Векторный потенциал. Векторный потенциал магнитного поля
Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:
Решение этого уравнения может быть определено как:
где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:
Многозначность векторного потенциала
Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A"}$, в виде:
при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:
так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$
Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.
Калибровка векторного потенциала
В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:
Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.
Уравнение для векторного потенциала
Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:
где $\overrightarrow{j}$ -- вектор плотности тока, ${\mu }_0$ -- магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:
Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:
$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:
В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:
В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:
где $r$ -- радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:
Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:
где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.
Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.
Пример 1
Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.
Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).
Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]
Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:
\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy"}{\sqrt{{\left(y-y"\right)}^2+r^2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right)(1.2).\]
Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:
Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right).$
Пример 2
Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).
Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:
\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]
где из предыдущей задачи имеем:
Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ -- угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:
На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:
Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:
Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right\}.$
Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:
Решение этого уравнения может быть определено как:
где вектор $\overrightarrow{A\ }$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:
Многозначность векторного потенциала
Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow{B}$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow{A\ }$описывает поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, то и другой потенциал $\overrightarrow{A"}$, в виде:
при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:
так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$
Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.
Калибровка векторного потенциала
В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:
Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.
Уравнение для векторного потенциала
Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow{B}$ в дифференциальной форме:
где $\overrightarrow{j}$ -- вектор плотности тока, ${\mu }_0$ -- магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:
Преобразуем выражение $rotrot\overrightarrow{A}$ согласно известному из векторного анализа соотношению:
$graddiv\overrightarrow{A}=0\ (из\ условия\ калибровки\ (6)\),$ следовательно, уравнение (8) приобретет вид:
В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:
В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:
где $r$ -- радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:
Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:
где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.
Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.
Пример 1
Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.
Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).
Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:
\[\overrightarrow{A}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int\limits_L{\frac{I}{r}}d\overrightarrow{l}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum\limits_i{I_i}\int\limits_{L_i}{\frac{d\overrightarrow{l}}{r}}\left(1.1\right).\]
Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0{,A}_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:
\[{A=A}_y=\frac{\mu_0I}{4 \pi}\int\limits^{\frac{L}{2}}_{-\frac{L}{2}}{\frac{dy"}{\sqrt{{\left(y-y"\right)}^2+r^2}}}=\frac{\mu_0I}{4 \pi}ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right)(1.2).\]
Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:
Ответ: A=$\frac{{\mu }_0I}{4\pi }ln\left(\frac{-y+\frac{L}{2}+\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}{-\left(y+\frac{L}{2}\right)+\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right).$
Пример 2
Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).
Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:
\[\overrightarrow{B}=rot\overrightarrow{A\ }\left(2.1\right),\]
где из предыдущей задачи имеем:
Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_{\varphi }$, где $\varphi $ -- угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:
На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_{\varphi }$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:
Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:
Ответ: B=$B_{\varphi }=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\left\{\frac{-y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y-\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}+\frac{y+\frac{L}{2}}{\sqrt{{\left(y+\frac{L}{2}\right)}^2+r^2}}\right\}.$
В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:
На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом , а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал φ дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием φ. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.
В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля φ. А вот rot от В не везде
равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция
В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора
от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:
Или, расписывая компоненты:
Запись В=vхА гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно
Поле А называется векторным потенциалом .
Вспомним, что скалярный потенциал φ оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал φ, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал φ′, добавив постоянную:
Новый потенциал φ′ дает те же электрические поля, потому что градиент vС есть нуль; φ′ и φ отвечают одной и той же картине.
Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов А, приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку В получается из А дифференцированием, то прибавление к А константы не меняет физики дела. Но для А свобода больше. Мы можем добавить к А любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть А, которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле В. Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал А′, будучи подставлен в (14.3), дает то же самое
поле В. Значит, А и А′ имеют одинаковый ротор
Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем ψ, так что А′—A=vψ. Это означает, что если А есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом ψ
также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю В.
Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» А, накладывая на него произвольно некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным — довольно часто — выбирать потенциал φ равным нулю на больших расстояниях). Мы можем, например, ограничить А, наложив на него такое условие, чтобы дивергенция А чему-нибудь равнялась. Мы всегда можем это сделать, не задевая В. Так получается потому, что, хотя А′ и А имеют одинаковый ротор и дают одно и то же В, они вовсе не обязаны иметь одинаковую дивергенцию. В самом деле, v·A` = v·A+ v 2 ψ, и, подбирая соответствующее ψ, можно придать v·A′ любое значение.
Чему следует приравнять v·А? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатик
и мы сделаем простой выбор
(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение А в данный момент есть vхА = В и v·А = 0.
Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля В 0 . Выбирая ось z в направлении В 0 , мы должны иметь
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть
Или с тем же успехом можно взять
Еще одно решение есть комбинация первых двух
Ясно, что для каждого поля В векторный потенциал А не единственный; существует много возможностей.
Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку х-компонента пропорциональна -у, а y-компонента пропорциональна +х, то вектор А должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси z, который мы обозначим r′ (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина А пропорциональна √x 2 + y 2 и, следовательно, пропорциональна r`. Поэтому А (для однородного поля) может быть записано просто
Векторный потенциал А равен по величине Вr′/2
и вращается вокруг оси z, как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле В есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде.
Векторный потенциал однородного поля может быть получен и другим способом. Циркуляция А вдоль любой замкнутой петли Г может быть выражена через поверхностный интеграл от vХА
с помощью теоремы Стокса [уравнение (3.38), стр. 63]
Но интеграл справа равен потоку В сквозь петлю, поэтому
Итак, циркуляция А вдоль всякой
петли равна потоку В сквозь петлю. Если мы возьмем круглую петлю радиуса r′
в плоскости, перпендикулярной однородному полю В, то поток будет в точности равен
Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что А можно считать направленным по касательной и функцией только от r′, то циркуляция будет равна
Как и раньше, получаем
Рассмотрим магнитное поле стационарного тока. Пусть плотность тока зависит только от координат и отлична от нуля в конечной области пространства. Поскольку стационарный ток не имеет источников, то
и линии плотности стационарного тока замкнуты. Электрическое поле такого статического распределения заряда определяется формулами § 27.
Магнитное поле стационарного тока согласно (25.03) удовлетворяет уравнениям
Последнее равенство показывает, что магнитное поле является вихревым. Поэтому можно положить
Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. В случае стационарного поля А зависит только от координат точки.
Векторный потенциал однозначно определяет напряженность магнитного поля. Магнитное поле определяет векторный потенциал с точностью до градиента некоторого скаляра. Действительно, векторный потенциал А, равный
где некоторый скаляр, определяет то же самое поле:
Векторный потенциал можно сделать однозначным, если наложить на него добавочное условие
называемое условием калибровки. Условие калибровки всегда может быть выполнено: если то всегда можно подобрать функцию такую, что
Для определения векторного потенциала подставим В из (34.03) в первое уравнение (34.02). Тогда
В силу условия калибровки (34.05)
Это уравнение определяет векторный потенциал по заданному распределению тока. Оно аналогично уравнению Пуассона (27.01) для скалярного потенциала. Так как функция Грина для оператора Лапласа определена в § 27, то решение (34.06) можно написать сразу
Убедимся, что условие калибровки (34.05) удовлетворяется. Обозначим через V оператор, взятый по координатам точки наблюдения а через V - оператор, взятый по координатам точки источника Заметим, что в применении к функциям от
В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т. е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:
На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием . Мы покажем сейчас, что для нахождения поля существует аналогичная процедура, если известна плотность тока всех движущихся зарядов.
В электростатике, как мы видели (из-за того, что от везде равен нулю), всегда можно представить в виде градиента от скалярного поля . А вот от не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить через поле, которое мы обозначим :
Или, расписывая компоненты:
(14.4)
Запись гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно
Поле называется векторным потенциалом.
Вспомним, что скалярный потенциал оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал , то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал , добавив постоянную:
Новый потенциал дает те же электрические поля, потому что градиент есть нуль; и отвечают одной и той же картине.
Точно так же у нас может быть несколько векторных потенциалов , приводящих к одним и тем же магнитным полям. Опять-таки, поскольку получается из дифференцированием, то прибавление к константы не меняет физики дела. Но для свобода больше. Мы можем добавить к любое поле, которое есть градиент от некоторого скалярного поля, не меняя при этом физики. Это можно показать следующим образом. Пусть у нас есть , которое в какой-то реальной задаче дает правильное поле . Спрашивается, при каких условиях другой векторный потенциал , будучи подставлен в (14.3), дает то же самое поле . Значит, и имеют одинаковый ротор
Но если ротор вектора есть нуль, то вектор должен быть градиентом некоторого скалярного поля, скажем , так что . Это означает, что если есть векторный потенциал, отвечающий данной задаче, то при любом
также будет векторным потенциалом, в одинаковой степени удовлетворяющим данной задаче и приводящим к тому же полю .
Обычно
бывает удобно уменьшить «свободу» , накладывая на него произвольно
некоторое другое условие (почти таким же образом мы считали удобным - довольно
часто - выбирать потенциал равным нулю на больших расстояниях).
Мы можем, например, ограничить , наложив на него такое условие,
чтобы дивергенция чему-нибудь равнялась. Мы всегда
можем это сделать, не задевая . Так получается потому, что, хотя и имеют одинаковый
ротор и дают одно и то же , они вовсе не обязаны иметь
одинаковую дивергенцию. В самом деле, 
, и, подбирая соответствующее , можно придать любое значение.
Чему следует приравнять ? Выбор должен обеспечить наибольшее математическое удобство и зависит от нашей задачи. Для магнитостатики мы сделаем простой выбор
(Потом, когда мы перейдем к электродинамике, мы изменим наш выбор.) Итак, наше полное определение в данный момент есть и .
Чтобы привыкнуть к векторному потенциалу, посмотрим сначала, чему он равен для однородного магнитного поля . Выбирая ось в направлении , мы должны иметь
Рассматривая эти уравнения, мы видим, что одно из возможных решений есть
Или с тем же успехом можно взять
Еще одно решение есть комбинация первых двух
(14.8)
Ясно, что для каждого поля векторный потенциал не единственный; существует много возможностей.
Третье решение [уравнение (14.8)] обладает рядом интересных свойств. Поскольку компонента пропорциональна , а компонента пропорциональна , то вектор должен быть перпендикулярен вектору, проведенному от оси , который мы обозначим (штрих означает, что это не вектор расстояния от начала). Кроме того, величина пропорциональна и, следовательно, пропорциональна . Поэтому (для однородного поля) может быть записано просто
Векторный потенциал равен по величине и вращается вокруг оси , как показано на фиг. 14.1. Если, например, поле есть поле внутри соленоида вдоль его оси, то векторный потенциал циркулирует точно таким же образом, как и токи в соленоиде. вдоль любой замкнутой петли, то поток будет в точности равен
Если выбрать начало отсчета в центре петли, так что можно считать направленным по касательной и функцией только от , то циркуляция будет равна
Как и раньше, получаем
В только что разобранном примере мы вычисляем векторный потенциал из магнитного поля, обычно поступают наоборот. В сложных задачах всегда проще найти векторный потенциал, а затем уже из него найти магнитное поле. Сейчас мы покажем, как это можно сделать.