Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.

Квадратичная форма от переменных состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:

Пары подобных членов записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.

Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных через X - строку т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда

Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.

В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.

Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных имеющей непрерывные частные производные до порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка давала максимум или минимум функции является равенство нулю частных производных порядка в точке Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме где - значения вторых производных вычисленные в точке Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях и к (кроме ), то функция имеет минимум в точке если отрицательна, то - максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.

Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.

В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.

В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.

Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.

Пусть , где А - симметричная матрица из коэффициентов формы, X - столбец из переменных.

Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно . Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X - столбец из новых переменных. Тогда и, следовательно, так что матрицей преобразованной квадратичной формы является

Матрица автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма
f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 –
- 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 при y 3 и два отрицательных коэффициента (-3) при y 1 и y 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 при y 1 и два отрицательных – (-5) при y 2 и (-1/20) при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Определение.Квадратичной формой , соответствующей симметричной билинейной форме на линейном пространстве V , называется функция одного векторного аргумента .

Пусть задана квадратичная форма , – соответствующая ей симметричная билинейная форма. Тогда

откуда вытекает, что по квадратичной форме соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже определяется однозначно. Итак, между симметричными билинейными и квадратичными формами на линейном пространстве V устанавливается взаимно однозначное соответствие, поэтому квадратичные формы можно изучать с помощью симметричных билинейных форм.

Рассмотрим n -мерное линейное пространство . Матрицей квадратичной формы в заданном базисе линейного пространства называется матрица соответствующей ей симметричной билинейной формы в том же базисе. Матрица квадратичной формы всегда симметрична.

Обозначим матрицу квадратичной формы в некотором базисе пространства . Если, как обычно, обозначить Х координатный столбец вектора в том же базисе, то из равенства 5.5 получаем матричную форма записи квадратичной формы:

.

Теорема 5.4. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса

(5.10)

, (5.11)

и пусть и – матрицы квадратичной формы в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. Тогда , где Т – матрица перехода от (5.10) к (5.11).

Доказательство вытекает из теоремы 5.2 и определения матрицы квадратичной формы.

В связи с тем, что матрица перехода Т является невырожденной, то при переходе к новому базису ранг матрицы квадратичной формы не меняется. Поэтому можно сформулировать следующее определение.

Определение . Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве , называется ранг ее матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства (обозначается ).

Теперь запишем квадратичную форму в координатном виде. Для этого вектор разложим по базису (5.10): . Если – матрица квадратичной формы в том же базисе, то в соответствии с равенством (5.4)имеем

– (5.12)

координатная форма записи квадратичной формы. Распишем (5.12) подробно при n = 3, учитывая, что

Итак, если в задан базис, то квадратичная форма в координатной записи выглядит как однородный многочлен второй степени от n переменных – координат вектора в данном базисе. Этот многочлен называется видом квадратичной формы в заданном базисе. Но в приложениях часто такие многочлены возникают самостоятельно, без видимой связи с линейными пространствами (например, вторые дифференциалы функций), поэтому мы сформулируем еще одно определение квадратичной формы.

Определение . Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных, т. е. функция вида (5.12). Матрицей квадратичной формы (5.12) называется симметричная матрица .

Пример составления матрицы квадратичной формы. Пусть

Из (5.12) и (5.13) видно, что коэффициент при совпадает с , т.е. диагональные элементы матрицы квадратичной формы – это коэффициенты при квадратах. Точно так же видим, что – половина коэффициента при произведении . Таким образом, матрица квадратичной формы (5.14) выглядит так:

.

Выберем теперь в пространстве опять два базиса (5.10) и (5.11) и обозначим, как обычно, – координатные столбцы вектора в базисах (5.10) и (5.11) соответственно. При переходе от базиса (5.10) к базису (5.11) координаты вектора меняются по закону:

где - матрица перехода от (5.10) к (5.11). Заметим, что матрица – невырожденная. Запишем равенство (5.15) в координатной форме:

или подробно:

(5.17)

С помощью равенства (5.17) (или (5.16), что одно и то же) от переменных переходим к переменным .

Определение . Линейным невырожденным преобразованием переменных называется преобразование переменных, заданное системой равенств (5.16) или (5.17), или одним матричным равенством (5.15), при условии, что – невырожденная матрица. Матрица Т называется матрицей этого преобразования переменных.

Если в (5.12) вместо переменных подставить их выражения через переменные по формулам (5.17), раскрыть скобки и привести подобные, то получим другой однородный многочлен второй степени:

.

В этом случае говорят, что линейное невырожденное преобразование переменных (5.17) переводит квадратичную форму в квадратичную форму . Значения переменных и , связанные соотношением (5.15) (или соотношениями (5.16) либо (5.17)), будем называть соответствующими при заданном линейном невырожденном преобразовании переменных.

Определение. Набор переменных называется нетривиальным , если в нем значение хотя бы одной из переменных отлично от нуля. В противном случае набор переменных называется тривиальным .

Лемма 5.2. При линейном невырожденном преобразовании переменных тривиальному набору переменных соответствует тривиальный набор.

Из равенства (5.15), очевидно, вытекает: если , то и . С другой стороны, используя невырожденность матрицы Т , опять же из (5.15) получаем , откуда видно, что при , также и .◄

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных нетривиальному набору переменных соответствует нетривиальный набор.

Теорема 5.5. Если линейное невырожденное преобразование (5.15) переводит квадратичную форму с матрицей А в квадратичную форму с матрицей А" , то (другая формулировка теоремы 5.4).

Следствие. При линейном невырожденном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняет знака.

Замечание. В отличие от матрицы перехода и матрицы линейного оператора, матрица линейного невырожденного преобразования переменных пишется не по столбцам, а по строкам.

Пусть заданы два линейных невырожденных преобразования переменных:

Применим их последовательно:

Композицией линейных невырожденных преобразований переменных (5.18) и (5.19) называется их последовательное применение, т. е. преобразование переменных Из (5.20) видно, что композиция двух линейных невырожденных преобразований переменных также является линейным невырожденным преобразованием переменных.

Определение. Квадратичные формы называются эквивалентными , если существует линейное невырожденное преобразование переменных, переводящее одну из них в другую.

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 ,...,х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х 1 , х 2 ,...,х n) = (a ij =a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,a ij =a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формыf(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеетканонический вид ), если все ее коэффициентыa ij = 0 приi≠j, т.е.f(х 1 , х 2 ,...,х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 – х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 2 – 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) - (5/100)х 3 2 = = 2(x 1 + х 2) 2 – 5(х 2 – (1/10)х 3) 2 - (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 ,y 2 = х 2 – (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому видуf(y 1 ,y 2 ,y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм .

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 – х 2 х 3 = -3х 2 2 – х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 – - 2* х 2 ((1/6) х 3 + (2/3)х 1) +((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2) – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(х 2 – (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 – 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2 , гдеy 1 = - (2/3)х 1 + х 2 – (1/6) х 3 ,y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь положительный коэффициент 2 приy 3 и два отрицательных коэффициента (-3) приy 1 иy 2 (а при использовании другого способа мы получили положительный коэффициент 2 приy 1 и два отрицательных – (-5) приy 2 и (-1/20) приy 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно (отрицательно )определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра) . Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = = -2 < 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А  1 =a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка 2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = x 1 2 + 2x 1 х 2 + х 2 2 - x 1 2 - х 2 2 =

= (x 1 + х 2) 2 - x 1 2 - х 2 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 х 2 + х 2 2) - 2x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – - (x 1 - х 2) 2 - 2x 1 х 2 ; 4x 1 х 2 = (x 1 + х 2) 2 – (x 1 - х 2) 2 ;f(х 1 , х 2) = 2x 1 х 2 = (1/2)* *(x 1 + х 2) 2 – (1/2)*(x 1 - х 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2 , гдеy 1 = х 1 + х 2 , аy 2 = х 1 – х 2 .