Основные этапы вывода уравнения атмосферной диффузии. Диффузии уравнение

В частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

История происхождения

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t),$

где $c(x,\;t)$ - концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,\;t)$ - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t),$

где $\nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z)$ - оператор набла , а $(\;,\;)$ - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

$\partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t),$

где $\Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ - оператор Лапласа .

n -мерный случай

$n$ -мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$ -мерные версии соответствующих операторов:

$\nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n),$ $\Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2.$

Это касается и двумерного случая $n=2$ .

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x}$ (одномерный случай), $\mathbf j=-\varkappa\nabla c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0$ (одномерный случай), $\frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$ -мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x",\;0)c_f(x-x",\;t)\,dx"=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x",\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x")^2}{4Dt}\right)\,dx".

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

$-(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}).$

При $D$ , не зависящем от $\vec{r}$ , стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$ ):

\Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D},

\Delta c(\vec{r})=0.

Постановка краевых задач

Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

и $t\geqslant t_0$ , удовлетворяющее условию $u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty, где \varphi(x) - заданная функция.$

Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\infty\leqslant x\leqslant +\infty$ и $t\geqslant t_0$ , удовлетворяющее условиям

$\left\{\begin{array}{l}
u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0 где \varphi(x) и \mu(t) - заданные функции.$

Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0\leqslant x\leqslant l$ и $-\infty, удовлетворяющее условиям$

$\left\{\begin{array}{l}
u(0,\;t)=\mu _1(t), \\
u(l,\;t)=\mu _2(t),
\end{array}\right.$ где $\mu_1(t)$ и $\mu_2(t)$ - заданные функции.

Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

$u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0 - уравнение теплопроводности.$

Если $f(x,\;t)=0$ , то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

$u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l$ - начальное условие в момент времени $t=0$ , температура в точке $x$ задается функцией $\varphi(x)$ . $\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=\mu_1(t), \\
u(l,\;t)=\mu_2(t),
\end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T$ - краевые условия. Функции $\mu_1(t)$ и $\mu_2(t)$ задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$ в любой момент времени $t$ .

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ( $\alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2)$ ).

$\begin{array}{l}
\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\
\alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t).
\end{array}$

Если $\alpha_i=0,\;(i=1,\;2)$ , то такое условие называют условием первого рода , если $\beta_i=0,\;(i=1,\;2)$ - второго рода , а если $\alpha_i$ и $\beta_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,\;t)$ в пространстве $D\times,\;D\in\R^n$ , удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0$ , причем $D$ - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,\;t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$ .

{{#ifeq: Image:Wiki_letter_w.svg|none||Шаблон:!class ="ambox-image"Шаблон:! }}

Для улучшения этой статьи{{#if:Шаблон:Rq/topics/getcategory | Шаблон:Rq/topics/getcategory }} желательно : {{#if:{{#if: sources|

сносок ссылки на независимые , подтверждающие написанное .{{#if:||}} | документации . {{#if:||}}}}
иллюстрации .Шаблон:Нет изображения |Неверный параметр шаблона {{ }} - img . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}

|Шаблон {{ }} используется неверно. Укажите хотя бы один параметр. Если Вы уверены, что всё указано правильно, напишите об этом на странице обсуждения шаблона .}}|

{{#if: sources|

{{#ifexist:template:rq/sources|Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые , подтверждающие написанное .{{#if:||}} |Неверный параметр шаблона {{ }} - . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}}
{{#ifexist:template:rq/img|Добавить иллюстрации .Шаблон:Нет изображения |Неверный параметр шаблона {{

Рассмотрим баланс нейтронов в единице объема dV при заданных Ф(r ), Ss.

Баланс нейтронов

К изменению числа нейтронов приводят поглощение, утечка, рождение. Тогда

Рождение – утечка – поглощение.

Рождение нейтронов обусловлено источником: S(r ) -число нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема вблизи r . Поглощение нейтронов определяется числом реакций в единицу времени в единице объема . Нужно найти выход реакции в элементе объёма

Найдем утечку нейтронов, зная вектор плотности J из закона Фика

Если известенвектор J в каждой точке поверхности элементарного объема dV, то утечка равна divJ - число нейтронов, пересекающих поверхность единичного объема в единицу времени. Причем

div /D= const/= – D DФ

где

Таким образом, имеем уравнение

В стационарном случае

Замечания:

При выводе данных уравнений пользовались законом Фика, который справедлив, если распределение потока по координатам является линейным на расстоянии в несколько . Значит, эти уравнения плохо работают вблизи границы источника. Коэффициент D здесь уже учитывает возможную несферичность рассеяния(см. ранее).

Граничные условия:

1) поток Ф нейтронов конечен и неотрицателен в области, где применимо уравнение диффузии;

2) на границе двух сред, отличающихся хотя бы одной характеристикой взаимодействия нейтронов с ядрами.

Взаимодействие нейтронов с ядрами

В точке а :

Нормаль к поверхности;

Ток нейтронов.

Так как сама граница не поглощает нейтроны, то сколько нейтронов уходит из среды А, столько и приходит в среду В, т.е. проекции на нормаль

т. е. поток на границе неразрывен.

С другой стороны, при переходе через границу поток нейтронов должен быть непрерывной функцией координат, т.е.

Итак, имеем условия на границе

Условия на границе

3) на границе среды с вакуумом (это условие необходимо при решении задач о конечном реакторе) нет потока внутрь среды из вакуума. Это условие можно выразить, если задать функцию Ф(r, E, W). На границе имеем:

функция Ф(r, E, W).

Видно, что это граничное условие нельзя записать, зная только зависимость Ф от r . Используем следующий прием: изобразим Ф(r ) в плоском реакторе. Очевидно, поток на границе меньше, чем в центре активной зоны, но не равен 0, т.е. . Уравнение наиболее просто решается при нулевых граничных условиях.

Поток на границе

Решение уравнения диффузии особенно просто, когда на какой-либо границе поток равен 0. Будем считать, что поток образуется в 0 не на физической, а на некоторой экстраполированной границе реактора (экстраполяция линейная).

Длина экстраполяции d – величина неопределенная, но вносящая малую поправку в уравнение диффузии. Оценка d была сделана как теоретически, так и экспериментально. Оказалось, что при d = 0,71λ tr наблюдается наилучшее совпадение теории с опытом.

Уравнение диффузии описывает распространение (растекание) со временем по протяженному телу некоторой субстанции, например, тепла или концентрации. В одномерном случае тело представляется протяженным вдоль оси x .

На рис. 19.2 показан пример распределения вдоль оси x такого параметра как температура T . Из обычного опыта хорошо известно, что в каждый момент времени t температура T на разных участках тела x имеет разные значения, то есть меняется в зависимости от участка и времени. То есть должен существовать закон, по которому изменяется величина этого параметра T как функции от (x , t ). Для температуры этот закон чаще всего задается уравнением диффузии.

Если изменяемый параметр (в общем случае) обозначить как y , время, в течение которого отслеживаются изменения параметра, обозначить как t , а ось, вдоль которой происходят изменения параметра, как x , то уравнение диффузии имеет вид:

и обычно дополняется условиями - значениями переменной y на краях и границах: на левом краю x = 0, на правом краю x = L , на границе - начальные условия (t = 0):

y (x , 0) = f 1 (x ),
y (0, t ) = f 2 (t ),
y (L , t ) = f 3 (t ),
где f 1 (x ), f 2 (t ) и f 3 (t ) - заданные функции.

На рис. 19.3 представлен схематически вид области, для которой определены граничные и начальные условия. Функции f 1 (x ), f 2 (t ), f 3 (t ) и само уравнение диффузии предопределяют поведение функции y (x , t ) внутри этой области, чей полный вид обычно надо определить. Если на схеме дополнительно построить ось y (см. рис. 19.4 ), то визуально на рисунке можно отобразить и сам вид функций. На рисунке четко видно, что в углах схемы значения задаваемых функций должно совпадать.

Коэффициент α имеет смысл коэффициента теплопроводности; f (x , t ) имеет смысл функции, описывающей работу источников и стоков тепла.

Величина y , описывающая распределение температуры, является функцией двух переменных - протяженности тела x и времени t : y (x , t ). Графически функция представляется поверхностью (см. рис. 19.5 ) или набором изолиний (см. рис. 19.6 ), вид которых обычно требуется определить.

Если заменить выражения производных их дискретным аналогом, то в разностном виде уравнение будет выглядеть так:

или, выражая неизвестное через известные величины:

В результате получена расчетная формула, реализуемая на цифровой вычислительной машине. Благодаря этой формуле можно рассчитать значение параметра y в любой точке (x , t ).

Назовем значение y (x , t ) узлом расчета . Тогда схематично расчет выглядит как сетка узлов на поле, составленном из частей тела и отрезков времени (см. рис. 19.7 ). Сама формула расчета одного узла зависит от состояния трех узлов (левого y (x – Δx , t – Δt ), правого y (x + Δx , t – Δt ), собственного y (x , t – Δt )) в предыдущий (t – Δt ) момент времени и напоминает треугольный шаблон. До начала расчета известны состояния всех узлов для t = 0. Применяя формулу последовательно ко всем узлам для следующего момента времени, можно определить температуру во всех узлах следующего временного слоя (t + Δt ). Кроме самого левого и самого правого узлов - их состояние вычислено быть не может, но оно задано краевыми условиями.

Если процедуру повторять, переходя от одной точки тела x к другой, и далее от одного временного слоя к другому, то по данной формуле можно вычислить значение температуры в любой части тела в любой момент времени. Таким образом, расчетом покрывается все поле (L x T) (см. рис. 19.7 ). Последовательное определение неизвестных значений в данном случае возможно, потому что шаблон имеет вид явного выражения - единственное неизвестное в формуле выражено через ранее вычисленные значения.

Заметим, что при больших значениях производных и больших значениях шагов расчет может дать неверные решения. Решения могут оказаться неточными или даже неустойчивыми (качественно неверными) (см. лекцию 10. «Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»).

Условие устойчивости для треугольного шаблона при решении уравнения диффузии: Δx /Δt > α (см. подробнее рис. 19.12 ).

При моделировании возможно применение других разностных формул (шаблонов) (см. рис. 19.8 ). При выборе шаблона необходимо принимать во внимание: явный шаблон или нет, какую он обеспечивает точность и при каких значениях шагов он обеспечивает устойчивость расчета. Так, например, шаблон в виде прямоугольника - неявный: в одной расчетной формуле содержится сразу две неизвестные величины. Поэтому при использовании такого шаблона необходимо решать систему алгебраических уравнений размером (L · T) .

На практике устойчивости, а далее - точности добиваются получением решений с использованием разных шаблонов и разных значений шага. Если значения искомой переменной, вычисленные с шагом h и с шагом h /2, отличаются в узлах с одинаковыми индексами не более чем на 1-5%, то вычисленное значение принимают за приближенное решение задачи. Иначе уменьшают шаг еще в два раза, и процедуру оценки повторяют. (Дополнительно см. лекцию «Умеем ли мы вычислять на компьютере?».)

Свойства уравнения диффузии отражены на рис. 19.9 и заключаются в том, что при возникновении неоднородности в какой-то из частей тела со временем тепло за счет процессов теплообмена перетекает в соседние области. Температуры соседних областей выравниваются, усредняются. Темп процесса зависит от величины коэффициента теплопроводности.

Если принять условие, что задача стационарная, то есть процессы протекают так долго, что все переходные процессы успели закончиться (производная по времени равна 0), то уравнение диффузии приобретает следующий вид (для случая двухмерного пространства - оси x и z ) без источников и стоков:

∂ 2 y /∂x 2 + ∂ 2 y /∂z 2 = 0.

В разностном виде уравнение имеет вид:

(Y i + 1, j – 2 · Y i , j + Y i – 1, j )/Δx 2 + (Y i , j – 1 – 2 · Y i , j + Y i , j + 1)/Δz 2 = 0.

Если принять Δx = Δz , то уравнение примет вид:

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0.

Легко понять, что шаблон расчета уравнения неявный и имеет вид креста (чтобы рассчитать значение температуры в узле сетки, надо знать температуры его соседей слева, справа, сверху и снизу). Если стена дома имеет размеры 2 метра на 2 метра, а шаг Δx = Δz = 20 мм, то всего для расчета температурного режима стены придется решать систему из 10 000 линейных уравнений c 10 000 неизвестных Y i , j :

4 · Y i , j – Y i + 1, j – Y i – 1, j – Y i , j – 1 – Y i , j + 1 = 0, для i = 1÷100 и j = 1÷100,

к которым следует присоединить 400 штук краевых условий:
Y 0, j = f 1 (j );
Y 101, j = f 2 (j );
Y i , 0 = f 3 (i );
Y i , 101 = f 4 (i ).

Вид решения уравнения показан на рис. 19.6 .

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле. Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем - маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если - количество тепла в единице объема, то весь запас тепла в кубе , а скорость потерь равна

(3.20)

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

(3.21)

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас - дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема , ограниченного поверхностью , закон Гаусса утверждает, что

(3.22)

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду , и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую по замкнутой поверхности, окружающей источник, то всегда получится . Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы . Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).

Фигура 3.6. В области близ точечного источника поток тепла направлен по радиусу наружу.

Когда радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна . Тогда мы получаем

, (3.23)

где - абсолютная величина . Этот интеграл должен быть равен - скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается

где, как всегда, обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что пропорционален и меняется обратно квадрату расстояния от источника.

Только что полученный результат применим к потоку тепла вблизи точечного источника тепла. Теперь попытаемся найти уравнения, которые справедливы для теплового потока самого общего вида (придерживаясь единственного условия, что количество тепла должно сохраняться). Нас будет интересовать только то, что происходит в местах вне каких-либо источников или поглотителей тепла.

Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),

(Помните, что это соотношение приближенное, но для некоторых веществ вроде металлов выдерживается неплохо.) Применимо оно, конечно, только в тех частях тела, где нет ни выделения, ни поглощения тепла. Выше мы вывели другое соотношение (3.21), которое выполняется тогда, когда количество тепла сохраняется. Если мы это уравнение скомбинируем с (3.25), то получим

если - величина постоянная. Напоминаю, что - это количество тепла в единичном объеме, a - лапласиан, т. е. оператор

Если мы теперь сделаем еще одно допущение, сразу возникнет одно очень интересное уравнение. Допустим, что температура материала пропорциональна содержанию тепла в единице объема, т. е. что у материала есть определенная удельная теплоемкость. Когда это допущение верно (а так бывает часто), мы можем писать и - для температуры .

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

где - постоянная. Она равна .

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающего диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле. Рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников тепла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем — маленький кубик, то, следуя формуле (3.17), можно написать

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если q — количество тепла в единице объема, то весь запас тепла в кубе qΔ V , а скорость потерь равна

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохранения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас — дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема V , ограниченного поверхностью S , закон Гаусса утверждает, что

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразовать как раз к виду —dQ/dt , и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены проволочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a W представляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кроме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла h в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую h по замкнутой поверхности, окружающей источник, то всегда получится W . Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после интегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы W . Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом R с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что h должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, величина h во всех точках сферы должна быть одинакова. Вы видите, что для получения ответа к нашим выкладкам мы вынуждены добавить известное количество домыслов (обычно это именуют «физической интуицией»).

Когда h радиально и сферически симметрично, интеграл от нормальной компоненты h по площади поверхности вычисляется очень просто, потому что нормальная компонента в точности равна h и постоянна. Площадь, по которой интегрируется, равна 4πR 2 . Тогда мы получаем

где h — абсолютная величина h. Этот интеграл должен быть равен W — скорости, с которой источник генерирует тепло. Получается

где, как всегда, е r обозначает единичный вектор в радиальном направлении. Этот результат говорит нам, что h пропорционален W и меняется обратно квадрату расстояния от источника.

Дифференциальное уравнение распространения тепла было получено в гл. 2. В соответствии с уравнением (2.44),

если x — величина постоянная. Напоминаю, что q — это количество тепла в единичном объеме, a v·v = v 2 — лапласиан, т. е. оператор

Скорость изменения количества тепла пропорциональна скорости изменения, температуры. Коэффициент пропорциональности c v здесь — удельная теплоемкость на единицу объема материала. Подставляя (3.27) в (3.26), получаем

Мы обнаружили, что быстрота изменения со временем температуры Т в каждой точке пропорциональна лапласиану от Т, т. е. вторым производным от пространственного распределения температур. Мы имеем дифференциальное уравнение — в переменных х, у, z и t — для температуры Т.

Дифференциальное уравнение (3.28) называется уравнением диффузии тепла, или уравнением теплопроводности. Часто его пишут в виде

где D — постоянная. Она равна x/c v .

Уравнение диффузии появляется во многих физических задачах: о диффузии газов, диффузии нейтронов и других. Мы уже обсуждали физику некоторых таких явлений в вып. 4, гл. 43. Теперь перед вами полное уравнение, описывающее диффузию в самом общем виде. Немного позже мы займемся решением уравнения диффузии, чтобы посмотреть, как распределяется температура в некоторых случаях. А сейчас вернемся к рассмотрению других теорем о векторных полях.