Радиус кривизны плоской кривой. Кривизна и радиус кривизны траектории

Интерференционные полосы равной толщины в тонкой пленке, т.е. темные или светлые полосы соответствующие постоянному значению толщины пленки (d ), можно наблюдать в воздушной прослойке между соприкасающимися друг с другом плоской поверхностью пластинки и выпуклой сферической поверхностью линзы (см. рис.5).

При этом толщина воздушной прослойки постепенно увеличивается от центра линзы к ее краям. При нормальном (перпендикулярном поверхности) падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, которые получили название колец Ньютона.

Если на линзу падает пучок монохроматического света, то световые волны, отражённые от верхней и нижней границ воздушной прослойки, интерферируют между собой.

Так как, в отличии от выше приведённого примера, отражение световой волны происходит в точке В от раздела среды воздух-стекло, а не стекло-воздух, как на рис.4,то λ / 2 добавляется к слагаемому L 1 и формула (19), в начальной её части приобретёт вид:

∆ = L 1 - L 2 = (АВ + ВС + λ / 2) - AD = 2d + λ /2

То есть, оптическая разность хода, в этом случае равна удвоенной толщине воздушного зазора (2d ) (показатель преломления воздухаn = 1 ).

В итоге получим:

∆ = 2d + λ/2 . (23)

Рис.5. Схема возникновения Рис.6. Учет деформации

колец Ньютона линзы

Тёмные кольца образуются там, где оптическая разность хода равна нечётному числу полуволн (см.16):

∆ = 2d + λ /2 = (2m + 1) λ /2 , (24)

т.е. при толщине зазора

d = m λ /2 , (25)

где m= 0,1,2,3... - номер кольца.

Радиус m-ного темного кольца (r m ) определяется из треугольникаAОС (см.рис.5)

r m 2 = R 2 - (R - d,) 2 = 2Rd – d 2 , (26)

где R -радиус кривизны линзы. Полагая величину воздушного зазора в месте возникновения колец малой, (т.е.d « R ) можно записать:

r m 2 = 2Rd . (27)

Из этой формулы видно, что радиус кривизны линзы можно найти, измерив радиус кольца Ньютона и величину воздушного зазора в месте возникновения кольца. Радиус колец Ньютона можно измерить, воспользовавшись микроскопом, имеющим измерительную шкалу. Чтобы не измерять величину зазора (кстати, не понятно, как это сделать экспериментально), можно воспользоваться интерференционным условием возникновения темных колец (24).

Тогда радиус кривизны линзы можно выразить через радиус кольца Ньютона, длину волны используемого света и номер измеряемого кольца:

r m 2 = Rmλ (28)

Использование формулы (28) для определения радиуса кривизны может привести к ошибке, т.к. в точке соприкосновения линзы и стеклянной пластинки возможна деформация линзы по величине сравнимая с длиной волны света, поэтому использование выводов, основанных на рис.5 (см. формулы 26,27,28), будет некорректным.

Экспериментально наблюдаемая величина воздушного зазора может быть меньше теоретической величины, полученной из рис.5 на величину деформации стеклянной пластинки и линзы (δ ) (см. рис.6). Поэтому в реальном эксперименте в формулу (27) вместо толщины воздушного зазора (d )необходимо подставить сумму толщины воздушного зазора и величины деформации линзы и стеклянной пластинки (d + δ ).Учитывая,что условие возникновения темного кольца (24) определяется лишь толщиной зазора, получим следующую формулу, связывающую радиусы колец Ньютона с радиусом кривизны линзы:

r m 2 = Rmλ + 2Rδ (29)

Экспериментально удобнее вместо радиуса кольца Ньютона измерять его диаметр (D m ).В этом случае формула (29) будет иметь вид:

D m 2 = 4Rmλ + 8Rδ , (30)

Из (30) видно, что квадрат диаметра кольца Ньютона (D m 2 )пропорционален порядковому номеру кольца (m ).Если построить график зависимости D m 2 = f(m), то экспериментальные точки должны лежать на одной прямой, и тангенс угла наклона этой прямой (α ) будет равен 4R λ .Таким образом, для нахождения радиуса кривизны линзы необходимо, используя график зависимости D m 2 = f(m), найти

, (31)

R=tgα/4λ (32)

Вследствие деформации в центре линзы наблюдается круглое темное пятно, соответствующее нулевой толщине воздушного зазора. Измерив диаметр центрального темного пятна (кольца Ньютона, номер которого m = 0 ),можно найти величину деформации линзы по формуле:

δ = D 0 2 /8R (33)

Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки - окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке.

Мы будем называть кругом кривизны кривой в данной на ней точке М - круг, который

1) касается кривой в точке М;

3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М (рис. 157).

Центр С круга кривизны называется просто центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны (кривой в данной точке).

Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны всегда лежит на нормали - к кривой в рассматриваемой точке со стороны вогнутости (т. е. со стороны, обратной той, куда направлена выпуклость кривой). Если кривизну кривой в данной точке обозначить через к, то, вспоминая , что для окружности имели формулу:

теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь

Пользуясь различными выражениями, введенными в предыдущем п° для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для

радиуса кривизны:

которые и применяются в соответственных случаях.

Из всех формул радиус кривизны получается со знаком, как и выше - кривизна. Однако здесь мы знака не станем отбрасывать, а постараемся установить его геометрический смысл.

С этой целью введем понятие о положительном направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в 249, что на касательной положительным считается направление в сторону возрастания дуг. На нормали же мы за положительное выберем такое направление, чтобы оно относительно (положительно направленной) касательной было так же ориентировано, как ось у относительно оси х. Например, при обычном расположении этих осей нормаль должна составлять с касательной угол против часовой стрелки.

Теперь, рассматривая радиус кривизны как направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно приписывать ему знак плюс, если он откладывается по нормали в положительном направлении, и знак минус в противном случае. Так, на рис. 158 в случае кривой радиус кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой (II) знак минус.

Мы утверждаем, что знак радиуса кривизны, получаемый по любой из выведенных выше формул, в точности соответствует только что данному определению. При этом, однако, важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное направление отсчета дуг предполагается соответствующим возрастанию параметра ( или ).

Кривизна кривой где – угол поворота касательной к кривой на участке длиной .

Радиус кривизны - величина, обратная величине кривизны:

Радиус кривизны окружности есть радиус этой окружности; радиус кривизны прямой бесконечно велик. Радиус кривизны измеряется в метрах .

Точка нормали, отстоящая от данной точки траектории в направлении вогнутости кривой на расстояние , называется центром кривизны кривой, соответствующим данной точке кривой. Геометрическое место центров кривизны образует линию - эволюту исходной кривой (evolutus (лат.)– развернутый; voluto – катать, катить). Исходная кривая является эвольвентой относительно своей эволюты (evolventis – разворачивающий).

♦ Если аппроксимировать траекторию на участке (рис. 2) дугой окружности, то её центр лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин хорд и . Предельное положение точки при условии , когда , есть центр кривизны траектории в точке М .

Если с катушки радиуса R сматывать нить, сохраняя отмотанную часть прямой, то конец нити опишет одну из эвольвент окружности, а именно, соответствующую той точке, с которой начал сматываться конец нити. На рис. 3,а изображена эвольвента окружности радиуса , соответствующая крайней правой начальной точке при сматывании нити против часовой стрелки. Параметрические уравнения этой эвольвенты

Рис. 3. Эвольвента окружности. Винтовые линии

При эта кривая приближается к спирали Архимеда, уравнение которой в полярных координатах .

Зубцы колес большинства зубчатых передач имеют эвольвентный профиль, благодаря чему минимизируется скольжение зубца по зубцу и упрощается изготовление самих зубчатых колес. Основу профилей зубцов составляют эвольвенты («развертки») основных окружностей (см. «Теорию машин и механизмов») зацепляющихся колес.

1.1.15. Естественный трехгранник (натуральный триэдр) - трехгранник, построенный на осях касательной, нормали и бинормали. Орт бинормали определяется как ; тогда и . Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и нормаль. Плоскость, содержащая нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью, а плоскость, содержащая бинормаль и касательную, - спрямляющей. Естественный трехгранник ориентирован в пространстве соответственно форме кривой. Информация о форме (о внутренней геометрии кривой) может быть использована при исследовании движения материальной точки по данной кривой.

Пространственной кривая независимо от её расположения относительно окружающих предметов может быть описана путем задания в каждой точке кривизны и кручения (греч. «каппа») кривой.

10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ

Окружность является простейшей из кривых линий, так как она изгибается равномерно.

Рассмотрим движение точки М по окружности радиусомR (рис. 15). УголΔτ между касательными в двух положенияхМ 1 иМ 2 точкиМ – это централь-

ный угол М 1 ОМ 2 между радиусамиОМ 1 иОМ 2 , поэтомуΔτ = R S радиан.

Δτ S= R S= R1 .

Полагая S → 0 , можно сказать, что кривизна окружности равна обратной величине радиуса во всех ее точках:k = R 1 .

кривизны в точке А 1 (рис. 16).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраические кривые, которые описываются уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривыми второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

Ax2 + 2 Bxy+ Cy2 + 2 Dx+ 2 Ey+ F= 0 .

Если здесь положить A =

B = 0,C =

D = 0,E = 0,F = − 1, то полу-

чим выражение

Оно определяет уравнение эллиптического типа – эллипс или (в частном случае) окружность.

Если положить A = 1 a 2

уравнение

B = 0,C = −

D = 0,E = 0,F = − 1 , то получим

которое определяет кривую гиперболического типа – гиперболу или пару пересекающихся прямых.

Если положить A = 0,B = 0,C = 1,D = − P ,E = 0,F = 0 , то получим уравнение

y2 = 2 Px,

определяющее кривую параболического типа – параболу, пару параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое множество точек.

Рассмотрим подробнее свойства кривых второго порядка.

11.1. ЭЛЛИПС

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний от каждой точки которой до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная, бо´льшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть в плоскости даны две точки F A иF B (фокусы) на расстоянии 2с друг от друга (рис. 17).

Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие

EF A +EF B = 2а ,

где 2а – данная длина (величина большой оси эллипса). Если фокусыF A иF B совпадают, то

EFA = EFB = а.

Получается множество точек, равноудаленных от одной данной точки, т. е. окружность (частный вид эллипса).

Каноническое уравнение эллипса:

Отрезки AB иCD , соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2b , называют соответственнобольшой и малой осями эллипса.

Инструкция

Наиболее часто встречаются задачи на радиуса кривизны траектории брошенного тела в заданный промежуток времени. Траектория движения в данном случае описывается уравнениями на координатных осях: х = f(t), y = f(t), где t – время, в момент которого требуется найти радиус. Его вычисление будет основываться на применении формулы аn = V²/R. Здесь радиус R выявляется из отношения аn и мгновенной скорости V движения тела. Узнав данные величины, можно легко найти искомую компоненту R.

В случае, если известен только диаметр, то формула будет выглядеть как «R = D/2».

Если длина окружности неизвестна, но есть данные о длине определенного , то формула будет иметь вид «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», где h – высота сегмента (является расстоянием от середины хорды до самой выступающей части указанной дуги), а L – длина сегмента (которая не является длиной хорды).Хорда – отрезок , которая соединяет две точки окружности .

Обратите внимание

Следует различать понятия «окружность» и «круг». Круг является частью плоскости, которая, в свою очередь, ограничивается окружностью определенного радиуса. Чтобы найти радиус, необходимо знать площадь круга. В таком случае уравнение будет иметь вид «R = (S/π)^1/2», где S является площадью. Чтобы вычислить площадь, в свою очередь следует знать радиус («S = πr^2»).

Чтобы найти мгновенную скорость при равномерном движении, поделите расстояние, пройденное телом, на время, за которое оно преодолевалось. При неравномерном движении, узнайте значение ускорения и рассчитывайте скорость в каждый момент времени. При свободном падении мгновенная скорость зависит от ускорения свободного падения и времени. Мгновенную скорость можно измерить спидометром или радаром.

Вам понадобится

  • Для определения мгновенной скорости возьмите радар, спидометр, секундомер, рулетку или дальномер, акселерометр.

Инструкция

Определение мгновенной скорости при равномерном движении Если тело движется равномерно, измерьте с помощью рулетки или дальномера отрезок пути в метрах, после чего поделите полученное значение на промежуток времени в секундах, за которое этот отрезок был пройден. Время измерьте секундомером. После этого найдите среднюю скорость , поделив длину пути на время его прохождения (v=S/t). А поскольку движение равномерное, то средняя скорость будет мгновенной скорости.

Определение мгновенной скорости при неравномерном движенииОсновным видом неравномерного движения равноускоренное движение. С помощью акселерометра или любым другим способом измерьте значение ускорения. После этого, зная начальную скорость движения, прибавьте к ней произведение ускорения , на протяжении которого тело находится в движении. Результатом будет значение мгновенной скорости в данный момент времени. (v=v0+a t). При расчетах учтите, что если тело уменьшает свою скорость (тормозит), то значение ускорения будет отрицательным. В случае если движение начинается из состояния покоя, начальная скорость равна нулю.

Определение мгновенной скорости при свободном паденииДля определения мгновенной скорости свободно падающего тела нужно время падения умножить на ускорение свободного падения (9,81 м/с²), расчет произвести по v= g t. Учтите, что при начальная скорость тела равна нулю. Если тело с известной , то для определения мгновенной скорости в момент падения с этой высоты умножьте ее значение в метрах на число 19,62, а из полученного числа извлеките квадратный .

Определение мгновенной скорости спидометром или радаром Если движущееся тело оборудовано спидометром (), то на его шкале или электронном табло будет непрерывно отображаться мгновенная скорость в данный момент времени. При наблюдении за телом с неподвижной точки (), направьте на него сигнал радара, на его табло отобразится мгновенная скорость тела в данный момент времени.

Видео по теме

Для изучения движения некоторого физического объекта (автомобиль, велосипедист, шарик в рулетке) достаточно изучить движение некоторых его точек. При исследовании движения оказывается, что все точки описывают некоторые кривые линии.

Инструкция

Знайте, что кривыми можно описать движение жидкости, газа, световых , линий тока. Радиусом кривизны для плоской кривой в определенной точке является касательной в этой точке. В некоторых случаях кривая задается , и кривизны вычисляется по . Соответственно, чтобы узнать радиус кривизны, необходимо узнать радиус окружности, касающейся определенной точки.

Определите на плоскости кривой точку А, вблизи нее возьмите еще одну точку В. Постройте касательные к имеющейся кривой, которые проходят через точки А и В.

Проведите через точки А и В линии, перпендикулярные построенным касательным, продлите их до пересечения. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров, как О. Точка О является центром касательной окружности в данной точке. Значит ОА – радиус окружности, т.е. кривизны в данной конкретной точке А.

Если для точки в пространстве определить кривизны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то эти кривизны будут называться главными. Направление главных кривизн должно быть обязательно 900. Для вычислений часто используют среднюю кривизну, равную полусумме главных кривизн, и гауссову кривизну, равную их произведению. Существует также кривизны кривой. Это величина, обратная радиусу кривизны.

Ускорение является важным фактором движения точки. Кривизна траектории напрямую влияет на ускорение. Ускорение возникает в том случае, когда с постоянной скоростью начинает двигаться по кривой. Меняется не только скорости, но и ее направление, возникает центростремительное ускорение. Т.е. в реальности точка начинает двигаться по окружности, которой касается в момент времени.

Нормальное ускорение наблюдается в том случае, когда тело движется по окружности. Причем движение это может быть равномерным. Природа этого ускорения связанна с тем, что тело, которое движется по окружности, постоянно меняет направление скорости, поскольку линейная скорость направлена по касательной к каждой точке окружности.

Вам понадобится

  • спидометр или радар, секундомер, дальномер.

Инструкция

С помощью спидометра или радара измерьте линейную скорость тела, которое . Дальномером измерьте ее радиус. Чтобы найти тела, которое движется по окружности, возьмите значение скорости в данный момент , возведите его в квадрат и поделите на радиус окружности траектории движения: a=v²/R.

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.

Источники:

  • Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
  • Eratosthenes" Calculation of Earth"s Circumference
  • Eratosthenes
Рекомендуем почитать