Даны 2 коробки имеющие. Правильная четырехугольная призма. Элементы правильной четырехугольной призмы
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4 , а боковые рёбра равны 10 . Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.
Показать решениеРешение
Рассмотрим следующий рисунок.
Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = \frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=\frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MK\parallel AA_1, то MK\perp ABC и MK\perp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_{MNLK} = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.
Ответ
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24 . Точка K — середина ребра CC_1 . Найдите объём пирамиды KBCD .
Показать решениеРешение
Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD . CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 .
Так как K является серединой CC_1 , то KC=\frac12CC_1. Пусть CC_1=H , тогдаKC=\frac12H . Заметим также, что S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. Тогда, V_{KBCD}= \frac13S_{BCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac13\cdot\frac12S_{ABCD}\cdot\frac{H}{2}= \frac{1}{12}\cdot S_{ABCD}\cdot H= \frac{1}{12}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}. Следовательно, V_{KBCD}=\frac{1}{12}\cdot24=2.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6 , а высота — 8 .
Показать решениеРешение
Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 6a\cdot h, где P осн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8 , и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6 . Следовательно, S бок. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Показать решениеРешение
Пусть a — сторона основания первого сосуда, тогда 2 a — сторона основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обозначим через H уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^{\circ}\cdot40= \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40, и, V=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H. Отсюда \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot40=\frac{(2a)^2\sqrt3}{4}\cdot H, 40=4H, H=10.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2 . Найдите расстояние между точками A и E_1 .
Показать решениеРешение
Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.
Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^{\circ}. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^{\circ}= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).
Отсюда, AE^2=4+4+4=12,
AE_1^2=12+4=16,
AE_1=4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 8
Тема:
Призма
Условие
Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4\sqrt5 и 8 , и боковым ребром, равным 5 .
Показать решениеРешение
Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле S бок. = P осн. · h = 4a\cdot h, где P осн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5 , и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 13МБ1
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
Алгоритм выполнения:
- Записать формулу объема цилиндра.
- Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
- Полученное уравнение решить относительно второй высоты h 2 .
- Подставить данные и вычислить искомую величину.
Решение:
Запишем формулу объема цилиндра.
Если вы забыли формулу объема цилиндра, то напомню, как ее можно легко вывести. Объем простых фигур, таких как куб и цилиндр, можно вычислить умножив площадь основания на высоту. Площадь основания в случае с цилиндром равна площади окружности, которую, вы, наверняка помните: π r 2 .
Следовательно, объем цилиндра равен π r 2 h
Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
V 1 = π r 1 2 h 1
V 2 = π r 2 2 h 2
Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
Левые части равны, значит можно приравнять и правые.
π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2
Полученное уравнение решим относительно второй высоты h 2 .
h 2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2
По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r 2 = 4 r 1 .
Подставим r 2 = 4 r 1 в выражение для h 1.
Получим: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2
Полученную дробь сократим на π, получим h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2
Полученную дробь сократим на r 1 , получим h 2 = h 1 / 16.
Подставим известные данные: h 2 = 80/ 16 = 5 см.
Вариант 13МБ2
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?
Алгоритм выполнения:
- Найти отношение объемов.
- Сократить получившуюся дробь.
Решение:
V 1 = a 1 · b 1 · c 1
V 2 = a 2 · b 2 · c 2
Найдем отношение объемов.
По условию c 1 = 4,5 c 2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),
b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой).
V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)
V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2) = 4,5/9 = ½.
Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.
Вариант 13МБ3
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?
Алгоритм выполнения:
- Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
- Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
- Найти отношение объемов.
- Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
- Сократить получившуюся дробь.
Решение:
Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.
Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.
V 1 = a 1 · b 1 · c 1
V 2 = a 2 · b 2 · c 2
Найдем отношение объемов.
V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2)
Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.
По условию c 1 = 1,5 c 2 (первая коробка в полтора раза выше второй), b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой).
Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a 2 = 3 a 1
Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:
V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)
Сократим получившуюся дробь на a 1 · b 1 · c 2 . Получим:
V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.
Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.
Ответ:6.
Вариант 13МБ4
От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?
Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.
Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 3 = 24
Вариант 13МБ5
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?
Алгоритм выполнения
- Записываем ф-лу для вычисления объема цилиндра.
- Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
- Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
- Вычисляем отношение объемов.
Решение:
Объем цилиндра равен: V=πR 2 H . Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R 1 , а его высоту – через Н 1 . Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R 2 , а высоту – через Н 2 .
Отсюда получим: V 1 =πR 1 2 H 1 , V 2 =πR 2 2 H 2 .
Запишем искомое отношение объемов:
.
Подставляем в полученное отношение числовые данные:
.
Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.
Вариант 13МБ6
В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Алгоритм выполнения
- Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V 1 и V 2 .
- Фиксируем значение для V 1 . Выражаем V 2 через V 1 . Находим значение V 2 .
- Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см.
Решение:
Объем бака до погружения V 1 =5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V 2 . Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V 2 =1,4V 1 .
Отсюда получаем: V 2 =1,4·5=7 (л).
Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:
V 2 –V 1 =7–5=2 (л).
2 л=2·1000=2000 (куб.см).
Вариант 13МБ7
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Алгоритм выполнения
- Записываем ф-лу для расчета объема цилиндра.
- На основании этой формулы записываем 2 уравнения – для вычисления объема воды в 1-м и 2-м сосудах. Для этого используем в формуле соответствующие индексы 1 и 2.
- Поскольку воду просто переливают их одного сосуда в другой, то ее объем не изменяется. Поэтому приравниваем полученные уравнения. Из полученного единственного уравнения находим уровень воды во 2-м сосуде, выраженный высотой h 2 .
Решение:
Объем цилиндра равен: V=S осн h=πR 2 h .
Объем воды в 1-м сосуде: V 1 =πR 1 2 h 1 .
Объем во 2-м сосуде: V 2 =πR 2 2 h 2 .
Приравниваем V 1 и V 2 : πR 1 2 h 1 =πR 2 2 h 2 .
Сокращаем на π, выражаем h 2 :
.
По условию R 2 =2R 1 . Отсюда:
Вариант 13МБ8
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?
Алгоритм выполнения
- Определяем количество вершин у треугольной призмы.
- Анализируем изменения, которые произойдут при отпиливании всех вершин. Подсчитываем кол-во вершин у нового многогранника.
Решение:
Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.
Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.
Вариант 13МБ9
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?
Алгоритм выполнения
- Вводим обозначения для линейных параметров коробок и их объемов.
- Определяем зависимость линейных параметров согласно условию.
- Записываем формулу для вычисления объема призмы.
- Адаптируем эту формулу для объемов коробок.
- Находим отношение объемов.
Решение:
Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а 1 , а для второй а 2 . Высоты коробок обозначим соответственно h 1 и h 2 . Объемы – V 1 и V 2 .
Согласно условию, h 2 =4,5h 1 , а 1 =3а 2 .
Объем призмы равен: V =S осн h . Т.к. в основании коробок лежит квадрат, то S осн =а 2 . Отсюда: V=a 2 h .
Для 1-й коробки имеем: V 1 =a 1 2 h 1 . Для 2-й коробки: V 2 =a 2 2 h 2 .
Тогда получаем отношение:
Вариант 13МБ10
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.
Алгоритм выполнения
- Доказываем, что данные в условии конусы подобны.
- Определяем коэффициент подобия.
- Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости.
Решение:
Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.
По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.
Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V 1 , малого – V 2 . Получим:
.
Поскольку по условию V 1 =1600 мл, то V 2 =1600/8=200 мл.
Вариант 13МБ11
Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?
Алгоритм выполнения
- Записываем формулу для вычисления объема шара.
- Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2.
- Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия.
Решение:
Объем шара вычисляется по ф-ле: .
Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – .
Составим отношение объемов:
Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:
Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.
Вариант 13МБ12
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?
Алгоритм выполнения
- Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра.
- Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров.
- Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия.
Решение:
Площадь бок.поверхности цилиндра вычисляется так: S=2πRH .
Для 1-го цилиндра имеем: S 1 =2 πR 1 H 1 . Для 2-го цилиндра: S 2 =2 πR 2 H 2 .
Составим отношение этих площадей:
Найдем числовое значение полученного отношения:
Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.
Вариант 13МБ13
Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?
Алгоритм выполнения
- Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем.
- Объем в этой формуле расписываем через ф-лу объема шара (через его радиус).
- Записываем ф-лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2).
- Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф-ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу.
Решение:
Масса большего (1-го) шара равна: m 1 = ρV 1 . Объем этого шара составляет V 1 = В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Алгоритм выполнения
- Определяем часть призмы, соответствующую объему погруженной детали.
- Вычисляем объем детали на основании формулы для определения объема прямой призмы с квадратом в основании.
Решение:
Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).
Найдем этот объем.
Задание:
В правильной четырёхугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на ребре СС 1 взята точка К так, что СК: КС 1 = 1: 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D и К параллельно диагонали основания АС.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если CC 1 = 4,5√ 2, АВ = 3.
Решение:
а) Так как призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 правильная, то ABCD — квадрат и боковые грани — равные прямоугольники.
Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D и K параллельно AC. Линия пересечения плоскости сечения и плоскости AA 1 C 1 проходит через точку K и параллельна AC.
В плоскости ACC 1 через точку K проведём отрезок KF параллельно диагонали AC.
Так как грани A 1 ADD 1 и B 1 BCC 1 призмы параллельны, то по свойству параллельных плоскостей линии пересечения плоскости сечения и этих граней параллельны. Проведём PK || FD. Четырёхугольник FPKD — искомое сечение.
б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость основания по некоторой прямой p, проходящей через точку D. AC || FK, следовательно, AC || p (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой). Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то BD ⊥ AC, а значит,
BD ⊥ p. BD — проекция PD на плоскость ABC, поэтому PD ⊥ p по теореме о трёх перпендикулярах. Следовательно, ∠PDB — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
FK || p, значит, FK ⊥ PD. В четырёхугольнике FPKD имеем FD || PK и KD || FP, значит, FPKD — параллелограмм, а так как прямоугольные треугольники FAD и KCD равны по двум катетам (AD = DC как стороны квадрата, FA = KC как расстояния между параллельными прямыми AC и F K), то FPKD — ромб. Отсюда PD = 2OD.
По условию CK: KC 1 = 1: 2, тогда KC = 1/3*CC 1 = 4,5√2 / 3 = 1,5√2.
В
ΔDKC по теореме Пифагора KD 2 = DC 2 + KC 2 , KD = =
√13,5.
AC = 3√2 как диагональ квадрата, OK = EC = 1/2*AC, OK = 1,5√2.
В ΔKOD по теореме Пифагора OD 2 = KD 2 − OK 2 ,
OD = = 3. PD = 2OD = 6.
В прямоугольном треугольнике PDB cos ∠PDB = BD / PD = 3√2 / 6 = √2 / 2 , следовательно, ∠PDB = 45◦ .
Ответ: 45◦ .
Как выглядит правильная четырехугольная призма? и получил лучший ответ
Ответ от Edit Piaf[гуру]
Призма – это многогранник, две грани которой (основания призмы) – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой. Параллелограммы AabB, BbcC и т. д. называются боковыми гранями; рёбра Aa, Bb, Cc и т. д. называются боковыми рёбрами. Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.
Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, то есть в данном случае - квадрат.
Я нарисовала прямую призму, но она может быть и наклонной
Ответ от Happy End
[гуру]
кубик
Ответ от 3 ответа
[гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как выглядит правильная четырехугольная призма?
Определение .
Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники
Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней
Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы
Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани
Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра
Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам
Элементы правильной четырехугольной призмы
На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
- Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
- Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
- Боковая поверхность - сумма площадей всех боковых граней призмы
- Полная поверхность - сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
- Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
- Диагональ B 1 D
- Диагональ основания BD
- Диагональное сечение BB 1 D 1 D
- Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .
Свойства правильной четырехугольной призмы
- Основаниями являются два равных квадрата
- Основания параллельны друг другу
- Боковыми гранями являются прямоугольники
- Боковые грани равны между собой
- Боковые грани перпендикулярны основаниям
- Боковые ребра параллельны между собой и равны
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
- Углы перпендикулярного сечения - прямые
- Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
- Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям
Формулы для правильной четырехугольной призмы
Указания к решению задач
При решении задач на тему "правильная четырехугольная призма " подразумевается, что:Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .
Задача.
В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.Решение
.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2
+ 14 2
) = 22 см
Ответ : 22 см
Задача
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.Решение
.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .