Арифметический корень натуральной степени. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Арифметический корень второй степени

Определение 1

Корнем второй степени (или квадратным корнем) из числа $a$ называют такое число, которое при возведении в квадрат станет равным $a$.

Пример 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, значит число $7$ является корнем 2-й степени из числа $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, значит число $0,9$ является корнем 2-й степени из числа $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, значит число $1$ является корнем 2-й степени из числа $1$.

Замечание 2

Проще говоря, для любого числа $a

$a=b^2$ при отрицательном $a$ неверно, т.к. $a=b^2$ не может быть отрицательным при любом значении $b$.

Можно сделать вывод, что для действительных чисел не может существовать корень 2-й степени из отрицательного числа .

Замечание 3

Т.к. $0^2=0 \cdot 0=0$, то из определения следует, что нуль – корень 2-й степени из нуля.

Определение 2

Арифметическим корнем 2-й степени из числа $a$ ($a \ge 0$) является неотрицательное число, которое при возведении в квадрат будет равно $a$.

Корни 2-й степени еще называются квадратными корнями .

Обозначают арифметический корень 2-й степени из числа $a$ как $\sqrt{a}$ или можно встретить обозначение $\sqrt{a}$. Но чаще всего для квадратного корня число $2$ – показатель корня – не указывается. Знак «$\sqrt{ }$» – знак арифметического корня 2-й степени, который еще называют «знак радикала ». Понятия «корень» и «радикал» – это названия одного и того же объекта.

Если под знаком арифметического корня стоит число, то его называют подкоренным числом , а если выражение, то – подкоренным выражением .

Читается запись $\sqrt{8}$ как «арифметический корень 2-й степени из восьми», причем слово «арифметический» зачастую не называют.

Определение 3

Согласно определению арифметического корня 2-й степени можно записать:

Для любого $a \ge 0$:

$(\sqrt{a})^2=a$,

$\sqrt{a} \ge 0$.

Мы показали разницу между корнем второй степени и арифметическим корнем второй степени. Далее будем рассматривать только корни из неотрицательных чисел и выражений, т.е. только арифметические.

Арифметический корень третьей степени

Определение 4

Арифметическим корнем 3-й степени (или кубическим корнем) из числа $a$ ($a \ge 0$) называют неотрицательное число, которое при возведении в куб станет равным $a$.

Часто слово арифметический опускают и говорят «корень 3-й степени из числа $а$».

Обозначают арифметический корень 3-й степени из $а$ как $\sqrt{a}$, знак «$\sqrt{ }$» – знак арифметического корня 3-й степени, а число $3$ в этой записи называется показателем корня . Число или выражение, которое стоит под знаком корня, называют подкоренным .

Пример 2

$\sqrt{3,5}$ – арифметический корень 3-й степени из $3,5$ или кубический корень из $3,5$;

$\sqrt{x+5}$ – арифметический корень 3-й степени из $x+5$ или кубический корень из $x+5$.

Арифметический корень n-ной степени

Определение 5

Арифметическим корнем n-й степени из числа $a \ge 0$ называют неотрицательное число, которое при возведении в $n$-ную степень станет равным $a$.

Обозначение арифметического корня степени $n$ из $a \ge 0$:

где $a$ – подкоренное число или выражение,

решим простую задачу по нахождению стороны квадрата площадь которого равна 9 см 2 . Если принимаем, что сторона квадрата А см, то составляем согласно условиям задачи уравнение:

А х А =9

А 2 =9

А 2 -9 =0

(А-3)(А+3)=0

А=3 или А=-3

Длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом, поэтому искомая стороны квадрата 3 см.

При решении уравнения мы нашли числа 3 и -3, квадраты которых равны 9. Каждое из этих чисел называют квадратным корнем из числа 9. Неотрицательный из этих корней, то есть число 3, называют арифметическим корнем числа.

Вполне логично принять тот факт, что корень можно находит из чисел в третьей степени (кубический корень), четвертой степени и так далее. И в принципе корень - это обратная операция к возведению в степень .

Корнем n -й степени из числа α является такое число b , где b n = α .

Здесь n —натуральное число принято называть показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай n = 1 банально.

Обозначают на письме так символ (знак корня) в правой части называется радикалом . Число α - подкоренное выражение . Для нашего примера со стороной решение могло иметь такой вид: потому что (± 3) 2 = 9 .

Мы получили положительное и отрицательное значение корня. Эта особенность усложняет расчеты. Чтобы добиться однозначность, было введено понятие арифметического корня , значение которого всегда со знаком плюс, то есть только положительное.

Корень называется арифметическим , если он извлекается из положительного числа и сам является положительным числом.

Например,

Арифметический корень заданной степени из заданного числа существуеттолько один.

Операцию расчетов принято называть «извлечением корня n -й степени» из числа α . По сути мы выполняем операцию обратную к возведению в степень , а именно — нахождение основания степени b по известному показателю n и результату возведения в степень

α = b n .

Корни второй и третьей степени используются на практике чаще остальных и поэтому им были даны специальные названия.

Квадратный корень: В этом случае показатель степени 2 принято не писать, а термин «корень» без указания степени чаще всего означает квадратный корень. Геометрически толкование, является длина стороны квадрата, площадь которого равна α .

Кубический корень: Геометрически толкованием, выступает длина ребра куба, объём которого равен α .

Свойства арифметических корней.

1) При вычислении арифметического корня из произведения , необходимо извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Например,

2) Для расчета корня из дроби , необходимо извлечь его из числителя и знаменателя данной дроби

Например,

3) При расчете корня из степени , необходимо разделить показатель степени на показатель корня

Например,

Первые расчеты, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в работах математиков древнего Вавилона и Китая, Индии, Греции (о достижениях древнего Египта в этом отношении в источниках информация отсутствует).

Математики древнего Вавилона (II тысячелетие до н. э.) применяли для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для квадратного корня находили исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа n . Представив подкоренное выражение в виде: α=n 2 +r , получаем: x 0 =n+r/2n , затем применялся итеративный процесс уточнения:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ,

Например, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Правила вычисления любой степени из целого числа , изучены математиками Индии и арабских государств. Далее они получили широкое развитие в средневековой Европе.

Сегодня для удобства расчетов квадратных и кубических корней широко используются калькуляторы.

Рекомендуем почитать