Решении прикладных задач часто возникает необходимость преобразовать заданную область в область более простого вида, причем так, чтобы сохранялись углы между кривыми. Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов. Открытыеобласти и называютсяконформноэквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую. Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае - привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ. Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7" комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w - f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7" (рис. 1). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области - верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости. Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22. Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>(Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку (рис. 4).

Так как дробно-линейная функция отображает на , то образом области D будет , из которой надо выкинуть образ отрезка [-2;1]. Так как образами начала -2, «средней точки» 0 и конца 1 при отображении будут соответственно точки , то образом отрезка [-2;1] будет луч . Тогда образом области D будет плоскость с разрезом по лучу (рис.5).

в) Граница области D состоит из прямой , ориентированной слева направо, и окружности , ориентированной против часовой стрелки (рис. 6). При отображении точки , расположенные на прямой согласно направлению обхода, переходят соответственно в точки Значит, прямая

переходит в прямую , ориентированную справа налево (рис.7). Аналогично, взяв на окружности точки 2 , 1+ , 0 и вычислив их образы , найдем образ окружности . Им будет прямая , ориентированная слева направо. Значит, образом границы будет совокупность прямых Г 1 и Г 2 , а образом области D будет полоса , изображенная на рис. 7.

5. Найти какое-нибудь конформное отображение области на полуплоскость .

Решение. Выберем направления обходов границ областей D 1 и D 2 (рис.8) так, чтобы области оставались слева. Согласно этим направлениям на границах и возьмем по три точки и и, подставив их в уравнение (1), найдем дробно-линейное отображение

которое и будет одним из искомых конформных отображений.

6. Найти конформное отображение верхней полуплоскости на единичный круг удовлетворяющее условиям .

Решение. Так как общий вид конформного отображения верхней полуплоскости на единичный круг имеет вид

то числа надо выбрать так, чтобы

откуда = ,

Значит, искомое конформное отображение имеет вид

7. Найти конформное отображение полуплоскости Re z + Im z < 0 на круг удовлетворяющее условиям

Решение . Так как любое конформное отображение области, ограниченной окружностью (или прямой), на подобную область является дробно-линейным, то согласно свойству симметрии дробно-линейной функции при искомом отображении точка , симметричная точке относительно прямой Re z + Im z = 0 (рис. 9), перейдет в точ-

ку , симметричную точке относительно окружности (рис. 10), которая является образом прямой Re z + Im z = 0, при искомом отображении. Следовательно, точки переходят соответственно в точки , подставив которые в уравнение (1), найдем искомое отображение:

8. Найти конформное отображение круга на круг , удовлетворяющее условиям , .

Решение. Точке 2 симметрична относительно окружности точка , а точке симметрична относительно окружности точка -2 . Следовательно, при искомом дробно-линейном отображении точки 2 и перейдут соответственно в точки и 2 . Пусть в точку переходит некоторая неизвестная пока точка . Тогда дробно-линейное отображение, переводящее точки 2, , соответственно в точки , , -2 найдется из уравнения

Для нахождения воспользуемся условием и условием , означающим, что при искомом отображении граничная точка z = 3 круга переходит в некоторую граничную точку круга .

Из первого условия

находим . Следовательно, комплексное число –2 имеет вид

откуда . Из второго условия

находим r = 2. Значит, = 2 + 2 и

Отображение. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Равномощные множества.

Пусть X, Y — произвольные непустые множества.
Определение. Отображение f из множества X во множество Y — это правило, при помощи которого каждому элементу x ∈X ставится в соответствие однозначно определенный элемент y ∈Y.
Множество Х называется областью определения отображения f ; множество Y — его областью значений.
Синонимичные записи выражают тот факт, что f является отображением из Х в Y.

Элемент у ∈Y, который при помощи отображения f поставлен в соответствие элементу х ∈X, называется образом элемента х и обозначается через f(x) ; в той же ситуации элемент х называется прообразом элемента у . Полным прообразом элемента у будем называть множество всех прообразов у . Из определения отображения вытекает, что полные прообразы различных элементов не имеют общих элементов.

Когда область определения Х и область значений Y данного отображения f совпадают, то f называют преобразованием множества Х. Если А — произвольное подмножество множества Х, то множество f(A) = {y |y = f(x) для некоторого x ∈А } называется образом множества А при отображении f .
Образ f (X) всей области определения Х называется множеством значений отображения f .
Часто область определения и множество значений отображения f обозначают через D(f ) и E(f ) соответственно.

Отображение f из Х в Y называется инъективным , если для любых х1 , х2 ∈Х из неравенства х1 ≠ х2 следует неравенство f(x1) ≠ f(x2) .

Отображение f из Х в Y называется суръективным , если множество значений f (X) совпадает с областью значений Y.
Если использовать понятие полного прообраза, то определение можно сформулировать иначе. Отображение f из Х в Y называется суръективным , если полный прообраз произвольного элемента y ∈Y является непустым множеством.

Отображение f из Х в Y называется биективным , если оно суръективно и инъективно одновременно.

Если существует инъективное (соответственно биективное) отображение из Х в Y, то говорят, что мощность Х не больше мощности Y (соответственно мощность Х равна мощности Y ).

Мне интересно, какая причина или обоснование для команды find для отображения текущего каталога (.) В несколько раз, но не для других.

Когда я использую «.», Я вижу текущий каталог во внешнем каталоге, но не во внутреннем каталоге.

$ pwd /home/me/a $ find . -exec echo {} \; . ./abc.txt ./a.txt ./d ./d/da.txt

Когда я укажу конкретный каталог, я не вижу текущий каталог.

$ find /home/me/a -exec echo {} \; /home/me/a /home/me/a/abc.txt /home/me/a/a.txt /home/me/a/d /home/me/a/d/da.txt

Вот как я вижу ситуацию.

$ ls -lR .: total 4.0K -rw-r--r--. 1 me 0 Oct 20 19:03 abc.txt -rw-r--r--. 1 me 0 Oct 21 14:56 a.txt drwxr-xr-x. 2 me 4.0K Oct 21 14:57 d/ ./d: total 0 -rw-r--r--. 1 me 0 Oct 21 14:57 da.txt

2 Solutions collect form web for “Обоснование найти отображение команды. каталог”

Точка, отображаемая на выходе find – это только текущее местоположение, как вы указали его с помощью find . команда. То же самое, когда вы говорите find /home/me/a . В обоих случаях find показывает вам каталог, в котором вы ищете (как указано), и любые соответствующие файлы и каталоги, которые find найденные в этом месте.

Примеры

каталог, который мы просматриваем внутри.

$ find . .... . ./abc.txt ./a.txt

Найти показывает результаты в терминах указанного вами аргумента, т.е. ,

каталог, который мы просматриваем внутри, – это /home/me/a

$ find /home/me/a .... /home/me/a /home/me/a/abc.txt /home/me/a/a.txt

Снова find показывает результаты в терминах указанного вами аргумента, /home/me/a .

терминология

Попытайтесь не думать о них с точки зрения внутреннего или внешнего, подумайте о спецификации как относительной или абсолютной. Относительно. и абсолютным является /home/me/a . В любом случае find не волнует, он просто показывает каталоги и файлы, которые он находит из этого места.

Использование относительного каталога (find .) ./abc.txt ожидаемые результаты./abc.txt то время как find /home/ma/a/abc.txt идентичен, но абсолютен. Вы не ожидали увидеть. при использовании абсолютных путей.

Результаты идентичны тем, что вы можете технически «найти и заменить» . с /home/me/a и наоборот.

1)Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставляется единственный элемент из множества Y, называется отображением.

3) Если элементу x соответствует y , то y называется образом элемента x , а x -прообразом элемента y . Пишут: или y = f (x ). Множество A всех элементов , имеющих один и тот же образ , называется полным прообразом элемента y .

4) Область определения функции - это все значения x, при которых существует функция.Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

5)Способы задания, виды и св-ва отображений

Способы задания

ВЫРАЖЕНИЕ или ФОРМУЛА . Переменная, вместо которой надо подставлять элемент из области определения, называется аргументом функции. При этом явно указывается процедура вычисления значения f(x) функции f на аргументе x, точнее, при любом значении аргумента. Фактически этим способом мы указываем правило вычисления значения функции f при произвольном значении аргумента x.ТАБЛИЦА . Таблица значений функции состоит, как правило, из двух строк. В первой строке перечисляются все (!) элементы области определения, а во второй строке - соответствующие им значения функции.

ГРАФИК. Графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами x, f(x) .

АЛГОРИТМ. X→|A|→y=y(x)

6)Операции над отображениями

1. Обращение y:A→B Y(x)=y

2.Композиция отображений

Y1:A→B y2:B→c

Композиция y1*y2 отображение y1:a->c,такая что y(x)=y1*y2(x)=Z(Е yϵB)(y1=y1(x)&y2(y)=Z)

7)Ф-ии как спец класс отображений

8)Классификация ф-ий по типу мн-в

3.Бинарные отношения

1)Отношение

2) Бинарным отношением  называется двухместное отношение между любыми двумя множествамиA и B , т.е. всякое подмножество декартова произведения этих множеств:   A B .

3)примеры Примеры бинарных отношений:

4)Способы задания

5) св-ва бинарных отношений

6) Проекция элемента (a, b) множества Ах В на множество А есть элемент а. Аналогично, элемент b является проекцией элемента (a, b) множества Ах В на множество В. Проекцией множества ЕАх В на А называется множество всех тех элементов из А, которые являются проекциями элементов из Е на множество А

7) Срез бинарного отношения . Различают срез бинарного отношения через элемент и через подмножество первого базисного множества.

8)Факториалы

9)Отношение эквивалентности

10) связь с разбиениями

11) Бинарное отношение ť на мн-ве A(ť AxA ) наз-ся отношением толерантности , если оно рефлексивно и симметрично.

12) его связь с покрытием

13) отношение порядка

14) стр-ра упорядоченных мн-в

15) Решётка - частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются \/и /\ или + и ∙)