Элементы комбинаторики размещения и перестановки презентация. Презентация на тему:Элементы Комбинаторики!!! Соединения в комбинаторике

Элементы
комбинаторики.
Электронное учебно-методическое пособие
для учащихся 9-11 классов.
Автор-составитель:
Каторова О.Г.,
учитель математики
МБОУ «Гимназия №2»
г.Саров

Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел
математики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения
элементов множества в соответствии
с заданными правилами.
«Комбинаторика» происходит от латинского
слова «combina», что в переводе на русский
означает – «сочетать», «соединять».

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Термин "комбинаторика" был
введён в математический обиход
всемирно
известным
немецким
учёным Г.В.Лейбницем, который в
1666 году опубликовал "Рассуждения
о комбинаторном искусстве".
Г.В.Лейбниц
В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались
и другие выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер
рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о
циклических расстановках, о построении магических и
латинских квадратов.

Комбинаторика занимается
различного рода соединениями
(перестановки, размещения,
сочетания), которые можно
образовать из элементов
некоторого конечного множества.

Комбинаторные соединения

Перестановки
1.
2.
Перестановки без повторений
Перестановки с повторениями
Размещения
1.
2.
Размещения без повторений
Размещения с повторениями
Сочетания
1.
2.
Сочетания без повторений
Сочетания с повторениями

Перестановки – соединения,
которые можно составить из n
элементов, меняя всеми
возможными способами их порядок.
Формула:

Историческая справка

В 1713 году было опубликовано
сочинение Я. Бернулли "Искусство
предположений", в котором с
достаточной полнотой были изложены
известные к тому времени
комбинаторные факты.
"Искусство
предположений" не было завершено
автором и появилось после его смерти.
Сочинение состояло из 4 частей,
комбинаторике была посвящена
вторая часть, в которой содержится
формула для числа перестановок из n
элементов.

Пример

Сколькими способами могут 8 человек встать в
очередь к театральной кассе?
Решение задачи:
Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек.
На первое место может встать любой из 8 человек, т.е. способов
занять первое место – 8.
После того, как один человек встал на первое место, осталось 7
мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е.
способов занять второе место – 7. Аналогично для третьего,
четвертого и т.д. места.
Используя принцип умножения, получаем произведение. Такое
произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и
называется перестановкой P8.
Ответ: P8 = 8!

Проверь себя

1) Сколькими способами можно поставить
рядом на полке четыре различные
книги?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

2) Сколькими способами можно положить
10 различных открыток в 10 имеющихся
конвертов (по одной открытке в конверт)?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

3) Сколькими способами можно рассадить
восьмерых детей на восьми стульях в столовой
детского сада?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

4) Сколько различных слов можно составить,
переставляя местами буквы в слове
«треугольник» (считая и само это слово)?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

5) Сколькими способами можно установить
дежурство по одному человеку в день среди семи
учащихся группы в течение 7 дней (каждый
должен отдежурить один раз)?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

Перестановки с
повторениями
Всякое размещение с повторениями, в
котором элемент а1 повторяется k1 раз, элемент
a2 повторяется k2 раз и т.д. элемент an
повторяется kn раз, где k1, k2, ..., kn - данные
числа, называется перестановкой с
повторениями порядка
m = k1 + k2 + … + kn, в которой данные
элементы a1, a2, …, an повторяются
соответственно k1, k2, .., kn раз.

Проверь себя

Перестановки с
повторениями
Теорема. Число различных перестановок с
повторениями из элементов {a1, …, an}, в
которых элементы a1, …, an повторяются
соответственно k1, ..., kn раз, равно
(k1+k2+…+kn)!
m!
P
k1! k2! … kn!
k1! k2! … kn!

Проверь себя

Пример
Слова и фразы с переставленными буквами
называют анаграммами. Сколько анаграмм можно
составить из слова «макака»?
Решение.
Всего в слове «МАКАКА» 6 букв (m=6).
Определим сколько раз в слове используется каждая буква:
«М» - 1 раз (k1=1)
«А» - 3 раза (k2=3)
«К» - 2 раза (k3=2)
m!
Р=
k1! k2! …kn!
6!
4*5*6
Р1,3,2 =
= 2 = 60.
1! 3! 2!

Проверь себя

1) Сколько различных слов можно получить,
переставляя буквы слова "математика" ?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

2) Сколькими способами можно расставить на
первой горизонтали шахматной доски комплект
белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два
слона и два коня)?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя
3) У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина.
Каждый день в течение девяти дней подряд она
дает сыну один из оставшихся фруктов.
Сколькими способами это может быть сделано?
РЕШЕНИЕ

Историческая справка
Комбинаторные мотивы можно
заметить еще в символике китайской «Книги
перемен» (V век до н. э.).
В XII в. индийский математик Бхаскара в
своём основном труде «Лилавати» подробно
исследовал задачи с перестановками и
сочетаниями, включая перестановки с
повторениями.

Пример

Размещения
Размещением из n элементов по k
(k n) называется любое множество,
состоящее из любых k элементов, взятых в
определенном порядке из n элементов.
Два размещения из n элементов считаются
различными, если они отличаются самими
элементами или порядком их расположения.
А n(n 1)(n 2) ... (n (k 1))
k
n

Проверь себя

Пример
Сколькими способами из 40 учеников класса
можно выделить актив в следующем составе:
староста, физорг и редактор стенгазеты?
Решение:
Требуется выделить упорядоченные трехэлементные
подмножества множества, содержащего 40
элементов, т.е. найти число размещений без
повторений из 40 элементов по 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

Проверь себя

1. Из семи различных книг выбирают
четыре. Сколькими способами это можно
сделать?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

2. В чемпионате по футболу участвуют
десять команд. Сколько существует
различных возможностей занять
командам первые три места?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

3. В классе изучаются 7 предметов. В среду 4
урока, причем все разные. Сколькими
способами можно составить расписание на
среду?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

Размещения с
повторениями
Размещения с повторениями –
соединения, содержащие n элементов,
выбираемых из элементов m различных
видов (n m) и отличающиеся одно от
другого либо составом, либо порядком
элементов.
Их количество в предположении
неограниченности количества элементов
каждого вида равно

Проверь себя

Пример использования
В библиотеку, в которой есть много
одинаковых учебников по десяти
предметам, пришло 5 школьников,
каждый из которых хочет взять учебник.
Библиотекарь записывает в журнал по
порядку названия (без номера) взятых
учебников без имен учеников, которые их
взяли. Сколько разных списков в журнале
могло появиться?

Историческая справка

Решение задачи
Так как учебники по каждому
предмету одинаковые, и библиотекарь
записывает лишь название (без
номера),то список – размещение с
повторением, число элементов
исходного множества равно 10, а
количество позиций – 5.
Тогда количество разных списков равно
= 100000.
Ответ: 100000

Размещения

Проверь себя!
1. Телефонный номер состоит из 7 цифр.
Какое наибольшее число звонков
неудачник-Петя может совершить
прежде, чем угадает правильный номер.
РЕШЕНИЕ
РЕШЕНИЕ

Пример

Проверь себя!
2. Сколькими способами можно
написать слово, составленное из
четырех букв английского алфавита?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

Проверь себя!
3. В магазине, где есть 4 вида мячей,
решили поставить в ряд 8 мячей. Сколькими
способами можно это сделать, если их
расположение имеет значение?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

Проверь себя!
4. Сколькими способами можно пришить на
костюм клоуна в линию шесть пуговиц
одного из четырех цветов, чтобы получить
узор?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя

Сочетания
Сочетания – соединения, содержащие по
m предметов из n, различающихся друг от
друга по крайней мере одним предметом.
Сочетания – конечные множества, в
которых порядок не имеет значения.

Проверь себя

Сочетания
Формула нахождения количества
сочетаний без повторений:

Проверь себя

Историческая справка
В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения
о комбинаторном искусстве". В своём сочинении
Лейбниц, вводя специальные символы, термины для
подмножеств и операций над ними, находит все k сочетания из n элементов, выводит свойства
сочетаний:
,
,

Проверь себя

Пример использования:
Сколькими способами можно выбрать двух
дежурных из класса, в котором 25 учеников?
Решение:
m = 2 (необходимое количество дежурных)
n = 25 (всего учеников в классе)

Размещения с повторениями

Проверь себя!
1) Сколькими способами можно
делегировать троих студентов на
межвузовскую конференцию из 9 членов
научного общества?
РЕШЕНИЕ

Пример использования

Проверь себя!
2) Десять участников конференции
обменялись рукопожатиями, пожав руку
каждому. Сколько всего рукопожатий было
сделано?
РЕШЕНИЕ

Решение задачи

Проверь себя!
3) В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика.
Сколькими способами можно выбрать из
состава школьного хора 2 девочек и 1 мальчика
для участия в выступлении окружного хора?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя!

4) Сколькими способами можно выбрать 3
спортсменов из группы в 20 человек для
участия в соревнованиях?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя!

5) В классе 10 учебных предметов и 5 разных
уроков в день. Сколькими способами могут
быть распределены уроки в один день?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя!

Сочетания с повторениями
Определение
Сочетаниями с повторениями из m по
n называют соединения, состоящие из n
элементов, выбранных из элементов m
разных видов, и отличающиеся одно от
другого хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из m по n
обозначают

Проверь себя!

Сочетания с повторениями
Если из множества, содержащего n элементов, выбирается
поочередно m элементов, причём выбранный элемент
каждый раз возвращается обратно, то количество способов
произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с
повторениями – составляет

Проверь себя!

Историческая справка
Крупнейший индийский математик
Бхаскара Акария (1114–1185) также
изучал различные виды комбинаторных
соединений. Ему принадлежит трактат
"Сидханта–Широмани" ("Венец учения"),
переписанный в XIII в. на полосках
пальмовых листьев. В нём автор дал
словесные правила для нахождения
и
,указав их применения и поместив
многочисленные примеры

Проверь себя!

Пример использования
Задача №1
Сколько наборов из 7 пирожных
можно составить, если в распоряжении
имеются 4 сорта пирожных?
Решение:

Проверь себя!

Пример использования
Задача №2
Сколько костей находится в обычной
игре "домино"?
Решение: Кости домино можно рассматривать как
сочетания с повторениями по две из семи цифр
множества (0,1,2,3,4,5,6).
Число всех таких
сочетаний равно

Проверь себя!

Проверь себя
Задача 1.
В буфете Гимназии продаются 5 сортов
пирожков: с яблоками, с капустой,
картошкой, мясом и грибами. Скольким
числом способов можно сделать покупку из
10 пирожков?
РЕШЕНИЕ

Сочетания

Проверь себя
Задача 2.
В коробке лежат шары трех цветов-
красного, синего и зеленого. Сколькими
способами можно составить набор из двух
шаров?
РЕШЕНИЕ

Сочетания

Проверь себя
Задача 3.
Сколькими способами можно выбрать 4
монеты из четырех пятикопеечных монет и из
четырех двухкопеечных монет?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя
Задача 4.
Сколько будет костей домино,
если в их
образовании использовать все цифры?
РЕШЕНИЕ

Проверь себя
Задача 5.
Палитра юного импрессиониста состоит из 8
различных красок. Художник берет кистью
наугад любую из красок и ставит цветное
пятно на ватмане. Затем берет следующую
кисть, окунает её в любую из красок и делает
второе пятно по соседству. Сколько
различных комбинаций существует для
шести пятен?
РЕШЕНИЕ

Используемая литература
Алгебра и начала математического
анализа.11 класс/ Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева,
Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. –
М.:Просвещение, 2011.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М., 1969
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – МЦМНО,
2010
ru.wikipedia.org›wiki/История комбинаторики

Слайд 2

Комбинаторика– это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Слайд 3

Вспомним несколько примеров таких задач

1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг? Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Слайд 4

Ответ: 6 комбинаций

Слайд 5

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.

Составим таблицу: слева от 1 – го столбца поместим первые цифры искомых чисел, сверху – вторые цифры этих чисел (чётные цифры, тогда столбцов будет три).

Слайд 6

Так в столбце перечислены все возможные варианты, следовательно, их столько же, сколько клеток в столбце, т.е. 15.

Ответ: 15 чисел

Слайд 7

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решим задачу, перебирая всевозможные варианты, путем кодирования вариантов завтрака Решение: КП КБ КПр КК СП СБ СПр СК К-рП К-рБ К-рПр К-рК Ответ: 12 вариантов.

Слайд 8

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino– соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд. Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами. Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

Слайд 9

Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения: Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению Примени это правило к каждой из решённых задач. 1-я задача: выбор верхней полосы - из 3-х цветов, т.е. n1=3; средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1. n1 n2 n3 = 3 * 2 * 1 = 6 2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы два независимых исхода, поэтому mn = 5 *3 = 15

Слайд 10

Решение задач в классе: № 714, 716,718(а),721

№714. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник - и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дере­во возможных вариантов.

Слайд 11

Решение. Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так. Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары: Б г; б к; б с; б п (4 пары). Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда: Рг; р к; р с; рп (4 пары). Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 2*4=8. Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов. Ответ: б г; б к; б с; б п; р г; р к; р с; р п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.

Слайд 12

№ 716 Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Слайд 13

Решение. Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А. Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила. Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д. Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД. Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС. Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других). Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами (любой вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12. Ответ: 12 способов.

1 слайд

Не нужно нам владеть клинком, Не ищем славы громкой. Тот побеждает, кто знаком С искусством мыслить, тонким. Английский поэт Уордсворт

2 слайд

Введение Цель работы Задачи работы Что же такое «Комбинаторика»? История возникновения Правила решения комбинаторных задач Правило суммы Правило произведения Комбинации С повторениями Без повторений Тезаурус Список используемой литературы и web-ресурсов Заключение Страница автора

3 слайд

Создать справочное пособие для учащихся 10-11 классов, обучающихся на базовом уровне, образовательных учреждений. Подготовить первую часть большого проекта «Теория вероятности как самое встречаемое в нашей жизни явление».

4 слайд

1.1 Подобрать литературу и web – ресурсы по теме «Комбинаторика». 1.2 Исследовать все возможные методы решения комбинаторных задач на основе реальной жизни. 1.3 Проследить историю выделения самостоятельной области математики – комбинаторики. 2.1 Обосновать изучение курса комбинаторики в старшей школе как реальную необходимость при осуществлении курса принципа непрерывности образования «Школа – вуз». 2.2 Наметить возможные варианты введения курса комбинаторики в школьное образовательное пространство. 2.3 Подобрать материал для создания справочника.

5 слайд

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Такие задачи приходиться рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

6 слайд

Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.

7 слайд

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

8 слайд

9 слайд

Задача: На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета? Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами. Правило суммы в комбинаторике: Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент в - n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элементов в, то выбор «а или в» можно сделать m+n способами. Примеры задач

10 слайд

Задача: В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика? Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60. 2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.

11 слайд

Задача: Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С? Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12. Правило произведения: Пусть нужно выбрать к элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, второй – n2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n1· n2·… nк. Примеры задач

12 слайд

Задача: В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд? Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.

13 слайд

14 слайд

15 слайд

Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Количество всех размещений из n элементов по m обозначают: Примеры задач n! – факториал числа n

16 слайд

Задача: Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: Возможно 360 вариантов.

17 слайд

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn Pn=n! Примеры задач

18 слайд

Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Решение

20 слайд

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения. Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Число сочетаний из n элементов по m обозначается: Примеры задач

21 слайд

Задача: Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно:

22 слайд

Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач используются формулы: где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов. Примеры задач Примеры задач Примеры задач

23 слайд

Задача: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение: Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно:

24 слайд

Задача: В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных. Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пирожных по семь -

27 слайд

Мы считаем, что работа достигла своих целей. Мы составили справочное учебное пособие, которое нацелено оживить школьную математику введением в неё интересных задач, посильных для учащихся теоретических вопросов. Работа предназначена для учащихся 10-11 классов, обучающихся на базовом уровне, образовательных учреждений для углубления знаний по математике Отличительной способностью данного пособия являются: посильная для учащихся III ступени теоретическая часть; подбор и составление задач на основе жизненного материала, сказочных сюжетов. Мы надеемся, что наша работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора и мышления, будет способствовать более качественной подготовке к сдаче единого государственного экзамена.

28 слайд

Ученик: Захаров Дмитрий Класс: 10 Руководитель: Торопова Нина Анатольевна МОУ «Средняя образовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №5» г. Красноярска

Перестановки элементов

Слайдов: 24 Слов: 2494 Звуков: 0 Эффектов: 0

Дискретный анализ. Комбинаторика. Перестановки. Нумерация перестановок. Отображение. Пример отображения. Нумерация множества. Теорема о лексикографическом переборе перестановок. Прямой алгоритм лексикографического перебора перестановок. Формальное описание алгоритма. Перебор перестановок. Задача о минимальном числе инверсий. Экзаменационные вопросы. Задача о минимуме скалярного произведения. Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности. Перебор перестановок элементарными транспозициями. - Комбинаторика.ppt

Комбинаторика 9 класс

Слайдов: 44 Слов: 2047 Звуков: 0 Эффектов: 174

Элементы комбинаторики. Не нужно нам владеть клинком, Не ищем славы громкой. Содержание курса. Тема 1. Знакомство с комбинаторикой. Основное содержание: 1. Какую задачу называют комбинаторной. Перестановка. Тематическое планирование. Обобщающий урок по теме «Элементы комбинаторики». Цель урока: I. Фронтальный опрос. Ход урока. Вопрос 1: Как обозначается произведение чисел от 1 до n? Ответ: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n обозначается n! (n! =1 · 2 · 3…n). Вопрос 2: Что называется размещением? По какой формуле вычисляется размещение? Число размещений из n объектов по k обозначают и вычисляют по формуле: - Комбинаторика 9 класс.ppt

Понятие комбинаторики

Слайдов: 23 Слов: 922 Звуков: 0 Эффектов: 2

Комбинаторика. Тонкости. Варианты решения задачи. Область математики. Граф. Дерево возможных вариантов. Комбинаторная задача. Решение элементарных задач. Цифры. 9 правил комбинаторики. Правило произведения. Формула включений и исключений. Решение. Правило размещения. Сигналы. Размещение без повторения. Правило перестановки. Сочетание без повторения. Сочетание с повторением. Капля в море. - Понятие комбинаторики.ppt

Элементы комбинаторики

Слайдов: 15 Слов: 887 Звуков: 0 Эффектов: 20

Тема урока: «элементы комбинаторики» (практикум). Что такое комбинаторика? В чем состоит комбинаторное правило умножения? Что такое перестановки? Записать формулу для нахождения числа перестановок? Что такое факториал? Что такое размещения? Записать формулу для нахождения числа размещений? Что такое сочетания? Записать формулу для нахождения числа сочетаний? В чём различие между перестановками, размещениями и сочетаниями? Подбор комбинаторных задач. Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? Отгадай ребусы. Понятие науки « Комбинаторика». - Элементы комбинаторики.ppt

Комбинаторика и её применение

Слайдов: 28 Слов: 820 Звуков: 0 Эффектов: 1

Комбинаторика и ее применение. Проблемный вопрос. Комбинаторика. Решение комбинаторных задач. Устный счет. Двузначное число. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр. Трехзначное число. Сколько четырехзначных чисел можно составить из 4 цифр. Четырехзначное число. Обществознание и математика. Расписание на вторник. Ученик. Обед. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы. Костюм. На полке лежат 3 книги. Решение. Опыт с листом бумаги. Складывание. Самостоятельная работа. Владелец золотой медали. Области применения комбинаторики. Химия. Комбинаторика вокруг нас. - Комбинаторика и её применение.ppt

Комбинаторика и теория вероятности

Слайдов: 40 Слов: 1127 Звуков: 0 Эффектов: 187

Введение в комбинаторику и теорию вероятностей. Комбинаторика. Дерево вариантов. Квадратные числа. Треугольные числа. Прямоугольные и непрямоугольные числа. Факториал. Перестановки. Восемь участниц финального забега. Цифры. Трёхтомник одного автора. Размещения. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку. Все цифры различны. Сколько существует трёхзначных чисел. Сочетания. Треугольник Паскаля. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных. Выбор букета. Три помидора. Частота и вероятность. Определение. Выбирается один шар. Два игральных кубика. Сложение вероятностей. - Комбинаторика и теория вероятности.ppt

Соединения в комбинаторике

Слайдов: 22 Слов: 1225 Звуков: 0 Эффектов: 43

Виды соединений в комбинаторике. Знакомство с теорией соединений. Раздел математики. Возникновение комбинаторики. Метод решения комбинаторных задач. Полный перебор. Встретились пятеро. Правило произведения. Обобщение правила произведения. Основные задачи комбинаторики. Виды соединений. Перестановки. Размещения. 8 участниц финального забега. Сочетания. Букет. Бином Ньютона. Разные стороны. Лишних знаний не бывает. - Соединения в комбинаторике.ppt

Комбинации

Слайдов: 7 Слов: 205 Звуков: 0 Эффектов: 22

Комбинаторные задачи. Перестановки Размещения Сочетания (выборки). Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состояла из 2 заданий. Работу писали 27 учащихся. Задачу правильно решили 13 уч., а пример-17. не справились с работой 3 ученика. Сколько учеников успешно решили самостоятельную работу. Контрольная работа состояла из задачи и примера. Работу писали 30 уч. Первое задание правильно решили 14 уч., а второе -13. не справились с контрольной 4 ученика. Сколько учеников успешно решили контрольную работу. Задача №1. Решение: АВС, АСВ, ВАС,ВСА,САВ,СВА 6 комбинаций. Перестановки: Задача №2. - Комбинации.ppt

Размещение элементов

Слайдов: 7 Слов: 222 Звуков: 0 Эффектов: 0

Комбинаторика. Размещение и сочитание. Размещение. Сочетание. В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Формулы: Для любых натуральных чисел n и k где n>k,справедливы равенства: Для числа выборов двух элементов из n данных: - Размещение элементов.ppt

Формулы для перестановок, сочетаний, размещений

Слайдов: 11 Слов: 547 Звуков: 0 Эффектов: 0

Формулы для подсчёта количества перестановок. Подарок. Перестановки. Количество перестановок. Размещения. Количество размещений. Сочетания. Количество сочетаний. Слово «факториал». Очередь. Лесник. - Формулы для перестановок, сочетаний, размещений.ppt

Комбинаторные задачи

Слайдов: 6 Слов: 228 Звуков: 0 Эффектов: 2

Комбинаторные задачи. Из цифр 1, 5, 9 составить все трёхзначные числа без повторяющихся цифр. №2. Дерево возможных вариантов. - Комбинаторные задачи.ppt

Задачи по комбинаторике

Слайдов: 9 Слов: 213 Звуков: 0 Эффектов: 20

Комбинаторика. Правило сложения Правило умножения. Задача №1. Сколькими способами можно выбрать одну книгу. Решение: 30 + 40 = 70 (способами). Правило суммы. Задача № 2. Задача № 3. Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера? Решение: 3 * 2 = 6 (способ). Правило умножения. - Задачи по комбинаторике.ppt

«Комбинаторные задачи» 9 класс

Слайдов: 11 Слов: 1126 Звуков: 0 Эффектов: 0

Комбинаторные задачи и начальные сведения из теории вероятностей. Примерное планирование. Комбинаторные задачи. Способы решения комбинаторных задач. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Составьте все возможные трёхзначные числа. Определение. Множество, состоящее из любых К элементов. В каком порядке указаны элементы. Начальные сведения из теории вероятности. На полке стоят 12 книг, из которых 4 – это учебники. - «Комбинаторные задачи» 9 класс.ppt

Примеры комбинаторных задач

Слайдов: 17 Слов: 536 Звуков: 0 Эффектов: 31

Перестановки. Комбинации. Перестановки. Формула перестановки. Количество перестановок. В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов расписания можно составить. Размещения. Состав выбранных объектов. Выбор и перестановка объектов. Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке. Количество трехзначных чисел. Сочетания. Имеется n различных объектов. Варианты распределения. Количество возможных вариантов сочетаний. Сколькими способами можно сформировать бригаду. - Примеры комбинаторных задач.ppt

Решение комбинаторных зада

Слайдов: 39 Слов: 2705 Звуков: 0 Эффектов: 45

Решение комбинаторных задач. Что такое комбинаторика. Из истории комбинаторики. Число различных комбинаций. Лейбниц. Простые и наглядные методы. Методы решения комбинаторных задач. Правило суммы. Правило произведения. Сколько среди них чисел, кратных 11. Сколько существует способов. Сколько различных трехзначных чисел. Флаг в виде четырех горизонтальных полос. Общее количество вариантов. Сколько всего стран. Крестики и нолики. Разные значки. Сколькими способами можно посадить шестерых школьников. Коля сидит на краю. Четырехзначные числа. На входной двери дома установлен домофон. - Решение комбинаторных зада.ppt

Комбинаторные задачи и их решения

Слайдов: 11 Слов: 1585 Звуков: 0 Эффектов: 5

Комбинаторные задачи и их решения. Пояснительная записка. Углубление знаний учащихся. Появление стохастической линии. Требования к уровню подготовки. Учебно-тематический план. Содержание программы. Поурочное планирование. Презентации. Школьнику о теории вероятностей. - Комбинаторные задачи и их решения.ppt

Методы решения комбинаторных задач

Слайдов: 21 Слов: 587 Звуков: 0 Эффектов: 0

Решение комбинаторных задач с помощью графов. Вопросы к уроку. Чем занимается комбинаторика. Что такое граф. Примеры графов. Задача. Пример полного графа. Конверт. Ужасные грабители. Число. Сколько трёхзначных чисел можно составить. Цифры в записи числа. Сколькими способами вы можете рассадить 3-х гостей на 3-х разноцветных табуретках. Правило произведения. Имеющиеся места. Способы. Расписание на пятницу. - Методы решения комбинаторных задач.ppt

Число вариантов

Слайдов: 24 Слов: 797 Звуков: 0 Эффектов: 386

Комбинаторные задачи. Комбинаторика. Выбор. Расположение. Перестановки. Способы решения комбинаторных задач: Таблица вариантов Дерево вариантов Правило умножения. 1. Дерево вариантов. Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное число без повторяющихся цифр. 2 комбинации. Всего 2 3=6 комбинаций. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9? Ответ:15 чисел. Таблица вариантов. Сколько вариантов завтрака есть? Х/б изд. Напитки. Булочка. Кекс. Пряники. Печенье. Чай. Сок. Кефир. Выбор напитка- испытание А. Выбор хл./бул. изделия.- испытание В. Правило умножения. В коридоре висят три лампочки. - Число вариантов.pptx

Принцип Дирихле

Слайдов: 20 Слов: 1358 Звуков: 0 Эффектов: 50

Принцип Дирихле. Биография. Формулировка. Область применения. Задачи. Доказательство. Средние линии треугольника. 11 различных целых чисел. Принцип Дирихле для длин и площадей. Попарно не пересекающиеся отрезки. - Принцип Дирихле.ppt

Граф

Слайдов: 40 Слов: 1071 Звуков: 0 Эффектов: 155

Я решил разобраться какую роль в обычной жизни играют графы. Исследовать роль графов в нашей жизни. Научиться работать с программой подготовки презентаций Microsoft PowerPoint. Что такое граф. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами. Рёбра графа. Вершина графа. Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Нечётная степень. Чётная степень. История возникновения графов. Задача о Кенигсбергских мостах. Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. - Граф.ppt

Виды графов

Слайдов: 15 Слов: 429 Звуков: 0 Эффектов: 11

Графы. Состав графа. Изображение вершин. Неориентированный граф. Граф отношения «переписываются». Ориентированный граф. Взвешенный граф. Семантическая сеть. Иерархия. Дерево – граф иерархической структуры. Корень – главная вершина дерева. Файловая структура. Самое главное. Какая связь между графом и таблицей. Как называется взвешенный граф иерархической структуры. - Виды графов.ppt

Теория графов

Слайдов: 14 Слов: 1029 Звуков: 0 Эффектов: 0

V-множество вершин, E- множество ребер Граф - G(V, Е). G(V, Е, f) V,E – множества, отображение инциденции f: Е? V&V множества Е в V&V. Основы теории графов. Определение инцидентности. Пусть задан абстрактный граф G(V, Е, f). Если f(е) = (x&x), то ребро называется петлей в вершине х. Определение смежности. Теорема 1. В любом конечном графе G(V, Е) количество нечетных вершин - четно. Пример операций разборки. В противном случае маршрут незамкнутый. Цепь - незамкнутый маршрут, состоящий из последовательности различных ребер. Цикл - замкнутый маршрут, состоящий из последовательности различных ребер. - Теория графов.ppt

Применение теории графов

Слайдов: 15 Слов: 895 Звуков: 0 Эффектов: 0

Теория «графов». Несколько слов о памяти. Психический процесс. Человеческая память. Приём развития картографической памяти. Математическая модель. Страны. Столицы. Выполнение заданий. Задания к «графам». Проверочный практикум. Политическая карта. Панама. Возможность. - Применение теории графов.ppt

Кратчайший путь

Слайдов: 36 Слов: 1830 Звуков: 0 Эффектов: 0

Нахождение кратчайшего пути. Содержание. Графы: определения и примеры. Три способа изображения одного графа. Пример двух разных графов. Степень вершины. Смежные вершины и рёбра. Путь в графе. Достижимость. Длина пути. Примеры неориентированных графов. Ориентированные графы. Смешанный граф. Путь в орграфе. Примеры ориентированных графов. Взвешенные графы. Длина пути во взвешенном графе. Примеры взвешенных графов. Способы представления графов. Матрица смежности. Пример матрицы смежности. Преимущества матрицы смежности. Иерархический список. Пример иерархического списка. Преимущества иерархического списка. - Кратчайший путь.ppt

Остовное дерево

Слайдов: 39 Слов: 2332 Звуков: 0 Эффектов: 18

Остовные деревья. Минимальное остовное дерево. Максимальный взвешенный лес. Эквивалентные задачи. Эквивалентность. Доказательство. Условия оптимальности. Оптимальное решение. Алгоритм Краскала. Алгоритм Краскала находит оптимальное решение. Алгоритм Краскала можно реализовать. Связный граф. Как улучшить шаг. Время работы шага. Алгоритм Прима. Алгоритм Прима находит решение. Как реализовать шаг. Максимальный взвешенный ориентированный лес. Минимальное остовное ориентированное дерево. Корневое ориентированное дерево. Эквивалентность трех задач. Ориентированный лес. Ориентированный лес и циклы. -

Он может пригласить в гости одного или несколько из них. Определите общее число возможных вариантов. №3 В 9 «а» классе учатся 25 учащихся, в 9 «б» - 20 учащихся, а в 9 «в» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трёх учащихся из 9 «а», двух -из 9 «б» и одного – из 9 «в». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке? С №1 Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать? №2 Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно; б) Иванов и Петров должны остаться; в)Иванов должен пойти в наряд, а Петров –остаться? (Ответы) Устал - отдохни.

В №1 В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках?