Свойства медианы треугольника. Пересечение медиан треугольника. Свойства оснований медиан
1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Свойства биссектрис треугольника
1. Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Свойства высот треугольника
1. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
2. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные 
треугольники.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Подобие треугольников
Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:
· два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
· две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
· три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
Теорема синусов
Теорема косинусов
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Формулы площади треугольника
1. Произвольный треугольник
a, b, c -
стороны; - угол между сторонами a
и b
; - полупериметр; R -
радиус описанной окружности; r -
радиус вписанной окружности; S -
площадь; h a -
высота, проведенная к 
стороне a
.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Прямоугольный треугольник
a, b - катеты; c - гипотенуза; h c - высота, проведенная к стороне c .
S = ch c S = ab
3. Равносторонний треугольник
Четырехугольники
Свойства параллелограмма
· противолежащие стороны равны;
· противоположные углы равны;
· диагонали точкой пересечения делятся пополам;
· сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
· сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).
Четырехугольник является параллелограммом, если:
1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Противоположные углы попарно равны.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойства трапеции
· ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
· если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
· если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
· если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Свойства прямоугольника
· диагонали равны.
Параллелограмм является прямоугольником, если:
1. Один из его углов прямой.
2. Его диагонали равны.
Свойства ромба
· все свойства параллелограмма;
· диагонали перпендикулярны;
· диагонали являются биссектрисами его углов.
1. Параллелограмм является ромбом, если:
2. Две его смежные стороны равны.
3. Его диагонали перпендикулярны.
4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Свойства квадрата
· все углы квадрата прямые;
· диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
1. Произвольный выпуклый четырехугольник 
d 1
, d 2 -
диагонали; - угол между ними; S -
площадь.
Существует теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2: 1 , где 2 соответствует отрезку от вершины, из которой проведена медиана, до точки пересечения медиан, а 1 соответствует отрезку от точки пересечения медиан до середины стороны, к которой проведена медиана.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим треугольник ABC с медианами AE, BF, CD. То есть точки D, E, F делят пополам стороны AB, BC, CA соответственно.
Нам не известно, пересекаются ли все медианы в одной точке (это еще требуется доказать). Однако любые две медианы пересекутся в одной точке, так как не могут быть параллельны. Пусть медианы AE и BF пересекаются в точке O.
Медиана BF делит медиану AE на два отрезка AO и EO. Проведем через точку E прямую, параллельную BF. Эта прямая пересечет сторону AC в некой точке L. Также проведем через середину отрезка AB (точку D) еще одну параллельную к BF прямую. Она пересечет AC в точке K.
Согласно теореме Фалеса, если на одной стороне угла от его вершины отложить последовательно равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то эти параллельные прямые отсекут на второй стороне угла также равные между собой отрезки.
Посмотрим на угол BCA данного треугольника. Отрезки BE и EC равны между собой, прямые BF и EL параллельны друг другу. Тогда согласно теореме Фалеса CL = LF.
Если же посмотреть на угол BAC, так как AD = BD и DK || BF, то AK = KF.
Так как отрезки AF и CF равны между собой (т. к. их образует медиана) и каждый из них делится на два равных отрезка, то все четыре отрезка стороны AC равны между собой: AK = KF = FL = LC.
Рассмотрим угол EAC. Через концы трех равных отрезков стороны AC проведены параллельные прямые. Следовательно, они отсекают на стороне AE равные между собой отрезки. Отрезок AO содержит в себе два таких отрезка, а EO только один. Таким образом, мы доказали, что как минимум одна медиана треугольника точкой пересечения с другой медианой делится на два отрезка, длины которых соотносятся как 2: 1.
Теперь рассмотрим пересечение медианы AE с медианой CD. Пусть они пересекаются в точке P.
Аналогично предыдущему, доказывается, что параллельные прямые FM, CD, EN делят сторону AB на равные отрезки. В свою очередь они же делят AE на три равных отрезка. Причем от вершины A до пересечения медиан два таких отрезка, а после - один.
Один и тот же отрезок нельзя разделить на три равных части так, чтобы при одном варианте деления они были одного размера, а при другом - другого. Поэтому точки O и P должны совпадать. Это значит, что все три медианы треугольники пересекаются в одной точке.
Чтобы доказать, что две остальные медианы делятся точкой пересечения в соотношении 2: 1, можно аналогично предыдущему провести параллельные прямые к сторонам AB и BC.
Медиана – это один из уникальных отрезков треугольника. Медиана имеет ряд свойств полезных для решения задач, а точка пересечения медиан еще больше расширяет список этих свойств. О точке пересечения медиан и ее свойствах и пойдет речь сегодня.
Медиана
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан.
Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника. Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника.
Рис. 1. Медианы в тупоугольном треугольнике.
Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника. Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2
Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника. Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой.
Рис. 2. Золотое сечение произвольного треугольника.
Приведем так же формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, а потому ее желательно запомнить.
$$m_c={{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\over{2}}$$
Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу. Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана. Полученный корень нужно поделить пополам.
Точка пересечения медиан
Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника имеет ряд свойств, полезных при решении задач:
- Медиана точкой пересечения делится на отрезки с коэффициентом пропорциональности 1:2 считая от вершины.
- Три медианы, проведенные в треугольнике, делят его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называют треугольники с равной площадью. Сами по себе эти фигуры имеют мало общего, но численная характеристика площади у них совпадает.
- Точка пересечения медиан в треугольнике называется центроидом и является центром тяжести треугольника.
Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл. Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры.
Рис. 3. Центр тяжести треугольника.
Это значит, что если установить иголку в эту точку, то фигура будет держаться на ней без прокола, исключительно за счет равновесия.
Что мы узнали?
Мы привели формулу вычисления медианы по 3 сторонам треугольника. Привели несколько свойств точки пересечения медиан в треугольнике. Поговорили о реальном физическом значение центроида треугольника.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.1 . Всего получено оценок: 255.
При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.
Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации . Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).
Вспомним некоторые свойства медианы треугольника
Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC , проведённая из вершины A , меньше полусуммы сторон AB и AC .
Доказательство
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle {\frac{AB + AC}{2}}$" width="90" height="60">.
Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.
Доказательство
Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE..gif" alt="Площадь" width="82" height="46">
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медиана" align="left" width="196" height="75 src=">Свойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Доказательство
Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .
В силу свойства 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медиана" align="left" width="105" height="132 src=">
Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.
Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.
ЗАДАЧИ
При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.
№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+
Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9
Условие
На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD , равный AM . Докажите, что четырёхугольник ABDC - параллелограмм.
Решение
Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC - параллелограмм.
В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.
Биссектрисы.
1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.
Доказательство.
Действительно, точки, лежащие на биссектрисе угла равноудалены от сторон угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Доказательство.
Сделаем дополнительные построения. Проведем через точку
прямую
, параллельную 
Точка пересечения прямой и прямой :
∠1=∠2, так как - биссектриса ∠
∠2=∠3 как накрест лежащие, так как по построению.
Следовательно, ∠1=∠3 и треугольник - равнобедренный, и .
следовательно,
3. Длина биссектрисы вычисляется по таким формулам:
Докажем вторую формулу.
Введем обозначения:
Приравняем выражения для площади треугольника :
4. Пусть О-центр вписанной окружности, -биссектриса угла треугольника :
Тогда выполняется соотношение:
Доказательство:
Рассмотрим треугольник :
Биссектриса угла , следовательно, по свойству биссектрисы треугольника
Пусть , тогда
Выразим . По свойству биссектрисы треугольника :
Отсюда 
Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.
Лемма о трилистнике.
Дан треугольник . Точка - точка пересечения биссектрисы угла с описанной около треугольника окружностью. Пусть - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда
Доказательство.
Вписанные углы, которые опираются на равные дуги равны. Отметим равные вписанные углы:
Отсюда .
Центр вписанной окружности, поэтому
-бисссектриса угла
. 
Из треугольника
Тогда из треугольника
Получили .
То есть треугольник - равнобедренный.
Отсюда .
Доказали, что
Докажем формулу (1) из п. 3:
Доказательство:
Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью. Рассмотрим треугольники и . Отметим равные углы:
Треугольник подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:
По свойству отрезков пересекающихся хорд
Подставим (3) в (2) и воспользуемся (4):
Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:
Получим систему:
Медианы.
1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:
2. Пусть
- точка внутри треугольника
такая, что выполняется соотношение: 
, то
- точка пересечения медиан треугольника
.
Доказательство.
Докажем вспомогательную теорему.
Лемма.
Для произвольной точки внутри треугольника выполняется соотношение:
Опустим из точек
и
перпендикуляры на :
Из подобия треугольников и получаем:
Если мы рассмотрим треугольники
и
с общим основанием , то получим соотношение:
Аналогично получим
Сложив эти равенства получим:
Используем эту лемму для доказательства утверждения 2.
Если выполняется равенство (1)
, то выполняется равенство 
(2)
и из леммы следует, что в равенстве (2) каждая дробь равна .
Докажем, что в этом случае отрезки 
являются медианами.
Если 
, то получаем 
. Проведем через точку
прямые, параллельные
и
и рассмотрим две пары подобных треугольников:
и
:
Отсюда получаем
Из подобия треугольников получаем , то есть точка - середина отрезка . Отсюда .
Следовательно, - медиана треугольника .
3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.
Доказательство.
Докажем, что
так как ,
так как ,
Следовательно,
Высоты.
1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.
2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:
Доказательство.
Докажем первую часть равенства:
Перепишем его в виде:
По теореме Пифагора: (из треугольников и )
(из треугольника
)
(из треугольника
)
Подставим эти выражения в (1), получим:
Раскроем скобки, получим:
Получили тождество. Вторая часть равенства доказывается аналогично.
3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,
то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:
Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.
Доказательство.
Докажем, что .
Для этого рассмотрим треугольники
и
, и докажем, что 
:
Воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. - общая сторона. Докажем равенство двух углов.
Докажем, что ∠ ∠
Пусть ∠, тогда из треугольника получим, что
∠
. Следовательно, из треугольника
получим, что
Но ∠ и ∠ опираются на одну дугу , следовательно, ∠ ∠ ∠
Аналогично получаем, что ∠ ∠
4. В треугольнике точки и - основания высот, проведенных из вершин и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен .
Доказательство:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
лежит в середине гипотенузы . Точка
лежит на этой окружности, так как - гипотенуза прямоугольного треугольника
:
Как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
из треугольника :
Отсюда
. Угол
- общий угол треугольников
и
. Следовательно, треугольник
подобен треугольнику
. Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон, то есть сторон, которые лежать против равных углов: 
Теорема Чевы
Пусть в треугольнике
Отрезки пересекаются в одной точке в том и только том случае, если
Доказательство.
Докажем, что если отрезки пересекаются в одной точке, то соотношение (1) выполняется.
Легко проверить, что если
, то выполняется 
Применим это свойство пропорции:
Аналогично:
Теорему Чевы можно записать в таком виде:
Если отрезки пересекаются в одной точке, то выполняется соотношение:
Чтобы доказать теорему Чевы в форме синусов
, достаточно во вторую часть равенства (2) вместо площадей треугольников подставить для площади каждого треугольника формулу 
.
Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова, КПК МФТИ.