Производная икса равна. Что такое производная
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке х o называется предел
=
.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x o ; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Если же рассматриваемый предел равен (или - ), то при условии, что функция в точке х o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х o бесконечную производную .
Производная обозначается символами
y , f (x o), , .
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том,что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х o ; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t o .
Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1) (с) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
5) если y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция , составленная из дифференцируемых функций и f, то , или
6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем 0, то .
На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.
1. (u )" = u 1 u" ( R ).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - sin u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Вычислим производную степенно-показательного выражения y=u v , (u>0), где u и v суть функции от х , имеющие в данной точке производные u" , v" .
Прологарифмировав равенство y=u v , получим ln y = v ln u.
Приравнивая производные по х от обеих частей полученного равенства с помощью правил 3, 5 и формулы для производной логарифмической функции, будем иметь:
y"/y = vu"/u +v" ln u, откуда y" = y (vu"/u +v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
Например, если y = x sin x , то y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).
Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x , т.е. имеет в этой точке конечную производную y" , то = y"+, где 0 при х 0; отсюда y = y" х + x.
Главная часть приращения функции, линейная относительно х, называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = y" х. Если положить в этой формуле y=x, то получим dx = x"х = 1х =х, поэтому dy=y"dx, т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.
Приращение функции y есть приращение ординаты кривой, а дифференциал dy есть приращение ординаты касательной.
Пусть
мы нашли для функции y=f(x) ее производную
y =
f (x).
Производная от этой производной
называется производной
второго порядка
функции
f(x), или второй
производной,
и обозначается
.
Аналогично определяются и обозначаются:
производная
третьего порядка
-
,
производная
четвертого порядка -
и
вообще производная
n-го порядка
-
.
Пример 3 .15. Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1)sin x.
Решение. По правилу 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.
Пример 3.16 . Найти y", y = tg x + .
Решение.
Используя
правила дифференцирования суммы и
частного, получим: y"=(tgx +
)"
= (tgx)" + ()"
=
+
=
.
Пример 3 .17. Найти производную сложной функции y= , u=x 4 +1.
Решение.
По правилу
дифференцирования сложной функции,
получим: y" x
=y " u
u" x
=()" u (x 4
+1)" x
=(2u + .
Так как u=x 4
+1,то
(2
x 4
+2+ 
.
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x)
получают новую функцию f
" (x)
,
называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x
приращение
x
и определяем соответствующее приращение
функции
y
= f(x+
x)
-f(x)
;
2)
составляем отношение
3)
считая x
постоянным, а
x
0,
находим
,
который обозначаем черезf
" (x)
,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x
,
при котором мы переходим к
пределу.
Определение
:
Производной
y " =f " (x)
данной
функции y=f(x)
при
данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким
образом,
,
или
Заметим,
что если при некотором значении x
,
например при x=a
,
отношение
при
x
0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x)
при x=a
(или в точке x=a
)
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a
.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
"(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
"(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x"(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x"(t) - скорость,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ"(t) - угловая скорость,
ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x , l - длина стержня,
р = m"(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.
На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.
Примеры. Найти производные функций.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:
y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Применяем правило I
, формулы 3, 5
и 6
и 1.
Применяем правило IV
, формулы 5
и 1
.
В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.
Дифференцируем 2-ое
и 3-е
слагаемые по формуле 4
. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4
формуле, находим производные степеней.
Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.
Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.
Используем правило IV
и формулу 4
. Получившиеся дроби сократим.
Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:
Учим новые формулы!
Примеры.
1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .
Решение.
Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.
Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .
Решение.
Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.
Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .
3. Вывести формулу производной функции y=x n .
Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.
При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .
Вот эти формулы.
Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:
1. Производная постоянной величины равна нулю.
2. Икс штрих равен единице.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.
5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.
6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.
7. Производная синуса равна косинусу.
8. Производная косинуса равна минус синусу.
9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.
10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.
Учим правила дифференцирования .
1.
Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.
2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».
4. Частный случай формулы 3.
Учим вместе!
Страница 1 из 1 1
Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$