Каноническая поверхность. Основные поверхности пространства и их построение. Чем отличается этот справочный материал от аналогов

Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми - образующими конуса, - проходящими через данную точку - вершину конуса - и пересекающими данную линию - направляющую конуса. Пусть направляющая конуса имеет уравнения

а вершина конуса имеет координаты Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку ) и через точку направляющей, будут;

Исключая х, у и z из четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены одного измерения) относительно разностей . В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в начале координат . Пусть X, У и Z - координаты любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса. После замены в уравнении конуса X, У и Z соответственно через XX, ХУ, XZ, где X - произвольный множитель, уравнение должно удовлетворяться, так как XX, ХУ и XZ суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку , т. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть однородным относительно текущих координат.

В случае, если вершина конуса лежит в точке мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноных координат, т. е. относительно

Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей

Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, С) конуса и точку направляющей, будут:

Исключим х, у и из четырех данных уравнений. Заменяя через с, определим и у из последних двух уравнений.

Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М 0 называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М 0 и через некоторую точку линии γ. Точка М 0 называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.

Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением

является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс

Доказательство.

Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM 1 – прямая, M (x; y; z) принадлежит?. Так как | | , то, такое что

Так как, то ее координаты x 1 ; y 1 ; z 1 удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем, где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t 2 ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM 1 удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).

Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM 1 лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM 1 =m – прямолинейная образующая поверхности α.

Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:

Это сечение является эллипсом с полуосями а и b . Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О (0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.

Теорема доказана.

Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.

Свойства конуса 2-го порядка .

1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).

2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно

3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О (0,0,0).

4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.

5º Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.

Определение 3 : коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.

С поверхностями 2-го порядка студент чаще всего встречается на первом курсе. Сначала задачи на эту тему могут казаться простыми, но, по мере изучения высшей математики и углубления в научную сторону, можно окончательно перестать ориентироваться в происходящем. Для того чтобы такого не произошло, надо не просто заучить, а понять, как получается та или иная поверхность, как изменение коэффициентов влияет на нее и ее расположение относительно изначальной системы координат и как найти новую систему (такую, в которой ее центр совпадает с началом координат, а параллельна одной из координатных осей). Начнем с самого начала.

Определение

Поверхностью 2 порядка называется ГМТ, координаты которого удовлетворяют общему уравнению следующего вида:

Ясно, что каждая точка, принадлежащая поверхности, должна иметь три координаты в каком-либо обозначенном базисе. Хотя в некоторых случаях геометрическое место точек может вырождаться, например, в плоскость. Это лишь значит, что одна из координат постоянна и равна нулю во всей области допустимых значений.

Полная расписанная форма упомянутого выше равенства выглядит так:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - некоторые константы, x, y, z - переменные, отвечающие аффинным координатам какой-либо точки. При этом хотя бы один из множителей-констант должен быть не равен нулю, то есть не любая точка будет отвечать уравнению.

В подавляющем большинстве примеров многие числовые множители все же тождественно равняются нулю, и уравнение значительно упрощается. На практике определение принадлежности точки к поверхности не затруднено (достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, соблюдается ли тождество). Ключевым моментом в такой работе является приведение последней к каноническому виду.

Написанное выше уравнение задает любые (все указанные далее) поверхности 2 порядка. Примеры рассмотрим далее.

Виды поверхностей 2 порядка

Уравнения поверхностей 2 порядка различаются только значениями коэффициентов A nm . Из общего вида при определенных значениях констант могут получиться различные поверхности, классифицируемые следующим образом:

Цилиндры.
Эллиптический тип.
Гиперболический тип.
Конический тип.
Параболический тип.
Плоскости.

У каждого из перечисленных видов есть естественная и мнимая форма: в мнимой форме геометрическое место вещественных точек либо вырождается в более простую фигуру, либо отсутствует вовсе.

Цилиндры

Это самый простой тип, так как относительно сложная кривая лежит только в основании, выступая в качестве направляющей. Образующими являются прямые, перпендикулярные плоскости, в которой лежит основание.

На графике показан круговой цилиндр - частный случай эллиптического цилиндра. В плоскости XY его проекция будет эллипсом (в нашем случае - кругом) - направляющей, а в XZ - прямоугольником - так как образующие параллельны оси Z. Чтобы получить его из общего уравнения, необходимо придать коэффициентам следующие значения:

Вместо привычных обозначений икс, игрек, зет использованы иксы с порядковым номером - это не имеет никакого значения.

По сути, 1/a 2 и другие указанные здесь постоянные являются теми самыми коэффициентами, указанными в общем уравнении, но принято записывать их именно в таком виде - это и есть каноническое представление. Далее будет использоваться исключительно такая запись.

Так задается гиперболический цилиндр. Схема та же - направляющей будет гипербола.

Параболический цилиндр задается несколько иначе: его канонический вид включает в себя коэффициент p, называемый параметром. На самом деле, коэффициент равен q=2p, но принято разделять его на представленные два множителя.

Есть еще один вид цилиндров: мнимые. Такому цилиндру не принадлежит ни одна вещественная точка. Его описывает уравнение эллиптического цилиндра, но вместо единицы стоит -1.

Эллиптический тип

Эллипсоид может быть растянут вдоль одной из осей (вдоль которой именно зависит от значений постоянных a, b, c, указанных выше; очевидно, что большей оси будет соответствовать больший коэффициент).

Также существует и мнимый эллипсоид - при условии, что сумма координат, помноженная на коэффициенты, равна -1:

Гиперболоиды

При появлении минуса в одной из констант уравнение эллипсоида превращается в уравнение однополостного гиперболоида. Надо понимать, что этот минус не обязательно должен располагаться перед координатой x 3 ! Он лишь определяет, какая из осей будет осью вращения гиперболоида (или параллельна ей, так как при появлении дополнительных слагаемых в квадрате (например, (x-2) 2) смещается центр фигуры, как следствие, поверхность перемещается параллельно осям координат). Это относится ко всем поверхностям 2 порядка.

Кроме этого, надо понимать, что уравнения представлены в каноническом виде и они могут быть изменены с помощью варьирования констант (с сохранением знака!); при этом их вид (гиперболоид, конус и так далее) останется тем же.

Такое уравнение задает уже двуполостный гиперболоид.

Коническая поверхность

В уравнении конуса единица отсутствует - равенство нулю.

Конусом называется только ограниченная коническая поверхность. На картинке ниже видно, что, по сути, на графике окажется два так называемых конуса.

Важное замечание: во всех рассматриваемых канонических уравнениях константы по умолчанию принимаются положительными. В ином случае знак может повлиять на итоговый график.

Координатные плоскости становятся плоскостями симметрии конуса, центр симметрии располагается в начале координат.

В уравнении мнимого конуса стоят только плюсы; ему принадлежит одна единственная вещественная точка.

Параболоиды

Поверхности 2 порядка в пространстве могут принимать различные формы даже при схожих уравнениях. К примеру, параболоиды бывают двух видов.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Эллиптический параболоид, при расположении оси Z перпендикулярно чертежу, будет проецироваться в эллипс.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Гиперболический параболоид: в сечениях плоскостями, параллельными ZY, будут получаться параболы, а в сечениях плоскостями, параллельными XY - гиперболы.

Пересекающиеся плоскости

Есть случаи, когда поверхности 2-ого порядка вырождаются в плоскости. Эти плоскости могут располагаться различными способами.

Сначала рассмотрим пересекающиеся плоскости:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

При такой модификации канонического уравнения получаются просто две пересекающиеся плоскости (мнимые!); все вещественные точки находятся на оси той координаты, которая отсутствует в уравнении (в каноническом - оси Z).

Параллельные плоскости

При наличии только одной координаты поверхности 2-го порядка вырождаются в пару параллельных плоскостей. Не забывайте, на месте игрека может стоять любая другая переменная; тогда будут получаться плоскости, параллельные другим осям.

В этом случае они становятся мнимыми.

Совпадающие плоскости

При таком простом уравнении пара плоскостей вырождается в одну - они совпадают.

Не забывайте, что в случае трехмерного базиса представленное выше уравнение не задает прямую y=0! В нем отсутствуют две другие переменные, но это всего лишь значит, что их значение постоянно и равно нулю.

Построение

Одной из самых сложных задач для студента является именно построение поверхностей 2 порядка. Еще более затруднительно переходить от одной системы координат к другой, учитывая углы наклона кривой относительно осей и смещение центра. Давайте повторим, как последовательно определить будущий вид чертежа аналитическим способом.

Чтобы построить поверхность 2 порядка, необходимо:

привести уравнение к каноническому виду;
определить вид исследуемой поверхности;
построить, опираясь на значения коэффициентов.

Ниже представлены все рассмотренные виды:

Для закрепления подробно распишем один пример такого типа задания.

Примеры

Допустим, имеется уравнение:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Приведем его к каноническому виду. Выделим полные квадраты, то есть скомпонуем имеющиеся слагаемые таким образом, чтобы они были разложением квадрата суммы или разности. Например: если (a+1) 2 =a 2 +2a+1, то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Мы будем проводить вторую операцию. Скобки в данном случае раскрывать не обязательно, так как это только усложнит вычисления, а вот вынести общий множитель 6 (в скобке с полным квадратом игрека) необходимо:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Переменная зэт встречается в этом случае только один раз - ее можно пока не трогать.

Анализируем уравнение на данном этапе: перед всеми неизвестными стоит знак «плюс»; при делении на шесть остается единица. Следовательно, перед нами уравнение, задающее эллипсоид.

Заметьте, что 144 было разложено на 150-6, после чего -6 перенесли вправо. Почему надо было сделать именно так? Очевидно, что самый большой делитель в данном примере -6, следовательно, чтобы после деления на него справа осталась единица, необходимо «отложить» от 144 именно 6 (о том, что справа должна оказаться единица, говорит наличие свободного члена - константы, не помноженной на неизвестную).

Поделим все на шесть и получим каноническое уравнение эллипсоида:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

В использованной ранее классификации поверхностей 2 порядка рассматривается частный случай, когда центр фигуры находится в начале координат. В данном примере он смещен.

Полагаем, что каждая скобка с неизвестными - это новая переменная. То есть: a=x-1, b=y+5, c=z. В новых координатах центр эллипсоида совпадает с точкой (0,0,0), следовательно, a=b=c=0, откуда: x=1, y=-5, z=0. В изначальных координатах центр фигуры лежит в точке (1,-5,0).

Эллипсоид будет получаться из двух эллипсов: первого в плоскости XY и второго в плоскости XZ (или YZ - это не имеет значения). Коэффициенты, на которые делятся переменные, стоят в каноническом уравнении в квадрате. Следовательно, в приведенном примере правильнее было бы делить на корень из двух, единицу и корень из трех.

Меньшая ось первого эллипса, параллельная оси Y, равняется двум. Большая ось, параллельная оси X - двум корням из двух. Меньшая ось второго эллипса, параллельная оси Y, остается той же - она равна двум. А большая ось, параллельная оси Z, равняется двум корням из трех.

С помощью полученных из первоначального уравнения путем преобразования к каноническому виду данных мы можем начертить эллипсоид.

Подводя итоги

Освещенная в этой статье тема довольно обширная, но, на самом деле, как вы можете теперь видеть, не очень сложная. Ее освоение, по сути, заканчивается на том моменте, когда вы заучиваете названия и уравнения поверхностей (и, конечно, как они выглядят). В примере выше мы подробно рассматривали каждый шаг, но приведение уравнения к каноническому виду требует минимальных познаний в высшей математике и не должно вызывать никаких затруднений у студента.

Анализ будущего графика по имеющемуся равенству уже более сложная задача. Но для ее удачного решения достаточно понимать, как строятся соответствующие кривые второго порядка - эллипсы, параболы и прочие.

Случаи вырождения - еще более простой раздел. Из-за отсутствия некоторых переменных упрощаются не только вычисления, как уже было сказано ранее, но и само построение.

Как только вы сможете уверенно назвать все виды поверхностей, варьировать постоянные, превращая график в ту или иную фигуру - тема будет освоена.

Успехов в обучении!

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением :

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h , где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

(2)

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h .

> c (c>0), то и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует. , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c ) и (0; 0; - c ) (плоскости касаются эллипсоида). , то уравнения (2) можно представить в виде

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями и .

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферо й .

2. Однополосный гиперболоид.

Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy . Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

или (4)

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

и ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании

величины a* и b* возрастают бесконечно.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

или (6)

из которых следует, что при

>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются. уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости касаются данной поверхности). уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

(7)

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат. (8)

из которых следует, что при . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскостьz=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

(9)

Основные теоретические сведения

Цилиндрической поверхностью или просто цилиндром называется всякая поверхность, которую можно получить движением прямой, перемещающийся параллельно некоторому вектору и все время пересекающей данную линию, которая носит название направляющей. Движущаяся прямая называется образующей.

Конической поверхностью или просто конусом называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через данную точку, называемую вершиной конуса, и скользящей по данной кривой. Движущаяся прямая называется образующей конуса, а кривая, по которой скользит образующая, - направляющей.

Вращением фигуры вокруг данной прямой (оси вращения)называется такое движение, при котором каждая точка фигуры
описывает окружность с центром на оси вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси, называется поверхностью вращения.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Поверхность второго порядка задается в прямоугольных координатах уравнением второй степени

(7.1)

Путем преобразования координат (поворотом осей и параллельным переносом) уравнение (7.1) приводится к каноническому виду. В случае, когда в уравнении (7.1) отсутствуют члены с произведением координат , это уравнение выделением полных квадратов по,,и параллельным переносом осей координат приводится к каноническому виду подобно тому, как это делалось для линий второго порядка (см. Исследование общего уравнение линии второго порядка). Поверхности второго порядка и их канонические уравнения представлены в табл. 3.

Форму и расположение поверхностей второго порядка обычно изучают методом параллельных сечений. Сущность метода заключается в том, что поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Форма и параметры полученных сечений позволяют выяснить форму самой поверхности.

Таблица 3


Гиперболоид: однополостный, двуполостный,

Параболоид: эллиптический, гиперболический,

эллиптический,

гиперболический,

параболический,

Примеры решения задач

Задача 7.1. Составить уравнение сферы, радиус которой , а центр находится в точке
.

Решение. Сфера – это множество точек, отстоящих от центра на одном и том же расстоянии. Следовательно, обозначив через
координаты произвольной точки
сферы и выразив через них равенство
, будем иметь

Возведя обе части равенства в квадрат, получим искомое каноническое уравнение сферы:

Если центр сферы поместить в начало координат, то уравнение сферы имеет более простой вид:

Ответ.
.

Задача 7.2. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей

(7.1)

Решение. Канонические уравнения образующих через точку
и точку
направляющей, имеет вид

(7.2)

Исключим ,,из уравнений (7.1) и (7.2). Для этого в уравнениях (7.2) заменимнаи определими:

;

Подставив эти значения ив первое уравнение системы (7.1), будем иметь:

или

Полученное уравнение определяет конус второго порядка (см. табл. 3)

Задача 7.3.

Решение. Эта поверхность есть гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси
Действительно, данное уравнение не содержит, а направляющая цилиндра есть гипербола

с центром симметрии в точке
и действительной осью, параллельной оси
.

Задача 7.4. Исследовать и построить поверхность, заданную уравнением

Решение. Пересечем поверхность плоскостью
. В результате имеем

откуда
. Это уравнение параболы в плоскости

Сечение заданной поверхности плоскостью
есть парабола

Сечение плоскостью
есть пара пересекающихся прямых:

Сечение плоскостями, параллельными плоскости
, есть гиперболы:

При
действительная ось гиперболы параллельна оси
, при
оси
. Исследуемая поверхность является гиперболическим параболоидом (по ассоциации с формой, поверхность получила название "седло").

Замечание. Интересным свойством гиперболического параболоида является наличие прямых линий, лежащих всеми своими точками на его поверхности. Такие прямые называются прямолинейными образующими гиперболического параболоида. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие.

Задача 7.5. Какую поверхность определяет уравнение

Решение. Чтобы привести данное уравнение к каноническому виду, выделим полные квадраты переменных ,,:

Сравнивая полученное уравнение с табличными (см. табл. 3), видим, что это уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещен в точку
Путем параллельного переноса системы координат по формулам