Логарифм от 2. Логарифмы: примеры и решения

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь - собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ - без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Добро пожаловать в калькулятор логарифмов онлайн.

Для чего нужен этот калькулятор. Ну, в первую очередь для того, что бы свериться со своими письменными или умственными расчетами. С логарифмами (в российских школах) столкнуться можно уже в 10-том классе. И эта тема считается достаточно сложной. Решение логарифмов, особенно с большими или дробными числами, знаете ли, дело не легкое. Уж лучше перестраховаться и воспользоваться калькулятором. При заполнении будьте внимательны, не перепутайте основание с числом. Калькулятор логарифмов чем то, схож с калькулятором факториалов, который автоматически выдает несколько решений.
В данном калькуляторе, вам предстоит заполнить всего два поля. Поле для числа и поле для основания. Ну что ж, давайте попробуем обуздать калькулятор на практике. К примеру, вам нужно найти log 2 8 (логарифм 8-ми по основанию 2 или логарифм по основанию 2 числа 8, не пугайтесь разного произношения). Итак, вводим 2 в поле «введите основание», а 8 вводим в поле «введите число». После чего нажимаем «найти логарифм» или enter. Далее калькулятор логарифмов логарифмирует заданное выражение и выводит на ваши экраны такой результат.

Калькулятор логарифмов (вещественных) – этот калькулятор находит логарифм по заданному основанию онлайн.
Калькулятор десятичных логарифмов - это калькулятор, который ищет десятичный логарифм с основанием 10 онлайн.
Калькулятор натуральных логарифмов - этот калькулятор, который ищет логарифм по основанию e онлайн.
Калькулятор двоичных логарифмов – это калькулятор, который находит логарифм по основанию 2 онлайн.

Немного теории.

Понятие вещественного логарифма: Существует множество разных определений логарифма. Сперва, неплохо было бы узнать, что логарифм - это некая алгебраическая запись, обозначенная как log a b, где а – основание, b – число. А читается эта запись так: Логарифм по основанию a числа b. Иногда используется обозначение log b .
Основание, то есть «а» всегда находится внизу. Так как оно всегда возводится в степень.
А теперь собственно, определение самого логарифма:
Логарифмом положительного числа b по основанию a (где a>0, a≠1)называется степень, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Кстати, не только основание должно быть в положительной форме. Число(аргумент), так же должно быть положительным. В противном случае калькулятор логарифмов включит неприятную тревогу. Логарифмирование – это операция нахождения логарифма, по заданному основанию. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:

Возведение в степень	Логарифмирование
	log 10 1000 = 3;
	log 03 0,0081=4;

А операция обратная логарифмированию это – Потенцирование.
Помимо вещественного логарифма, основанием которого может быть какое угодно число(помимо отрицательных чисел, нуля и единицы), существует логарифмы с постоянным основанием. Например, десятичный логарифм.
Десятичный логарифм числа – это логарифм с основанием 10, который записывается как lg6, или lg14. Выглядит как орфографическая ошибка или даже как опечатка, в которой пропущена латинская буква «о».
Натуральный логарифм – это логарифм с основанием равный числу е, например ln7, ln9, е≈2,7. Существует еще двоичный логарифм, который не так важен в математике, как в теории информации и информатике. Основанием двоичного логарифма является 2. Например: log 2 10.
Десятичные и натуральные логарифмы обладают теми же свойствами, что и логарифмы чисел с любым положительным основанием.

log a r b r =log a b или log a b = log a r b r

Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.

Примеры.

1) Сравнить log 3 9 и log 9 81.

log 3 9=2, так как 3 2 =9;

log 9 81=2, так как 9 2 =81.

Значит, log 3 9=log 9 81.

Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=3 2 , а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=9 2 . Получается, что и число и основание первого логарифма log 3 9 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:

Далее, так как извлечение корня n -й степени из числа а есть возведение числа а в степень ( 1 / n ), то из log 9 81 можно получить log 3 9 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:

2) Проверить равенство: log 4 25=log 0,5 0,2.

Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25 ; получаем: log 4 25=log 2 5.

Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5= 1 / 2 . Число под знаком этого логарифма: 0,2= 1 / 5 . Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Таким образом, log 0,5 0,2=log 2 5. Вывод: данное равенство верно.

Решить уравнение:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Приведем логарифмы слева к основанию 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.

3x 2 =5x+2. Получили после потенцирования.

3x 2 -5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

Проверка.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b =(1/ n )∙ log a b

Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .

Найти: 1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , если известно, что log 2 3=b , log 5 2=c.

Решение.

Решить уравнения:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Решение.

Приведем данные логарифмы к основанию 2. Применим формулу: log a n b =(1/ n )∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Приводим подобные слагаемые:

(1+0,5+0,25)·log 2 x=5,25;

1,75·log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. По определению логарифма:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Решение. Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. По определению логарифма:

x 2 -5x+4=0. По теореме Виета:

x 1 =1; x 2 =4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.

Проверим данное уравнение при х=4.

Проверка.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .

Примеры:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Вычислить:

1) log 5 7 , если известно, что lg7 ≈0,8451; lg5 ≈0,6990.

c b / log c a .

log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Ответ: log 5 7 ≈1,209 0≈1,209 .

2) log 5 7 , если известно, что ln7 ≈1,9459; ln5 ≈1,6094.

Решение. Применяем формулу: log a b =log c b / log c a .

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Ответ: log 5 7 ≈1,209 1≈1,209 .

Найдите х:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Используем формулу: log c b / log c a =log a b. Получаем:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10 .

Используем формулу: log c b / log c a =log a b . Получаем:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Страница 1 из 1 1