельном случае они могут быть расположены так, что проекции их на какой-нибудь плоскости проекций совпадают. Такие точки называются конкурирующими. На рис. 64, а приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П 1 [А 1 == В 1 ]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими. Если проекции точек A и В совпадают на плоскости

П 2 (рис. 64, б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости П 3 [А 3 == B 3 ] (рис. 64, в), они называются профильно конкурирующими.

По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих - та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих - та, у которой больше широта.

64.gif

Изображение:

36. Замена плоскостей проекций

§ 36. Замена плоскостей проекций

Свойства трехпроекционного чертежа точки позволяют по горизонтальной и фронтальной ее проекциям строить третью на другие плоскости проекций, введенные взамен заданных.

На рис. 65, а показаны точка А и ее проекции - горизонтальная А 1 и фронтальная А 2 . По условиям задачи необходимо произвести замену плоскостей П 2 . Новую плоскость проекции обозначим П 4 и расположим перпендикулярно П 1 . На пересечении плоскостей П 1 и П 4 получим новую ось П 1 /П 4 . Новая проекция точки А 4 будет расположена на линии связи, проходящей через точку А 1 и перпендикулярно оси П 1 /П 4 .

Поскольку новая плоскость П 4 заменяет фронтальную плоскость проекции П 2 , высота точки А изображается одинаково в натуральную величину и на плоскости П 2 , и на плоскости П 4 .

Это обстоятельство позволяет определить положение проекции A 4 , в системе плоскостей П 1 _|_ П 4 (рис. 65, б) на комплексном чертеже. Для этого достаточно измерить высоту точки на заменяемой плоско-

сти проекции П 2 , отложить ее на новой линии связи от новой оси проекций - и новая проекция точки А 4 будет построена.

Если новую плоскость проекций ввести взамен горизонтальной плоскости проекций, т. е. П 4 _|_ П 2 (рис. 66, а), тогда в новой системе плоскостей новая проекция точки будет находиться на одной линии связи с фронтальной проекцией, причем А 2 А 4 _|_. В этом случае глубина точки одинакова и на плоскости П 1 , и на плоскости П 4 . На этом основании строят А 4 (рис. 66, б) на линии связи А 2 А 4 на таком расстоянии от новой оси П 1 /П 4 на каком А 1 находится от оси П 2 /П 1 .

Как уже отмечалось, построение новых дополнительных проекций всегда связано с конкретными задачами. В дальнейшем будет рассмотрен ряд метрических и позиционных задач, решаемых с применением метода замены плоскостей проекций. В задачах, где введение одной дополнительной плоскости не даст желаемого результата, вводят еще одну дополнительную плоскость, которую обозначают П 5 . Ее располагают перпендикулярно уже введенной плоскости П 4 (рис. 67, а), т. е. П 5 П 4 и производят построение, аналогичное ранее рассмотренным. Теперь расстояния измеряют на заменяемой второй из основных плоскостей проекций (на рис. 67, б на плоскости П 1) и откладывают их на новой линии связи А 4 А 5 , от новой оси проекций П 5 /П 4 . В новой системе плоскостей П 4 П 5 получают новый двухпроекционный чертеж, состоящий из ортогональных проекций А 4 и А 5 , связанных линией связи

Построить комплексные чертежи точек: А (15,30,0), В (30,25,15), С (30,10,15), D (15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1. А (15,30,0); x A = 15 мм; y A = 30мм; z A = 0.

Как Вы думаете, если у точки А координата z A =0, то какое положение она занимает в пространстве?

Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П 1 .

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А ) не изображается, есть только ее проекции.

2. В (30,25,15) и С (30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

x B = 30мм; x C = 30мм

y B = 35мм; y C = 10мм

z B = 15мм; z C = 15мм

У точек В и С : x B = x C = 30мм, z B = z C = 15мм

а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П 1 – П 2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П 1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П 2 проекции точек совпадают: В 2 = (С 2).

в) Для определения видимости относительно П 2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В , которая закрывает собой точку С , т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П 2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).

В системе П 2 П 3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.

3. D (15,30,20); x D = 15мм; y D = 30мм; z D = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D (D 1 , D 2 , D 3).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П 1 -П 2 проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А , следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П 1 та точка, которая расположена выше)

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С, D в один общий.

Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.

При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.

1.Построить точкy: А(2; 1; 3) х А = 2; у A = 1; z A = 3

а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки х A =2 и у A =1 и провести через них прямые, параллельные осям Ох и Оу. Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0) Построена точка A 1 (2;1; 0.)

А(2; 1; 3)

0 у A =1

х A =2 у

A 1 (2;1; 0) 0 у A =1 у

х х A =2 A 1 (2;1; 0)

х

б) далее из точки A 1 (2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху (проводят прямую, параллельную оси Оz ) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.

2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1

z

у B = - 2

B(3; -2; 1) О у

B 1 (3;-2) х B =3

х

3. Построить точку C(-2; 1; 3 ) zC (-2; 1; 3)

Х А = -2; Y A = 1; Z A = 3

х C = - 2 C 1 (-2;1;0)

у A =1 у

4.Дан куб. А...D 1 , ребро которого равно1 . Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ 1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.

z

АВ = ВС = ВВ 1 ВD 1 = =

В 1 (0;0;1) С 1 (0;1;1) = =

А 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)

В(0;0;0) С(0;1;0) у

А(1;0;0) D(1;1;0)

5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.

Отрезок пересекает ось Ох и плоскость хОу в точке

В(1; -1;1)

0(0;0;0)

С(1;0;0)

А(1;1;-1)

6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).

а) АВ = = = =3

б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).

СD = = =

В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.

В (х В; у В;z B)

С ( ; ; )

А(х А; у А; z A)

7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В(11; – 8; 5),

х М = = 7; у М = = - 5; z М = = - 1; С(7; - 5; - 1)

8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:

а) координатных плоскостей

б) координатных прямых

в) начала координат

а) Если точка А 1 симметрична данной относительно координатной плоскости хОу, то разница в
координатах точек будет только в знаке координаты z: А 1 (х;у;-z).

точка А 2 Охz, тогда А 2 (х; -у;z).

точка А 3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А 2 (-х; у;z).

б) Если точка А 4 симметрична данной относительно координатной прямой Ох, то разница в
координатах точек будет только в знаках координат у и z: А 4 (х; -у;-z).

точка А 5 Оу, тогда А 5 (-х; у; -z).

точка А 6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А 6 (-х; -у; z).

в) Если точка А 7 симметрична данной относительно начала координат, то А 6 (-х; -у; -z).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.

Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).

1.Параллельный перенос . В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Если начало координат переходит в точку 0 1 с координатами 0 1 (х 0 ; у 0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х 0 0у 0 выражена формулами:

х = х 0 + х"

у = у 0 + у"

Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х" и у" и наоборот.

у М(х;у) М(х"; у")

0 1 (х 0 ; у 0),х"

х 0 х"

2.Поворот осей координат . В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.

М(х;у)

у 1 х 1

Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х"; у") - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой системе координат.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:

x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin

y = rsin(+ ) y = rcos · sin + rsin · cos

Но rcos = х" и rsin = у" , поэтому

x = х"· cos - у"·sin

y = х"· sin + у"· cos

Письменно ответьте на вопросы:

1. Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
2. Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
3. Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
4. Что называется ортом?
5. Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
6. Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
7. Что называется полярной системой координат?
8. Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?

Выполните задания:

1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)

2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а) Оу; б) Оу; в) Оz;

3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:

а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ

б) от всех трех координатных плоскостей

4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М, относительно а) оси Ох

б) оси Оу

в) оси Оz.

5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.

6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).

7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).

8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).

9. Найдите координаты проекций точек А(2; -3; 5); В (3;-5; ); С(- ; - ; - ).

10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.

Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными , или векторами. Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.

Вектор -это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и направление.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Образование отрезка прямой линии АА 1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а"и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа х а" в пространстве - прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и а" - называются проекциями точки А: а" - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия а" а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а" располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х А, у А и z A .

Например, координата z A точки А, равная отрезку а"а х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х А, равная отрезку аа у - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, х А =20 мм, у А =22мм и z A = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z A и вниз координату у А.Из концов отложенных отрезков - точек a z и а у (рис. 88, а) - проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х А. Полученные точки а" и а - фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а" и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z A ;

2) из точки а у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а у1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а у1 и т. д.