Найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Геометрия. 11 класс

Тема урока: Расстояние между скрещивающимися прямыми

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

Рассмотрим задачу на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми - это длина общего перпендикуляра к этим прямым.

Пусть нам дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , ребро которого равно единице АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми АВ и DC 1: ρ(АВ;DС 1) - ?

Эти две прямые лежат в параллельных плоскостях: АВ лежит в плоскости АА 1 В 1 В, DС 1 лежит в плоскости D 1 DС 1 С. Найдем сначала перпендикуляр к этим двум плоскостям. Таких перпендикуляров на рисунке много. Это отрезок ВС, В 1 С 1 , А 1 D 1 и AD. Из них имеет смысл выбрать тот отрезок, который не только перпендикулярен этим плоскостям, а значит перпендикулярен и нашим прямым АВ и DC 1 , но и проходит через эти прямые. Такой отрезок - AD. Он одновременно перпендикулярен прямой АВ, потому что перпендикулярен плоскости АА 1 В 1 В и прямой DC 1 , потому что перпендикулярен плоскости D 1 DС 1 С. И значит, что AD - это общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АВ и DC 1 . Расстояние между этими прямыми - длина этого перпендикуляра, то есть длина отрезка АD. Но AD - это ребро куба. Следовательно, расстояние равно 1:

ρ(АВ;DС 1)=AD=1

Рассмотрим ещё одну задачу, чуть более сложную, о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть нам дан опять куб, ребро которого равно единице. Нужно найти расстояние между диагоналями противоположных граней. То есть, дан куб АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 . Ребро АВ=1. Нужно найти расстояние между прямыми ВА 1 и DC 1: ρ(А 1 В;DС 1) - ?

Эти две прямые скрещивающиеся, значит, расстояние - это длина общего перпендикуляра. Можно не рисовать общий перпендикуляр, а сформулировать следующим образом: это длина перпендикуляра между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. Прямая ВА 1 лежит в плоскости АВВ 1 А 1 , а прямая DC 1 лежит в плоскости D 1 DCC 1 . Они параллельны, значит, расстояние между ними и есть расстояние между этими прямыми. А расстояние между гранями куба - это длина ребра. Например, длина ребра ВС. Потому что ВС перпендикулярно и плоскости АВВ 1 А 1, и плоскости DСС 1 D 1 . Значит, расстояние между прямыми, данными в условии, равно расстоянию между параллельными плоскостями и равно 1:

ρ(А 1 В;DС 1)=ВС=1

Рассмотрим ещё одну задачу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми.

Пусть у нас дана правильная треугольная призма, у которой известны все ребра. Нужно найти расстояние между ребрами верхнего и нижнего оснований. То есть нам дана призма АВСА 1 В 1 С 1 . Причем, АВ=3=АА 1 . Нужно найти расстояние между прямыми ВС и А 1 С 1: ρ(ВС;А 1 С 1) - ?

Поскольку эти прямые скрещиваются, то расстояние между ними - это длина общего перпендикуляра, или длина перпендикуляра к параллельным плоскостям, в которых они лежат. Найдем эти параллельные плоскости.

Прямая ВС лежит в плоскости АВС, а прямая А 1 С 1 лежит в плоскости А 1 В 1 С 1 . Эти две плоскости параллельны, поскольку это верхнее и нижнее основания призмы. Значит, расстояние между нашими прямыми - это расстояние между этими параллельными плоскостями. А расстояние между ними равно в точности длине бокового ребра АА 1 , то есть равно 3:

ρ(ВС;А 1 С 1)=АА 1 =3

В данной конкретной задаче можно найти не только длину общего перпендикуляра, но и построить его. Для этого мы из всех боковых рёбер выбираем такое, которое имеет общие точки с прямой ВС и А 1 С 1 . На нашем рисунке это ребро СС 1 . Оно будет перпендикулярно прямой А 1 С 1 , поскольку перпендикулярно плоскости верхнего основания, и прямой ВС, поскольку перпендикулярно плоскости нижнего основания. Таким образом, мы можем найти не только расстояние, но и построить этот общий перпендикуляр.

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить длину общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Стереометрия Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. a b A B Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

№ 1 В единичном кубе найдите

№ 2 В единичном кубе найдите

№ 3 В единичном кубе найдите

№ 4 В единичном кубе найдите

Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и есть отрезок, соединяющий середины отрезков и Е – середина F – середина

№ 5 В единичном кубе найдите ~

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.

№ 5 В единичном кубе найдите O – проекция прямой АС на плоскость

№ 6 Дана правильная пирамида PABC c боковым ребром PA = 3 и стороной основания 2 . Найдите

Прямоугольный - прямоугольный - прямоугольный

№ 7 В единичном кубе найдите расстояние между прямыми и

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Угол между скрещивающимися прямыми

Презентация для подготовки к сдаче ЕГЭ по математике по теме "Угол между скрещивающимися прямыми"...

Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме....

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых ("канонический" или "параметрический"), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz L 1 и L 2:

(1)

(2)

где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − точки, лежащие на прямых L 1 и L 2 , а q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } и q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 } − направляющие векторы прямых L 1 и L 2 , соответственно.

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Метод 1. От точки M 1 прямой L 1 проводим плоскость α , перпендикулярно прямой L 2 . Находим точку M 3 (x 3 , y 3 , y 3) пересечения плоскости α и прямой L 3 . По сути мы находим проекцию точки M 1 на прямую L 2 . Как найти проекцию точки на прямую посмотрите . Далее вычисляем расстояние между точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 3 (x 3 , y 3 , z 3):

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L 1 и L 2:

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M

Подставляя значения m 2 , p 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 в (5) получим:

Найдем точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , для этого построим параметрическое уравнение прямой L 2 .

Чтобы найти точку пересечения прямой L 2 и плоскости α , подставим значения переменных x , y , z из (7) в (6):

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L 2 и плоскости α :

Остается найти расстояние между точками M 1 и M 3:

L 1 и L 2 равно d =7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L 1 и L 2 . Если направляющие векторы прямых L 1 и L 2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q 1 =λ q 2 , то прямые L 1 и L 2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q 1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d , разделив площадь на основание q 1 параллелограмма.

q 1:

Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно:

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1) и имеет направляющий вектор

q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −4, 8}

Векторы q 1 и q 2 коллинеарны. Следовательно прямые L 1 и L 2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор ={x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.

Вычислим векторное произведение векторов и q 1 . Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k , а остальные строки заполнены элементами векторов и q 1:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q 1 будет вектор:

Ответ: Расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно d =7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L 1 и L 2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L 1 и L 2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L 1 и L 2 нужно построить параллельные плоскости α 1 и α 2 так, чтобы прямая L 1 лежал на плоскости α 1 а прямая L 2 − на плоскости α 2 . Тогда расстояние между прямыми L 1 и L 2 равно расстоянию между плоскостями L 1 и L 2 (Рис. 3).

где n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } − нормальный вектор плоскости α 1 . Для того, чтобы плоскость α 1 проходила через прямую L 1 , нормальный вектор n 1 должен быть ортогональным направляющему вектору q 1 прямой L 1 , т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , и подставляя в уравнение

Плоскости α 1 и α 2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn 1 ={A 1 , B 1 , C 1 } и n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 } этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n 2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

(33)

Решение. Прямая L 1 проходит через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и имеет направляющий вектор q 1 ={m 1 , p 1 , l 1 }={1, 3, −2}.

Прямая L 2 проходит через точку M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2) и имеет направляющий вектор q 2 ={m 2 , p 2 , l 2 }={2, −3, 7}.

Построим плоскость α 1 , проходящую через прямую L 1 , параллельно прямой L 2 .

Поскольку плоскость α 1 проходит через прямую L 1 , то она проходит также через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) и нормальный вектор n 1 ={m 1 , p 1 , l 1 } плоскости α 1 перпендикулярна направляющему вектору q 1 прямой L 1 . Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

Так как плоскость α 1 должна быть параллельной прямой L 2 , то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

(40)

Решим систему линейных уравнений (40) отностительно A 1 , B 1 , C 1 , D 1.

Наряду с точкой и плоскостью. Это бесконечная фигура, которой можно соединить любые две точки в пространстве. Прямая всегда принадлежит какой-либо плоскости. Исходя из расположения двух прямых, следует применять разные методы поиска расстояния между ними.

Существует три варианта расположения двух прямых в пространстве друг относительно друга: они параллельны, пересекаются или . Второй вариант возможен, только если они в одной плоскости, не исключает принадлежности двум параллельным плоскостям. Третья ситуация говорит о том, что прямые лежат в разных параллельных плоскостях.

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно определить длину перпендикулярного отрезка, соединяющего их в любых двух точках. Поскольку прямые имеют две одинаковые координаты, что следует из определения их параллельности, то уравнения прямых в двухмерном координатном пространстве можно записать так:
L1: а х + b у + с = 0;
L2: а х + b у + d = 0.
Тогда можно найти длину отрезка по формуле:
s = |с - d|/√(a² + b²), причем нетрудно заметить, что при С = D, т.е. совпадении прямых, расстояние будет равно нулю.

Понятно, что расстояние между пересекающимися прямыми в двухмерной координат не имеет смысла. Зато когда они расположены в разных плоскостях, его можно найти как длину отрезка, лежащего в плоскости, перпендикулярной им обеим. Концами этого отрезка будут точки, являющиеся проекциями любых двух точек прямых на эту плоскость. Иными , его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Таким образом, если плоскости заданы общими уравнениями:
α: А1 х + В1 у + С1 z + Е = 0,
β: А2 х + В2 у + С2 z + F = 0,
расстояние между прямыми можно по формуле:
s = |Е – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Обратите внимание

Прямые вообще и скрещивающиеся в частности интересны не только математикам. Их свойства полезны во многих других областях: в строительстве и архитектуре, в медицине и в самой природе.

Совет 2: Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Определение расстояния между двумя объектами, находящимися в одной или нескольких плоскостях, является одной из самых распространенных задач в геометрии. Руководствуясь общепринятыми методами, вы можете найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

Инструкция

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости, которые либо не пересекаются, либо совпадают. Для нахождения расстояния между параллельными прямыми следует выбрать произвольную точку на одной из них, после чего опустить перпендикуляр ко второй прямой. Теперь остается лишь измерить длину получившегося отрезка. Длина соединяющего две параллельные прямые перпендикуляра и будет являться расстоянием между ними.

Обратите внимание на порядок проведения перпендикуляра от одной параллельной прямой к другой, поскольку от этого зависит точность рассчитанного расстояния. Для этого воспользуйтесь чертежным инструментом «треугольником» с прямым углом. Выберите точку на одной из прямых, приложите к ней одну из сторон треугольника, примыкающих к прямому углу (катет), а вторую сторону совместите с другой прямой. Остро заточенным карандашом проведите вдоль первого катета линию так, чтобы она достигла противоположной прямой.

В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:

Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.

Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.

Расстояние между прямыми в пространстве

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .

Рис. 1. Чертеж к задаче

Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).

Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке

Находим уравнение плоскости MNB 1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M , N и B 1: Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений: