Характеристическая функция. Научный форум dxdy
α k | (y )= | M [ Y | +∞∫ ϕ k | (x ) | (x) dx; | ||||||
µ k (y ) | ∫ (ϕ (x ) | f (x) d x. | |||||||||
Характеристическая функция случайной величины | |||||||||||
Пусть Y = e itX , где | X – | случайная величина с известным законом |
|||||||||
распределения, t – параметр,i = | − 1. | ||||||||||
Характеристической функцией случайной величины Хназывается |
|||||||||||
математическое ожидание функции Y = e itX : | |||||||||||
∑ e itx k p k , для ДСВ, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X (t )= M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , для НСВ. | |||||||||||
Таким образом, характеристическая | υ X(t ) | и закон распределения |
случайной величины однозначно связаны преобразованием Фурье . Например, плотность распределенияf (x ) случайной величиныX однозначно выражается через ее характеристическую функцию при помощиобратного преобразования Фурье :
f (x) = | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Основные свойства характеристической функции: | ||||
Характеристическая функция величины Z = aX + b , гдеX – случайная |
||||
величина с характеристической функций υ X (t ) , равна | ||||
υ Z (t ) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at ) . | ||||
Начальный момент k -го порядка случайной величиныX равен | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i − k , |
где υ X (k ) (0) – значение k -й производной характеристической функции приt = 0.
3. Характеристическая функция суммы | Y = ∑ X k независимых |
k = 1 |
случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t ). | ||
i = 1 | |||
4. Характеристическая функция нормальной | случайной величины с |
||
параметрами m иσ равна: | |||
υ X (t) = eitm − | t 2 σ 2 | ||
ЛЕКЦИЯ 8 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения
Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта.
Двухмерные случайные величины характеризуются множествами значений Ω X ,Ω Y своих компонент и совместным (двухмерным) законом распределения. В зависимости от типа компонентX ,Y различают дискретные, непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.
Двухмерную случайную величину (Х, Y ) геометрически можно представить как случайную точку (Х ,У ) на плоскости х0у либо как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х ,У ).
Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины
(Х ,Y ) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х <х } и {Y < у }:
F(x, y) = p({ X< x} { Y< y} ) .
Геометрически двухмерная функция распределения F (x , y )
попадания случайной точки (Х ,Y ) в | ||||
бесконечный | квадрант с | вершиной в |
||
точке (х ,у ), лежащей левее и ниже ее. | ||||
Компонента Х приняла значения, | ||||
меньшие действительного числа х , это | ||||
распределения | F X (x ), а | |||
компонента Y – меньшие действительного | ||||
числа у , | распределения | |||
F Y (y ). |
Свойства двухмерной функции распределения:
1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.
– это вероятность
. (x ,y )
Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.
2. F (–∞ , y ) =F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.
3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), еслиx 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), еслиy 2 >y 1 .
Доказательство. Докажем, чтоF (x ,y )− неубывающая функция по
переменной х . Рассмотрим вероятность
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Так как p (X < x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X < x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Аналогично и для у .
4. Переход к одномерным характеристикам:
F (x ,∞ )= p (X < x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X < ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Вероятность попадания в прямоугольную область | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ). | (β,γ) | ||||||||||
Функция распределения − наиболее | |||||||||||
универсальная | |||||||||||
распределения | |||||||||||
использована | описания как | (β,δ) | |||||||||
непрерывных, | и дискретных | (α,δ) | |||||||||
двухмерных случайных величин. | |||||||||||
Матрица распределения
Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) является дискретной, если множества значений ее компонентΩ X иΩ Y представляют собой счетные множества. Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица распределения.
Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу, которая содержит значения компонентыX − Ω X ={ x 1 ,x 2 ,... ,x n } , значения компонентыY − Ω Y ={ y 1 ,y 2 , …,y m } и вероятности всевозможных пар значенийp ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m .
x i \ yj | ||||
X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n . | ||||
j= 1 | ||||
3. Переход к ряду распределения вероятностей составляющей Y : | ||||
p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m . |
i= 1
Двухмерная плотность распределения
Двухмерная случайная величина (X ,Y ) является непрерывной, если ее
функция распределения F (х ,у ) представляет собой непрерывную, дифференцируемую функцию по каждому из аргументов и существует вторая
смешанная производная ∂ 2 F (x , y ) .
∂ x ∂y
Двухмерная плотность распределения f(х, у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х, у) и равна второй смешанной производной функция распределения:
∫∫ f(x, y) dxdy.
Свойства двухмерной плотности:
1. f (x ,y )≥ 0.
2. Условие нормировки:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .
Математическое ожидание и его свойства.
Числовые характеристики случайных величин.
Характеристическая функция.
Лекция №5
Раздел 2. Случайные величины.
Тема 1 . Функция распределения, плотность вероятности и числовые характеристики случайной величины.
Цель лекции: дать знания о способах описания случайных величин.
Вопросы лекции:
Литература:
Л1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.
Л2 - Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с: ил.
Л3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2009.
Л4 - Плотникова С.В. Математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2005. (pdf-файл)
При решении многих задач вместо функции распределения F(x) и п.в. р(х) применяется характеристическая функция . С помощью этой характеристики оказывается целесообразным, например, определять некоторые числовые характеристики сл.в. и з.р. функций сл.в.
Характеристической функцией сл.в. называется преобразование Фурье от ее п.в. р(х) :
, (2.6.1)
где - параметр, являющийся аргументом характеристической функции, - м.о. сл.в. (см § 2.8.).
Применив обратное преобразование Фурье, получим формулу, определяющую п.в. сл.в. по ее характеристической функции
. (2.6.2)
Так как размерность р(х) обратна размерности x , то величина , а следовательно, и являются безразмерными. Аргумент имеет размерность обратную размерности x .
Воспользовавшись представлением (2.5.7) п.в. р(х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (1) на дискретные сл.в.
. (2.6.3)
Иногда вместо характеристической функции оказывается удобным использовать логарифм от нее:
Y . (2.6.4)
Функцию Y можно назвать второй (логарифмической ) характеристической функцией сл.в. .
Отметим наиболее важные свойства характеристической функции.
|
. (2.6.5)
2. Для симметричного распределения, когда р(х)= р(-х) , мнимая часть в (1) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.
3. Если сл.в. является линейной функцией сл.в. , то ее характеристическая функция определяется выражением
, (2.6.6)
где a и b - постоянные.
4. Характеристическая функция суммы независимых сл.в. равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е., если
. (2.6.7)
Это свойство особенно полезно, так как в противном случае нахождение п.в. суммы сл.в. связано с многократным повторением свертки, что вызывает иногда затруднения.
Таким образом, учитывая однозначную связь между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией, последняя в равной мере может быть использована для описания сл.в.
|
Дискретная сл.в. может принять три значения (ни один из импульсов не подавлен), (подавлен один импульс), (подавлены оба импульса). Вероятности этих значений соответственно равны:
Характеристической функцией случайной величиныX называют преобразование Фурье распределения случайной величины:
Свойства
Доказательство .
Доказательство .
Естественно , это свойство распространяется и на бо́льшее число слагаемых:
.
φ (t ) равномерно непрерывна.
Доказательство .
Полученное окончательное выражение зависит только от h . Для непрерывной случайной величины можно записать
.
Доказательство . Если существуетk -й момент величиныX , то, пользуясь дифференцированием под знаком интеграла (что можно, посколькуp (x ) существует), получим
При каждом последующем дифференцировании «сносится» i E[X ], так что послеk дифференцирований получимi k E[X k ]. Этот результат можно представить в виде
.
Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.
Доказательство частных случаев
Пусть X - целочисленная дискретная случайная величина (k Z ), тогда (обратное преобразование Фурье)
(ряд Фурье, коэффициентами которого являются p k ), тогда
Все слагаемые, при которых k ≠m , дают 0 (по ортогональности), и остается
.
Пусть φ (t ) абсолютно интегрируема на вещественной прямой, и существует плотность распределенияp (x ) 11 .
Попробуем выразитьp (x ) через характеристическую функцию. Запишем обратное преобразование Фурье функцииφ :
.
С учетом этого
Поскольку
в силу замены переменных получим
и, следовательно,
.
Если в (*) во втором интеграле оба предела интегрирования имеют одинкаовые знаки, получим 0; если разные - конечное число. То есть, ненулевой предел есть при a <y <b . В этом случае появится интеграл от −∞ до ∞, равныйπ . Отсюда
Получили :
,
следовательно, p полностью определяется характеристической функцией.
.
Доказательство ..
Критерий характеристической функции
Функция φ X (t ) - характеристическая для случайной величиныX тогда и только тогда, когда:
φ X (0) = 1,
φ X (t ) положительно определена .
Функция φ (t ) называетсяположительно определенной (positivedefinite), если
причем равенство нулю достигается лишь при z i = 0i . Если ослабить условие достижения равенства нулю, получимнеотрицательно определенную функцию.
Проверим , что характеристическая функция положительно определена:
Обоснование . По свойству 5),
При k = 1, получаем,
При k = 2 -.
Если EX
= 0,DX
=E[X
2 ] = 1,
.
20.2 Примеры
Решение . Приведем выражение к виду
Нетрудно видеть, что
.
После преобразования можно записать
.
Рассмотрим значения p i :
Вывод :cos 2 t - характеристическая функция дискретной случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 1/2, а значения 2 и −2 - с вероятностью 1/4.
Вычислить характеристическую функцию вырожденной случайной величины:P (X = 0) = 1.
Решение ..
Если же P (X =C ) = 1, получим.
Решение . Приведем выражение к виду
.
Рассмотрим значения p i :
Получили : это характеристическая функция дискретной случайной величины.
Решение . ПустьY =X –X ′ , тогда
Вывод : квадрат модуля любой характеристической функции - снова характеристическая функция.
Пусть X ,Y - случайные величины с характеристическими функциямиφ X (t ) иφ Y (t );a ,b > 0 - константы такие, чтоa +b = 1. Рассмотрим функцию
Является ли она характеристической, и если да, то для какой случайной величины?
Ответ : да, является. Пусть соответствующие функции распределенияX иY - F X (x ) иF Y (y ). Рассмотрим функцию. Очевидно, это функция распределения, поскольку
Тогда плотность вероятности
Если φ (t ) - характеристическая функцияX , тоφ (−t ) - характеристическая функция (–X ). (из примера 4)).
Пусть φ (t X , тогда является ли
f (t ) =Re[φ (t )]
Решение . Очевидно,
Пусть φ (t ) соответствует функции распределенияF X (x ), тогда дляRe[φ (t )]:
Пусть φ (t ) - характеристическая функция величиныX , тогда является ли
f (t ) =Im[φ (t )]
характеристической функцией некототорой случайной величины?
Решение . Нет, не является, посколькуf (0) = 0.
X ~ N (0, 1):
Найти характеристическую функцию нормального распределения.
Сосчитаем φ (t ), продифференцировав под знаком интеграла:
Решим дифференциальное уравнение
с начальным условиемφ
(0) = 1:
X ~N (a ,σ 2): сопоставим такую величину сX 0 ~N (0, 1). Легко видеть, чтоX =a +σ X 0 . Тогда, по свойству 2)
Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.
Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида: где