Как выглядит одночлен. Понятие одночлена и его стандартный вид

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: интегрированный (с ИКТ), урок введения новых знаний.

Цели и задачи (алгебра): ввести понятие одночлена; степень одночлена; стандартный вид одночлена. Научить учащихся приводить одночлены к стандартному виду. Продолжить формирование навыков выполнения действий со степенями. Совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Развивать внимательность, аккуратность.

Цели и задачи (ИКТ): научить использовать в практической деятельности встроенный редактор формул в MS Office Word; развивать навык самостоятельной работы.

Материалы, используемые на уроке: презентация, компьютерный класс с установленным пакетом MS Office (Word), опорный конспект практической работы, карточки с заданием для самостоятельной работы, мультимедиа установка.

Ход урока

I. Организационный момент .

Приветствие учащихся.

II. Устные упражнения.

(слайд на экране2).

Представить в виде степени: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y 7 *y 3 ; (y 7) 4 ; а 10 /а 8 .
Каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
Вычислите: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .

III. Изучение нового материала.

Сообщение темы урока и целей и задач урока (слайд 3,4).

6*x 2 *у; 2*x 3 ; mn 7 ; ab; -8 (слайд 5)

Прочитайте выражения, записанные на доске.
Что собой представляют эти выражения?

Выражения такого вида называются одночленами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Одночлен – это произведение чисел и переменных, степеней переменных либо число, переменная, степень переменной.

Посмотрите внимательно на экран (слайд 7). Какие из следующих выражений являются одночленами? Почему?

IV. Закрепление нового материала.

№463 – самостоятельно. Проверка фронтальная. (Слайд 8).

V. Изучение нового материала.

Пусть у меня есть одночлены

2х 2 у*9y 2 и 8х*9ху (слайд 9)

Воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Получим:

2*9*х 2 *у*y 2 =18х 2 y 3 и 8*9*х*х*у=72х 2 у.

Что мы получили?
Что собой представляет?

Мы представили одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называется стандартным видом.

Какой же одночлен называется одночленом стандартного вида?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: одночлен называется одночленом стандартного вида, если имеет 1 числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), произведение одинаковых переменных в нем записано в виде степени.

Прочитайте те одночлены, которые записаны в стандартном виде. Назовите их коэффициенты.

VI. Закрепление нового материала.

№464 – устно, №465 – под руководством учителя.

VII. Задание, выполняемое на компьютере (практическая работа).

Программа MS Word. Встроенный редактор формул. Использование встроенного редактора формул для записи одночленов. Файл «Стандартный вид одночлена» на рабочем столе. Заполните подготовленную таблицу, используя встроенный редактор формул.

Заполните таблицу. (Слайд 15)

Проверка – на экране (слайд 16) и сохраненные файлы учащихся.

VIII. Изучение нового материала.

Что записано на доске?
Назовите показатель степени переменной Х?
Назовите показатель степени переменной Y?
Найдите сумму показателей степеней. Это число называется степенью одночлена.

На странице 84 учебника найдите определение степени одночлена. Прочитайте его.

IX. Закрепление нового материала .

№ 473 – устно;

№ 467(а; г) – комментировано у доски.

X. Самостоятельная работа .

На экране по вариантам (слайд 19). (У каждого учащегося на парте листок с заданием для выполнения работы – Приложение 2 )

Проверка – самопроверка с записью (на экране слайд 20).

XI. Подведение итогов.

Что же такое одночлен?
Одночлен, какого вида называют стандартным одночленом?
Что называется степенью одночлена?

XII. Домашнее задание.

П.19, №466, 468, 476, 470.

Спасибо за урок! (слайд 23)

Список использованной литературы:

Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2007.

В математике существует множество различных математических выражений, и кекоторые из них имеют свое закрепившиеся названия. С одним из таких понятий нам и предстоит познакомиться – это одночлен.

Одночлен - это математическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Для того, чтобы лучше разобраться с новым понятием, необходимо ознакомиться с несколькими примерами.

Примеры одночленов

Выражения 4, x^2 , -3*a^4, 0.7*c, ¾*y^2 являются одночленами. Как видите, одно только число или переменная (в степени или без) тоже является одночленом. А вот, например, выражения 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 уже не являются одночленам , так как они не подходят под определения. В первом выражении используется «сумма», а это недопустимо, во втором – «деление», в третьем – разность.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Например, выражение 2*a^3*b/3 тоже является одночленом, хотя там и присутствует деление. Но в данном случае деление происходит на число, и поэтому соответствующее выражение можно переписать следующим образом: 2/3*a^3*b. Еще один пример: какое из выражений 2/х и х/2 является одночленом, а какое нет? правильно ответить, что первое выражение не одночлен, а второе одночлен.

Стандартный вид одночлена

Посмотрите на следующие два выражения-одночлена: ¾*a^2*b^3 и 3*a*1/4*b^3*a. На самом деле это два одинаковых одночлена. Не правда ли, что первое выражение выглядит более удобным, чем второе?

Причиной этого является то, что первое выражение записано в стандартном виде. Стандартный вид многочлена - это произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Для того, чтобы привести одночлен к его стандартному виду, достаточно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Затем перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания.

Приведение одночлена к его стандартному виду

Если в нашем примере во втором выражении перемножить все числовые множители 3*1/4 и потом умножить a*a, то получится первый одночлен. Это действие называется приведение одночлена к его стандартному виду.

Если два одночлена различаются только числовым коэффициентом или равны между собой, то такие одночлены называются в математике подобными.

Степень одночлена

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Определение.

Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .

Коэффициент одночлена

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом . Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Определение.

Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду . В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Что значит привести одночлен к стандартному виду?

С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде . Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования . Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Как привести одночлен к стандартному виду?

Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.

Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?

Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду , состоящим из двух шагов:

Во-первых, выполняется группировка числовых множителей, а также одинаковых переменных и их степеней;
Во-вторых, вычисляется произведение чисел и применяется .

В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.

Примеры, решения

Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.

Пример.

Приведите одночлен 3·x·2·x 2 к стандартному виду.

Решение.

Сгруппируем числовые множители и множители с переменной x . После группировки исходный одночлен примет вид (3·2)·(x·x 2) . Произведение чисел в первых скобках равно 6 , а правило умножения степеней с одинаковыми основаниями позволяет выражение во вторых скобках представить как x 1 +2=x 3 . В итоге получаем многочлен стандартного вида 6·x 3 .

Приведем краткую запись решения: 3·x·2·x 2 =(3·2)·(x·x 2)=6·x 3 .

Ответ:

3·x·2·x 2 =6·x 3 .

Итак, для приведения одночлена к стандартному виду необходимо уметь проводить группировку множителей, выполнять умножение чисел, и работать со степенями.

Для закрепления материала решим еще один пример.

Пример.

Представьте одночлен в стандартном виде и укажите его коэффициент.

Решение.

Исходный одночлен имеет в своей записи единственный числовой множитель −1 , перенесем его в начало. После этого отдельно сгруппируем множители с переменной a , отдельно – с переменно b , а переменную m группировать не с чем, оставим ее как есть, имеем . После выполнения действий со степенями в скобках одночлен примет нужный нам стандартный вид , откуда виден коэффициент одночлена , равный −1 . Минус единицу можно заменить знаком минус: .