Все свойства вписанной окружности. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов. Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 2
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение 3
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Определение 2
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.
Рисунок 1. Вписанная окружность
Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
Теорема 1
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.
Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение 3
Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).
Определение 4
Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.
Рисунок 3. Описанная окружность
Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
Теорема 2
Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Доказательство.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)
Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2
Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.
Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.
Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.
Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
Пример 1
В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение.
Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:
Рисунок 5.
Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:
\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Видеоурок 2: Окружность, описанная около треугольника
Лекция: Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника
Около некоторых треугольников можно описать окружность, а в некоторые можно окружность вписать.
Вписанный треугольник
Если все вершины некоторого треугольника лежат на окружности, то такой треугольник называется вписанным .
Обратите внимание, если некоторый треугольник вписан в окружность, то все прямые, которые соединяют центр окружности с вершинами треугольника, равны. Более того, они имеют величину радиуса.
Существуют несложные формулы, позволяющие определить стороны треугольника по известному радиусу окружности, или же наоборот определить радиус по сторонам:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то формулы упрощаются. Хотелось бы напомнить, что правильным называется тот треугольник, у которого все стороны равны:
Формула для нахождения площади правильного треугольника, если он вписан в окружность:
Если некоторый треугольник располагается внутри окружности, то существует правило размещения центра окружности.
Если в окружность вписали любой остроугольный треугольник, то центр этой окружности будет находится внутри треугольника:
Если в окружность вписан правильный треугольник, то центр окружности будет считаться центром треугольником, а также точкой пересечения его высот.
Если в окружность вписанный прямоугольный треугольник, то центр окружности будет лежать на середине гипотенузы:
Если в окружность вписан тупоугольный треугольник, то центр окружности будет находится за пределами треугольника:
Вписанная окружность
Окружность можно назвать вписанной в том случае, если она касается всех сторон треугольника в одной точке.
Для треугольника, в который вписана окружность, существует некоторое правило.
Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник (рис. 302). Напомним, что ее центр О помещается на пересечении биссектрис внутренних углрв треугольника. Отрезки ОА, ОВ, ОС, соединяющие О с вершинами треугольника ABC, разобьют треугольник на три треугольника:
АОВ, ВОС, СОА. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу , и потому их площади выразятся как
Площадь всего треугольника S равна сумме этих трех площадей:
где - полупериметр треугольника. Отсюда
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для получения формулы для радиуса описанной окружности треугольника докажем следующее предложение.
Теорем а: В любом треугольнике сторона равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и описанную вокруг него окружность, радиус которой обозначим через R (рис. 303). Пусть А - острый угол треугольника. Проведем радиусы ОВ, ОС окружности и опустим из ее центра О перпендикуляр ОК на сторону ВС треугольника. Заметим, что угол а треугольника измеряется половиной дуги ВС, для которой угол ВОС является центральным углом. Отсюда видно, что . Поэтому из прямоугольного треугольника СОК находим , или , что и требовалось доказать.
Приведенный рис. 303 и рассуждение относятся к случаю острого угла треугольника; нетрудно было бы провести доказательство и для случаев прямого и тупого угла (читатель это проделает самостоятельно), но можно использовать теорему синусов (218.3). Так как должно быть откуда
Теорему синусов записывают также в. виде
и сравнение с формой записи (218.3) дает для
Радиус описанной окружности равен отношению произведения трех сторон треугольника к его учетверенной площади.
Задача. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его вписанная и описанная окружности имеют соответственно радиусы
Решение. Напишем формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника:
Для равнобедренного треугольника с боковой стороной и основанием площадь выражается формулой
или, сократив дробь на отличный от нуля множитель , будем иметь
что приводит к квадратному уравнению относительно
Оно имеет два решения:
Подставив вместо его выражения в любое из уравнений для или R, найдем окончательно два ответа к нашей задаче:
Упражнения
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делнт гипотенузу в отношении Найти отношение каждого из катетов к гипотенузе.
2. Основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны а и b. Найти радиус окружности.
3. Две окружности касаются внешним образом. Их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30°. Длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см. Найти радиусы окружностей.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат высота и медиана данного треугольника, проведенные из вершины прямого угла, и отрезок гипотенузы между точками их пересечения с гипотенузой.
5. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найти проекцию каждой из них на две остальные.
6. В треугольнике известны сторона и высоты Найти стороны b и с.
7. Известны две стороны треугольника и медиана Найти третью сторону треугольника.
8. Даны две стороны треугольника и угол а между ними: Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Известны стороны треугольника а, b, с. Чему равны отрезки, на которые они разбиваются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника?
